高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)課件：二項(xiàng)式定理

第三節(jié)二項(xiàng)式定理1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理；2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.1.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，利用通項(xiàng)公式求特定的項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)，或已知某項(xiàng)，求指數(shù)n等是考查重點(diǎn)；2.賦值法、化歸思想是解決二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題的基本思想和方法，也是高考考查的熱點(diǎn)；3.題型以選擇題和填空題為主，與其他知識(shí)點(diǎn)交匯則以解答題為主.1.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)(a+b)n=__________________________________________(n∈N*)Tk+1=__________,二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)________________________________(k=0,1,2,…,n)它表示第______項(xiàng)【即時(shí)應(yīng)用】(1)(a+b)n展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)(k=0,1,2,…,n)與展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)______(填：“一定”，“不一定”)相同.(2)=______.(3)的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)等于______.【解析】(1)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念,二項(xiàng)式系數(shù)是指它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a,b無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的部分，它不僅與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，而且也與a,b所代表的項(xiàng)有密切關(guān)系.(2)原式=(1-2)11=-1.(3)的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝令6－r＝3，得r＝2，r－3＝0，故x3的系數(shù)為(－1)2＝15.答案：(1)不一定(2)-1(3)152.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即_________.(2)增減性：①二項(xiàng)式系數(shù)當(dāng)k＜_____時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；②當(dāng)k＞______時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的.3)最大值:①當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)___取得最大值；②當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)_____和_____相等，且同時(shí)取得最大值.【即時(shí)應(yīng)用】(1)二項(xiàng)式(1-x)4n+1的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為第______項(xiàng).(2)若展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)等于______.【解析】(1)因?yàn)?n+1為奇數(shù)，所以展開(kāi)式有4n+2項(xiàng)，則T2n+1=(-x)2n,T2n+2=(-x)2n+1，系數(shù)分別為所以系數(shù)最大的項(xiàng)為第2n+1項(xiàng).(2)由已知，得第6項(xiàng)應(yīng)為中間項(xiàng)，則n=10.令30-5r=0，得r=6.∴T6+1==210.答案：(1)2n+1(2)2103.各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和(1)(a+b)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于___，即_____________________；(2)二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即=______________=_____.2n2n-1【即時(shí)應(yīng)用】(1)若(x－)n的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為_(kāi)_____.(2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則a0-a1+a2-a3+a4等于______.(3)已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0+a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于______．【解析】(1)依題意，得＝15，即＝15，n(n－1)＝30(其中n≥2)，由此解得n＝6，因此展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(1－)6＝(2)由題意，可知令x＝－1，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+a4＝［3－(－1)］4＝256.(3)分別令x＝1、x＝－1,得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0,a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝32，由此解得a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案:(1)(2)256(3)-256

求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定的項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)【方法點(diǎn)睛】1.理解二項(xiàng)式定理應(yīng)注意的問(wèn)題(1)Tr+1通項(xiàng)公式表示的是第“r+1”項(xiàng)，而不是第“r”項(xiàng)；(2)通項(xiàng)公式中a和b的位置不能顛倒；(3)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第r+1項(xiàng)的系數(shù)在一般情況下是不相同的，在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，一般先處理符號(hào)，對(duì)根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心,以防出錯(cuò).2.求特定項(xiàng)的步驟(1)根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n為正整數(shù)，r為非負(fù)整數(shù)，且r≤n)；(2)根據(jù)所求項(xiàng)的指數(shù)特征求所要求解的項(xiàng).【例1】(1)(2012?寧波模擬)在的展開(kāi)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有______項(xiàng).(2)(2012?煙臺(tái)模擬)(x+-1)5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.(3)在的展開(kāi)式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？【解題指南】(1)先明確系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的特征，然后由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)找出符合條件的項(xiàng)的個(gè)數(shù).(2)可將括號(hào)內(nèi)的三項(xiàng)分成兩組看成兩項(xiàng)，再利用二項(xiàng)式定理求解，也可直接展開(kāi)所給式子進(jìn)行求解.(3)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，據(jù)此可構(gòu)造含有r的不等式組，求出r的范圍后，再求項(xiàng)數(shù).【規(guī)范解答】(1)∵要求系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)，則r必須能被4整除.由0≤r≤20且r∈N知，當(dāng)且僅當(dāng)r=0,4,8,12,16,20時(shí)所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù).答案:6(2)方法一：∵(x+-1)5=［(x+)-1］5,∴它的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：Tr+1=(0≤r≤5).當(dāng)r=5時(shí)，Tr+1=×1×(-1)5=-1，當(dāng)0≤r＜5時(shí)，(x+)5-r的通項(xiàng)公式為

∵0≤r≤5且r∈Z,∴r只能取1或3,相應(yīng)的k值分別為2或1，即或所以，其常數(shù)項(xiàng)為

(-1)+(-1)3+(-1)=-51.方法二：由于本題只是5次展開(kāi)式，也可以直接展開(kāi)［(x+)-1］5，即［(x+)-1］5=(x+)5-5(x+)4+10(x+)3-10(x+)2+5(x+)-1.由x+的對(duì)稱性知，只有在x+的偶次冪中，其展開(kāi)式才會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，且是各自的中間項(xiàng).所以，其常數(shù)項(xiàng)為：答案:-51(3)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則即：5≤r≤6，故系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).【互動(dòng)探究】在本例(3)中，條件不變，求系數(shù)最大的項(xiàng)和最小的項(xiàng)？【解析】由本例(3)知，展開(kāi)式的第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，而第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)的系數(shù)為正.故系數(shù)最大的項(xiàng)為：系數(shù)最小的項(xiàng)為：【反思?感悟】求二項(xiàng)式n次冪的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，一般利用結(jié)合律，借助于二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)求解；當(dāng)冪指數(shù)比較小時(shí)，可以直接寫(xiě)出展開(kāi)式的全部或局部.【變式備選】已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列.(1)求證：展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).

二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和【方法點(diǎn)睛】賦值法的應(yīng)用(1)對(duì)形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=1即可；對(duì)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=1即可.(2)若f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=【提醒】“賦值法”是求二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題常用的方法，注意取值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項(xiàng)等情況，應(yīng)引起注意.【例2】(2012?梅州模擬)設(shè)(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，求：(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|；(3)a1+a3+a5；(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2.【解題指南】(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5為關(guān)于x的恒等式，求系數(shù)和的問(wèn)題可用賦值法解決.【規(guī)范解答】設(shè)f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，則f(1)=a0+a1+a2+…+a5=1,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243.(1)∵a5=25=32,∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31.(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243.(3)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5),∴a1+a3+a5==122.(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)×f(-1)=-243.【反思?感悟】1.賦值法是解這類問(wèn)題的重要方法，運(yùn)用賦值法求值要抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu).2.本題是關(guān)于二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的常見(jiàn)問(wèn)題，應(yīng)掌握f(shuō)(1),f(-1)的意義，借助f(1)求展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)和是常用的方法.【變式訓(xùn)練】1.已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，則n＝______.【解析】易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30.又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，即2n＋1－2＝30，所以n＝4.答案:42.已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，則a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝.【解析】由二項(xiàng)式定理，得代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以n＝6，令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.答案:64【變式備選】設(shè)(x2-x-1)50=a100x100+a99x99+a98x98+…+a0.(1)求a100+a99+a98+…+a1的值；(2)求a100+a98+a96+…+a2+a0的值.【解析】(1)令x=0,得a0=1;令x=1,得a100+a99+a98+…+a1+a0=1,所以a100+a99+a98+…+a1=0.(2)令x=-1,得a100-a99+a98+…-a1+a0=1,①而a100+a99+a98+…+a1+a0=1,②①+②整理可得a100+a98+a96+…+a2+a0=1.

二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用(1)利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時(shí)，(1+x)n≈1+nx.(2)利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題:在證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開(kāi)后的每一項(xiàng)都有除式的因式，要注意變形的技巧.(3)利用二項(xiàng)式定理證明不等式:由于(a+b)n的展開(kāi)式共有n+1項(xiàng)，故可以對(duì)某些項(xiàng)進(jìn)行取舍來(lái)放縮，從而達(dá)到證明不等式的目的.【例3】(1)求證：4×6n＋5n＋1－9能被20整除.(2)根據(jù)所要求的精確度，求1.025的近似值.(精確到0.01).【解題指南】(1)將6拆成“5+1”，將5拆成“4+1”,進(jìn)而利用二項(xiàng)式定理求解.(2)把1.025轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，適當(dāng)展開(kāi)，根據(jù)精確度的要求取必要的幾項(xiàng)即可.【規(guī)范解答】(1)4×6n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4［(5＋1)n－1］＋5［(4＋1)n－1］＝20［(5n－1＋＋…＋)＋(4n－1＋＋…＋)］，是20的倍數(shù)，所以4×6n＋5n＋1－9能被20整除.(2)1.025=(1+0.02)5=∴當(dāng)精確到0.01時(shí)，只要展開(kāi)式的前三項(xiàng)和，1+0.10+0.004=1.104，近似值為1.10.【互動(dòng)探究】將本例(2)中精確到0.01改為精確到0.001，如何求解?【解析】由本例(2)知，當(dāng)精確到0.001時(shí)，只要取展開(kāi)式的前四項(xiàng)和,1+0.10+0.004+0.00008=1.10408.近似值為1.104.【反思?感悟】利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題時(shí)，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一個(gè)是除數(shù)的倍數(shù)；其次展開(kāi)式有什么規(guī)律，余項(xiàng)是什么，必須清楚.2.求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.【解析】0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)1＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6.因?yàn)門(mén)3＝(－0.002)2＝15×(－0