微積分基礎知識

§4.1不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念二、不定積分的幾何意義三、不定積分的性質(zhì)四、基本積分公式五、不定積分的求法前面我們討論了一元函數(shù)的微分學，它的基本問題是求已知函數(shù)的導數(shù)或微分。而在實際問題中，還會遇到與此相反問題，即已知一個函數(shù)的導數(shù)或微分，求此函數(shù)。

例如：已知作非勻速直線運動的物體在任意時刻的速度，要求物體的運動方程：。這類問題在數(shù)學中歸結為求導運算的逆運算，我們稱之為求函數(shù)的不定積分。一、原函數(shù)與不定積分的概念

1.原函數(shù)：設是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在一個函數(shù)，使對于該區(qū)間任意，都有關系式：或成立，則稱函數(shù)為函數(shù)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。例又因為：所以顯然，，，都是的一個原函數(shù)?！镉纱瞬浑y得出：

（1）一個函數(shù)的原函數(shù)不惟一，且有無窮多個。

（2）同一函數(shù)的原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)。

（3）若為的一個原函數(shù)，則表示的所有原函數(shù)。

2.不定積分的定義：設是在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則函數(shù)的全體原函數(shù)（c為任意常數(shù)）

任意常數(shù)積分符號被積函數(shù)被積表達式積分變量

3.如何求不定積分稱為在該區(qū)間I上的不定積分。即：例1解：例2解：求求因為所以是的一個原函數(shù)，從而有因為所以是的一個原函數(shù)，從而有例3求因為結論（3）不是每個函數(shù)在定義區(qū)間上都有原函數(shù)；在定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)（即：一定有不定積分）。（1）求函數(shù)的不定積分就是求的全體原函數(shù)，實際上只需求出它的一個原函數(shù)，再加上一個常數(shù)C即可。（2）檢驗積分結果正確與否的方法是：積分結果的導函數(shù)等于被積函數(shù)。設函數(shù)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而的全部積分曲線所組成的積分曲線族。其方程為的圖象顯然可由這條曲線沿或向下平行移動就可以得到，這樣就得到一族曲線，因此，不定積分的幾何意義是軸向上設函數(shù)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而所組成的積分曲線族。其方程為的圖象顯然可由這條曲線沿或向下平行移動就可以得到，這樣就得到一族曲線，因此，不定積分的幾何意義是軸向上設函數(shù)在某區(qū)間上的一個原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線，稱為積分曲線。而二、不定積分的幾何意義如下圖所示：

例4

設曲線通過點（1,2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為三、不定積分的性質(zhì)定理1

微分運算與積分運算互為逆運算，即

定理2定理3積分運算和微分運算是互逆的，因此，對每一個導數(shù)公式都可以得出一個相應的積分公式。四、基本積分公式將基本導數(shù)公式從右往左讀，（然后稍加整理）可以得出基本積分公式（基本積分表）?；痉e分表是常數(shù));基本積分表1.直接積分法（直接利用基本積分公式與性質(zhì)求積分）解根據(jù)冪函數(shù)的積分公式例5

求下列函數(shù)的不定積分（恒等變形法）

五、不定積分的求法：(1)解:解:原式例6

求下列函數(shù)的不定積分解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解所求曲線方程為3.基本積分表；5.不定積分的（線性）性質(zhì)；

1.原函數(shù)的概念：