空間直角坐標系與空間幾何體

一、空間直角坐標系知識詮釋思維發(fā)散§9.5空間直角坐標系與空間幾何體1.如圖所示,在空間取一點O,以點O為原點作三條互相垂直的且有相同單位長度的數(shù)軸,分別稱為x軸,y軸,z軸,統(tǒng)稱為坐標軸.這三個坐標軸中每兩條確定一個平面.分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面,這樣的三條坐標軸就組成了空間坐標系.2.在空間坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y

軸的正方向,若中指指向z軸的正方向,則稱這個坐標系為右

手直角坐標系.3.在給定的空間直角坐標系中,空間點M與有序數(shù)組(x,y,z)建

立了一一對應關(guān)系,因此,有序數(shù)組(x,y,z)叫做點M在此空間

直角坐標系的坐標,記作M(x,y,z),其中x叫做點M的橫坐標,y

叫做點M的縱坐標,z叫做點M的豎坐標.4.空間任意兩點M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)之間的距離|M1M2|=

.5.空間中兩點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),線段P1P2的中點M的坐標是(

,

,

).二、立體幾何的綜合應用1.平行與垂直.2.幾何體的表面積和體積.3.三視圖與直觀圖中的平行與垂直.4.球的有關(guān)問題.5.立體幾何與函數(shù)、導數(shù).1.點P(a,b,c)到坐標平面xOy的距離是

(

)(A)

.

(B)|a|.

(C)|b|.

(D)|c|.【解析】作PP1⊥xOy平面,則P1(a,b,0),|PP1|=|c|為所求.【答案】D2.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),當|AB|取最小值時,x的值為

(

)(A)19.

(B)-

.

(C)

.

(D)

.【解析】∵|AB|=

=

,∴當x=-

=

時,|AB|取最小值.【答案】C3.如圖所示,在長方體OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=

2,M是OB1與BO1的交點,則M點的坐標是

.【解析】因為|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,∴A(2,0,0),A1(2,0,2),B(2,3,0),B1(2,3,2).所以M點的坐標為(

,

,

),即(1,

,1).【答案】(1,

,1)

核心突圍技能聚合題型1空間直角坐標系的基本問題

例1

(1)在空間直角坐標系中,已知點P(x,y,z)關(guān)于下列敘述:①點P關(guān)于x軸對稱點的坐標是P1(x,-y,z);②點P關(guān)于yOz平面對稱點的坐標是P2(x,-y,-z);③點P關(guān)于y軸對稱點的坐標是P3(x,-y,z);④點P關(guān)于原點對稱點的坐標是P4(-x,-y,-z).其中敘述正確的個數(shù)是

(

)(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)4.(2)已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),則|AB|的最小值是

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【分析】(1)點P的對稱點關(guān)鍵要抓住對稱平面和對稱軸;(2)

建立關(guān)于含有t的距離表達式.【解析】(1)點P(x,y,z)關(guān)于x軸對稱點的坐標是P1(x,-y,-z),故

①錯誤;點P(x,y,z)關(guān)于yOz平面對稱點的坐標是P2(-x,y,z),故

②錯誤;點P(x,y,z)關(guān)于y軸對稱點的坐標是P3(-x,y,-z),故③錯

誤;點P(x,y,z)關(guān)于原點對稱點的坐標是P4(-x,-y,-z),故④正確,

所以應選A.(2)|AB|=

=

=

≥

.【答案】(1)A

(2)C【點評】(1)點P(x,y,z)關(guān)于坐標軸x軸(y軸或z軸)的對稱點坐

標為x值不變(y值或z值不變),其余兩坐標值變?yōu)樵瓉淼南喾?/p>

數(shù),點P(x,y,z)關(guān)于坐標平面yOz(平面xOy或平面xOz)對稱點

的坐標為x值變?yōu)樵档南喾磾?shù)(z值變?yōu)樵档南喾磾?shù)或y

值變?yōu)樵档南喾磾?shù)),其余兩坐標值不變.(2)本題體現(xiàn)了學科間的綜合問題,最終轉(zhuǎn)化成了求函數(shù)的最

值問題,特別是二次函數(shù)的最值問題在高中數(shù)學各章節(jié)中的

滲透無處不在,應該把二次函數(shù)的知識靈活應用.變式訓練1

(1)已知ABCD為平行四邊形,且A(4,1,3),B(2,-5,

1),C(3,7,-5),則點D的坐標為

(

)(A)(-3,1,5).

(B)(2,3,1).(C)(5,13,-3).

(D)(

,4,-1).(2)若A、B兩點的坐標是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,2sinβ,1),

其中α、β∈R,則|AB|的取值范圍是

(

)(A)[0,5].

(B)[1,5].(C)(1,5).

(D)[1,25].【解析】(1)AC的中點與BD的中點重合,AC的中點為(

,4,-1),則2×

=2+x,2×4=-5+y,2×(-1)=1+z,則點D的坐標為(5,13,-3).(2)|AB|=

=

=

.∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|AB|∈[1,5].【答案】(1)C

(2)B題型2空間直角坐標系的應用如圖,在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的等邊三角形,平面SAC⊥平面ABC,|SA|=|SC|=2

,D為線段AB的中點,求證:|SA|=|SD|.

例2

【分析】本題一方面可運用立體幾何知識求解,但需要添加

一些輔助線;另一方面也可根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標

系,將幾何證明問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算問題.【解析】取AC的中點為O,連接OS,OB.∵|SA|=|SC|,|AB|=|BC|,∴AC⊥SO,且AC⊥OB.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC.∴SO⊥平面ABC.∴SO⊥OB.如圖,以O為原點,OA、OB、OS所在的直線分別為x軸、y軸

、z軸,建立空間直角坐標系O-xyz,則易得A(2,0,0),B(0,2

,0),S(0,0,2

),∴D(1,

,0).|SD|=

=2

.又|SA|=2

,∴|SA|=|SD|.【點評】依據(jù)面面垂直建立空間直角坐標系,將幾何證明化歸為代數(shù)計算,是解決此類問題的關(guān)鍵.變式訓練2

如圖,正方形ABCD、正方形ABEF的邊長都是

1,且平面ABCD、平面ABEF互相垂直,點M在AC上移動,點N

在BF上移動,若CM=BN=a(0<a<

).(1)求線段MN的長;(2)當a為何值時,線段MN的長最小,最小值為多少?【解析】(1)如圖,以點B為原點,BA、BE、BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系.易得M(

a,0,1-

a),N(

a,

a,0).|MN|=

=

.故線段MN的長為

(0<a<

).(2)由(1),知MN=

.∴當a=

時,|MN|取得最小值

,即M、N分別移動到AC,BF的中點時,線段MN的長最小,最小值為

.題型3探索性問題

例3在空間直角坐標系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),試問:(1)在y軸上是否存在點M,滿足|MA|=|MB|?(2)在y軸上是否存在點M,使△MAB為等邊三角形?若存在,試

求出點M的坐標.【分析】設出點M的坐標,根據(jù)相等關(guān)系列出方程(組).求出

點M的坐標.【解析】(1)假設在y軸上存在點M,滿足|MA|=|MB|.∵M在y軸上,可設M(0,y,0).由|MA|=|MB|,可得

=

.顯然,此式對任意y∈R恒成立.這就是說y軸上所有點都滿足

關(guān)系|MA|=|MB|.(2)假設在y軸上存在點M(0,y,0),使△MAB為等邊三角形.由(1)可知,y軸上任一點都有|MA|=|MB|,∴只要|MA|=|AB|,就可以使得△MAB為等邊三角形.|MA|=

=

,|AB|=

=2

,由

=2

,解得y=±

.故y軸上存在點M使△MAB為等邊三角形,點M的坐標為(0,

,0)或(0,-

,0).【點評】由此可見,利用空間兩點間的距離公式可以探索點的坐標是否存在的問題,而且方法簡捷.變式訓練3如圖所示,正四棱錐S-ABCD的底面邊長為a,側(cè)

棱長也為a,E為線段SC的中點,AC與BD交于點O,問在線段

BD上是否存在一點F,使得|EF|=

a?若存在,找出點F的位置;若不存在,請說明理由.【解析】以O為原點,線段AB、BC的中垂線所在直線為x軸

、y軸,OS所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系O-

xyz,則A(

,-

,0),B(

,

,0),C(-

,

,0),D(-

,-

,0).∵|SO|=

=

=

a,∴點S的坐標為(0,0,

a).∵E為線段SC的中點,點E的坐標為(-

,

,

a).假設在BD上存在一點F(x,x,0),x∈[-

,

],使得|EF|=

a.由空間兩點間的距離公式,得

=

a.整理,得2x2+

=

,∴x=±

a∈[-

,

].故在線段BD上存在點F(

a,

a,0)或(-

a,-

a,0)滿足題意.本知識點主要包括空間直角坐標系和空間兩點間的距離公

式.空間直角坐標系和平面直角坐標系有很多相似的地方,平面直角坐標系中的一些結(jié)論可以類似地在空間直角坐標系

中得到.空間兩點間的距離公式可以用來求兩點間的距離,也

可以由距離求點的坐標;結(jié)合具體圖形建立適當?shù)目臻g直角

坐標系,可以求圖形中一些特殊點之間的距離,與在平面直角

坐標系中一樣,在空間直角坐標系中,也可以求滿足一定條件

的點的軌跡方程.

例已知A-BCD為正四面體,且A(0,0,0),B(0,2,0),C(

,1,0),求點D的坐標.【錯解】A-BCD為正四面體,設D(x,y,z),則|AD|=|BD|=|CD|=|AB|,即x2+y2+z2=x2+(y-2)2+z2

=(x-

)2+(y-1)2+z2=4.

解得x=

,y=1,z=

.從而D點的坐標為(

,1,

).【剖析】正四面體的三個點確定后,第四個頂點的位置有兩

種可能,故本題有兩解.解題絕不能想當然,憑主觀臆斷,而應

多想想為什么?譬如這里的點D位置是一個還是兩個呢?如

果多想一想,本題就不會解錯了.【正解】同錯解,得x=

,y=1,z=±

.從而點D的坐標為(

,1,

)或(

,1,-

).1.(基礎再現(xiàn))點B是點A(1,2,3)在坐標平面yOz內(nèi)的射影,則|OB|等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】∵B點坐標為(0,2,3),∴|OB|=

=

.【答案】B一、選擇題(本大題共5小題,每小題6分)基礎·角度·思路2.(基礎再現(xiàn))在空間直角坐標系中,已知點P(1,

,

),過P作平面yOz的垂線PQ,則垂足Q的坐標為

(

)(A)(0,

,0).

(B)(0,

,

).(C)(1,0,

).

(D)(1,

,0).【解析】根據(jù)空間直角坐標系的概念知,yOz平面上點Q的x

坐標為0,y坐標、z坐標與點P的y坐標

、z坐標

分別相等,∴Q(0,

,

).【答案】B3.(基礎再現(xiàn))三棱錐P-ABC中,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,1,0),P(0,0,

3),此棱錐的體積為

(

)(A)1.

(B)3.

(C)6.

(D)2.【解析】VP-ABC=

·S△ABC·PA=

×

×2×1×3=1.【答案】A4.(視角拓展)已知點A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),則△ABC的

形狀是

(

)(A)等腰三角形.

(B)等邊三角形.(C)直角三角形.

(D)等腰直角三角形.【解析】|AB|=

=

,|BC|=

=

,|AC|=

=

,∵|BC|2+|AC|2=|AB|2,∴△ABC為直角三角形.【答案】C5.(視角拓展)設y∈R,則點P(1,y,2)的集合為

(

)(A)垂直于xOz平面的一條直線.(B)平行于xOz平面的一條直線.(C)垂直于y軸的一個平面.(D)平行于y軸的一個平面.如圖,y變化時,點P的x坐標為1,z坐標為2保持不變,點P在xOz平面上射影為P'(1,0,2),∴P點的集合為直線PP',它垂直于xOz平面.【答案】A【解析】二、填空題(本大題共4小題,每小題7分)6.(基礎再現(xiàn))已知三角形的三個頂點A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(-5,

0,2),則過點A的中線長為

.【解析】BC的中點為(-1,1,-2),故過點A的中線長為

=7.【答案】77.(視角拓展)在空間直角坐標系中,正方體ABCD-A1B1C1D1的

頂點A(3,-1,2),其中心M(0,1,2),則正方體的棱長為

.【解析】設正方體的棱長為a,則對角線的長|AC1|=

a=2|AM|,∴a=

=

=

.【答案】

8.(高度提升)實數(shù)x、y、z滿足(x-3)2+(y-4)2+z2=2,那么x2+y2+z2

的最小值是

.【解析】(x-3)2+(y-4)2+z2=2表示以C(3,4,0)為球心,半徑為

的球面,u=x2+y2+z2表示球面上的點(x,y,z)到原點O(0,0,0)距離

的平方,∵|CO|=5>

,∴原點O在球面外,故O到球面上點的最小距離d=|CO|-

,∴u=d2=(5-

)2=27-10

.【答案】27-10

9.(高度提升)已知空間三點A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),點Q在

直線OP上運動(O為原點).當

·

取最小值時,點Q的坐標為

.【解析】設Q(x,y,z),則有

=λ

,即(x,y,z)=(λ,λ,2λ),于是

=(1-λ,2-λ,3-2λ),

=(2-λ,1-λ,2-2λ),∴

·

=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10,顯然當λ=

時取最小值,此時Q(

,

,

).【答案】(

,

,

)三、解答題(本大題共3小題,每小題14分)10.(視角拓展)在空間直角坐標系中,點A在x軸上,它到點B(0,

,3)的距離是到點C(0,1,-1)的距離的2倍,求A點坐標.【解析】∵A點在x軸上,∴可設A(m,0,0).∵|AB|=2|AC|,∴

=2

,∴m2+2+9=4(m2+1+1),∴3m2=3,∴m=±1,∴A(1,0,0)或A(-1,0,0).11.(高度提升)正三棱錐P-