等參單元和數(shù)值積分

第4

章

等參單元和數(shù)值積分等參變換的概念和實(shí)現(xiàn)單元特性矩陣變換的內(nèi)容和方法。本章要點(diǎn)實(shí)現(xiàn)等參變換的條件和等參元滿足有限元收斂準(zhǔn)則的條件。數(shù)值積分的基本思想及以高斯積分為代表的幾種常用數(shù)值積分方法的特點(diǎn)。第4

章單元和插值函數(shù)的構(gòu)造剛度矩陣數(shù)值積分階次選擇的原則，以及保證這些原則實(shí)現(xiàn)的具體方案。等參單元采用等參變換的單元等參變換的概念和單元矩陣的變換局部坐標(biāo)單元幾何形狀規(guī)則幾何形狀規(guī)則的單元離散幾何形狀復(fù)雜的求解域比較困難規(guī)則形狀的單元邊界為曲線或曲面的單元轉(zhuǎn)化等參變換等參變換單元幾何形狀的變換和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)及相同的插值函數(shù)的變換整體坐標(biāo)單元幾何形狀扭曲坐標(biāo)變換等參變換等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換等參變換的概念和單元矩陣的變換等參變換等參變換的概念和單元矩陣的變換坐標(biāo)變換表示成插值函數(shù)的形式m

用以進(jìn)行坐標(biāo)變換的單元結(jié)點(diǎn)數(shù)形狀函數(shù)，也是局部坐標(biāo)表示的插值函數(shù)這些結(jié)點(diǎn)在總體坐標(biāo)的坐標(biāo)值函數(shù)插值形式相同坐標(biāo)變換和函數(shù)插值采用相同的結(jié)點(diǎn)，并且采用相同的插值函數(shù)，即等參變換超參變換坐標(biāo)變換結(jié)點(diǎn)數(shù)多于函數(shù)插值的結(jié)點(diǎn)數(shù)亞參變換坐標(biāo)變換結(jié)點(diǎn)數(shù)少于函數(shù)插值的結(jié)點(diǎn)數(shù)單元矩陣變換等參變換的概念和單元矩陣的變換有限元中的單元體積內(nèi)和面積內(nèi)的積分希望在自然（局部）坐標(biāo)內(nèi)按規(guī)格化進(jìn)行數(shù)值積分導(dǎo)數(shù)之間的變換G

和g

中常包含場函數(shù)對(duì)于整體坐標(biāo)x,y,z

的導(dǎo)數(shù)單元矩陣變換等參變換的概念和單元矩陣的變換導(dǎo)數(shù)之間的變換J

稱為Jacobi矩陣，可表示為單元矩陣變換等參變換的概念和單元矩陣的變換導(dǎo)數(shù)之間的變換是

J

的逆矩陣，可按下式計(jì)算單元矩陣變換等參變換的概念和單元矩陣的變換體積微元、面積微元的變換d,d,d在笛卡兒坐標(biāo)系內(nèi)所形成的體積微元是i,j,k

在是笛卡兒坐標(biāo)x,y,z

方向的單位向量等參變換的概念和單元矩陣的變換體積微元、面積微元的變換在=常數(shù)(c)的面上面積微元在面上的dA

可以通過輪換，，得到單元矩陣變換單元矩陣變換等參變換的概念和單元矩陣的變換有限元中的單元體積內(nèi)和面積內(nèi)的積分變換到自然坐標(biāo)系的規(guī)則化域內(nèi)，分別表示成（在的面上，）其中體積微元、面積微元的變換單元矩陣變換等參變換的概念和單元矩陣的變換Jacobi矩陣體積微元、面積微元的變換二維問題單元矩陣變換等參變換的概念和單元矩陣的變換二個(gè)坐標(biāo)之間的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系體積微元、面積微元的變換二維問題d

和d在笛卡兒坐標(biāo)系內(nèi)所形成的面積微元在=常數(shù)(c)的曲線上，在笛卡兒坐標(biāo)內(nèi)的線段微元的長度單元矩陣變換等參變換的概念和單元矩陣的變換面積或體積坐標(biāo)不完全獨(dú)立面積（體積）坐標(biāo)與笛卡兒坐標(biāo)之間的變換重新定義自然坐標(biāo)三維問題面積或體積坐標(biāo)不完全獨(dú)立單元矩陣變換等參變換的概念和單元矩陣的變換面積（體積）坐標(biāo)與笛卡兒坐標(biāo)之間的變換二維問題重新定義自然坐標(biāo)單元矩陣變換等參變換的概念和單元矩陣的變換面積（體積）坐標(biāo)與笛卡兒坐標(biāo)之間的變換積分限的改變L3=1L3=0234在L1=0

的表面上在34邊上，L2=0在23邊上，L1+L2+L3+L4=1，L1=0,L4=0，即L2=1-L3類似地，三維四面體1234，在L4=0

的表面上有L1=1-L2-L3等參變換的條件等參變換的條件和等參單元的收斂性等參變換為一種坐標(biāo)變換，其一一對(duì)應(yīng)的條件是Jacobi行列式不得為0。體積微元三維問題面積微元二維問題自然坐標(biāo)的微元不是一一對(duì)應(yīng)笛卡兒坐標(biāo)的一個(gè)點(diǎn)不成立等參變換的條件等參變換的條件和等參單元的收斂性笛卡兒坐標(biāo)中笛卡兒坐標(biāo)中劃分單元時(shí)，要防止出現(xiàn)的情況。等參變換的條件等參變換的條件和等參單元的收斂性=1=1=-1=-11423=1=1=-1=-1123，4正常情況結(jié)點(diǎn)3，4退化為一個(gè)結(jié)點(diǎn)該點(diǎn)等參變換的條件等參變換的條件和等參單元的收斂性=1=1=-1=-1142，3=1=1=-1=-11423結(jié)點(diǎn)2，3退化為一個(gè)結(jié)點(diǎn)該點(diǎn)在結(jié)點(diǎn)1，2，3，在結(jié)點(diǎn)4單元內(nèi)存在連續(xù)變化推廣至三維情況單元過分歪曲防止任意的二個(gè)結(jié)點(diǎn)退化為一個(gè)結(jié)點(diǎn)防止單元過分歪曲等參單元的收斂性等參變換的條件和等參單元的收斂性協(xié)調(diào)性相鄰單元在公共邊（或面）應(yīng)有完全相同的結(jié)點(diǎn)，同時(shí)每一單元沿這些邊（或面）的坐標(biāo)和未知函數(shù)應(yīng)采用相同的插值函數(shù)。適當(dāng)劃分網(wǎng)格和選擇單元，等參元完全能滿足協(xié)調(diào)性條件。沿兩個(gè)單元的邊界坐標(biāo)和變量都是二次變化沿三結(jié)點(diǎn)邊坐標(biāo)線性變化，變量二次變化沿二結(jié)點(diǎn)邊坐標(biāo)和變量都是線性變化變量協(xié)調(diào)變量不協(xié)調(diào)等參單元的收斂性等參變換的條件和等參單元的收斂性完全性坐標(biāo)和函數(shù)的插值函數(shù)表達(dá)式。要求插值函數(shù)中包含一次完全多項(xiàng)式?？紤]C0

型單元所討論單元的在自然坐標(biāo)中滿足此要求。等參變換笛卡兒坐標(biāo)中單元？滿足此要求否三維等參元等參單元的收斂性等參變換的條件和等參單元的收斂性完備性線性變化場函數(shù)在單元各個(gè)結(jié)點(diǎn)的數(shù)值賦予各個(gè)結(jié)點(diǎn)參數(shù)，即有單元內(nèi)得到線性變化的場函數(shù)，即能反映線性變化，滿足完備性要求。等參單元的收斂性等參變換的條件和等參單元的收斂性完備性單元不是等參超參單元，即單元完備性要求通常不滿足亞參單元，即變結(jié)點(diǎn)單元插值函數(shù)構(gòu)造方法等參單元的收斂性等參變換的條件和等參單元的收斂性完備性亞參單元滿足完備性要求。等參單元用于彈性力學(xué)問題的一般格式彈性力學(xué)問題系統(tǒng)方程其中母單元為，，

坐標(biāo)系中的立方體單元系列等參單元用于彈性力學(xué)問題的一般格式母單元為，，

坐標(biāo)系中的立方體單元系列（T

作用在=1的面）等參單元用于彈性力學(xué)問題的一般格式母單元為四面體的單元系列（T

作用在L1=1的面）自然坐標(biāo)取體積坐標(biāo)L1,L2,L3,L4令=L1,=L2,=L31---=L4則有二維問題的相應(yīng)公式可由以上公式退化得到以上的積分公式一般采用高斯數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分方法一維數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分基本思路：構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式n個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分可達(dá)2n-1階的精度構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式使用近似稱為積分點(diǎn)高斯積分方案中，是2n-1次多項(xiàng)式。如果是2n-1次多項(xiàng)式，積分結(jié)果將是精確的。為權(quán)系數(shù)數(shù)值積分方法二維和三維高斯積分在，，

不同坐標(biāo)方向上，也可以選不同的積分點(diǎn)數(shù)，即根據(jù)具體情況采用不同階的積分方案。二維三維等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇保證積分精度數(shù)值積分階次的選擇影響計(jì)算的精度和工作量一維問題剛度矩陣的積分選擇不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算失敗。積分階次的選擇原則插值函數(shù)N中多項(xiàng)式的階次p微分算子L中導(dǎo)數(shù)的階次m有限元中被積函數(shù)的階次2(p-m)對(duì)于等參元假設(shè)為常數(shù)高斯積分的階次n=p-m+1精確積分的多項(xiàng)式階次n=2(p-m)+1滿足剛度矩陣精確積分要求等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇保證積分精度二維、三維問題積分階次的選擇原則按被積函數(shù)所有項(xiàng)分析例：二維4結(jié)點(diǎn)雙線性單元假設(shè)單元為常數(shù)（單元形狀為矩形或平行四邊形）插值函數(shù)N中包含剛度矩陣被積函數(shù)中包含被積函數(shù)在

和

方向的最高方次為2階高斯積分精確積分單元的不是常數(shù)更多積分點(diǎn)精確積分等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇保證積分精度二維、三維問題積分階次的選擇原則類似地，二維8結(jié)點(diǎn)單元單元的為常數(shù)的條件下階高斯積分精確積分單元的不是常數(shù)更多積分點(diǎn)精確積分高斯積分階數(shù)等于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需要階數(shù)的積分方案，稱之為精確積分或完全積分。按被積函數(shù)所有項(xiàng)分析等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇保證積分精度二維、三維問題積分階次的選擇原則按插值函數(shù)中完全多項(xiàng)式分析常數(shù)高斯積分階數(shù)4結(jié)點(diǎn)單元完全多項(xiàng)式階數(shù)p8結(jié)點(diǎn)單元被積函數(shù)在

和

方向最高方次2(p-m)2(p-1)=0p=1p=22(p-1)=2高斯積分階數(shù)n=p-m+1,

式中p是插值函數(shù)中完全多項(xiàng)式的方次；

m是微分算子中導(dǎo)數(shù)的階次。這種高斯積分階數(shù)低于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需要階數(shù)的積分方案，稱之為減縮積分。等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇積分階次的選擇原則精確積分由插值函數(shù)中非完全項(xiàng)的最高方次所要求減縮積分往往比完全精確積分具有更好的精度有限元精度由完全多項(xiàng)式方次決定非完全的最高方次項(xiàng)并不能提高有限元精度，反而可能帶來不好的影響。取較低階的高斯積分，使積分精度正好保證完全多項(xiàng)式方次的要求，而不包括更高次的非完全多項(xiàng)式的要求，其實(shí)質(zhì)相當(dāng)于用一種新的插值函數(shù)替代原來的插值函數(shù)，從而改善單元的精度。由最小位能原理建立的位移有限元，其計(jì)算模型具有較實(shí)際結(jié)構(gòu)偏大的整體剛度。選取減縮積分使有限元模型的剛度有所降低，因此有助于提高計(jì)算精度。保證積分精度等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇積分階次的選擇原則保證結(jié)構(gòu)總剛度矩陣K是非奇異的彈性力學(xué)問題系統(tǒng)方程引入強(qiáng)迫邊界條件后，K必須是非奇異的。即K是滿秩的秩就是系數(shù)矩陣中獨(dú)立的行（列）數(shù)

K所有行（列）的系數(shù)都獨(dú)立的矩陣秩的兩個(gè)基本規(guī)則矩陣相加的秩規(guī)則矩陣相乘的秩規(guī)則等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇積分階次的選擇原則保證結(jié)構(gòu)總剛度矩陣K是非奇異的單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式彈性矩陣D

是方陣d

是應(yīng)變分量數(shù)

二維問題d

=3

三維問題d

=6

軸對(duì)稱問題d

=4應(yīng)變矩陣B

是矩陣是單元的結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)一般情況下

是高斯積分點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇積分階次的選擇原則保證結(jié)構(gòu)總剛度矩陣K是非奇異的如果系統(tǒng)的單元數(shù)為MN

是系統(tǒng)的獨(dú)立自由度數(shù)，也就是剛度矩陣K的階數(shù)剛度矩陣K

非奇異的必要條件假如未知場變量的元素?cái)?shù)目超過全部積分點(diǎn)可能提供的獨(dú)立關(guān)系數(shù)目，則矩陣K必然是奇異的。等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇積分階次的選擇原則剛度矩陣K

非奇異的必要和充分條件均滿足精確積分方案真實(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)有別于剛體運(yùn)動(dòng)的位移模式大于零的應(yīng)變能離散方案下的應(yīng)變能精確積分方案進(jìn)行精確計(jì)算總大于零K為正定，即必然是非奇異的。等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇積分階次的選擇原則剛度矩陣K

非奇異的必要條件需要檢查減縮積分方案8結(jié)點(diǎn)單元，給定剛體位移約束后，獨(dú)立自由度數(shù)n=28-3=13K是奇異的。12435678y,vx,uo減縮積分方案計(jì)算剛度矩陣K

可能的最大秩為剛度矩陣K

非奇異的必要條件未被滿足等參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇積分階次的選擇原則剛度矩陣K

非奇異的必要條件需要檢查減縮積分方案12435678y,vx,uo減縮積分方案形成剛度矩陣K共有4個(gè)零特征值相應(yīng)的4個(gè)特征位移模式中3個(gè)為剛體運(yùn)動(dòng)的位移模式1個(gè)為有別于剛體運(yùn)動(dòng)的位移模式，其表示為等