微積分基礎(chǔ)知識(shí)

§4.1不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念二、不定積分的幾何意義三、不定積分的性質(zhì)四、基本積分公式五、不定積分的求法前面我們討論了一元函數(shù)的微分學(xué)，它的基本問(wèn)題是求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分。而在實(shí)際問(wèn)題中，還會(huì)遇到與此相反問(wèn)題，即已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，求此函數(shù)。

例如：已知作非勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻的速度，要求物體的運(yùn)動(dòng)方程：。這類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)中歸結(jié)為求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，我們稱(chēng)之為求函數(shù)的不定積分。一、原函數(shù)與不定積分的概念

1.原函數(shù)：設(shè)是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在一個(gè)函數(shù)，使對(duì)于該區(qū)間任意，都有關(guān)系式：或成立，則稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。例又因?yàn)椋核燥@然，，，都是的一個(gè)原函數(shù)?！镉纱瞬浑y得出：

（1）一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)不惟一，且有無(wú)窮多個(gè)。

（2）同一函數(shù)的原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)。

（3）若為的一個(gè)原函數(shù)，則表示的所有原函數(shù)。

2.不定積分的定義：設(shè)是在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則函數(shù)的全體原函數(shù)（c為任意常數(shù)）

任意常數(shù)積分符號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量

3.如何求不定積分稱(chēng)為在該區(qū)間I上的不定積分。即：例1解：例2解：求求因?yàn)樗允堑囊粋€(gè)原函數(shù)，從而有因?yàn)樗允堑囊粋€(gè)原函數(shù)，從而有例3求因?yàn)榻Y(jié)論（3）不是每個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上都有原函數(shù)；在定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)（即：一定有不定積分）。（1）求函數(shù)的不定積分就是求的全體原函數(shù)，實(shí)際上只需求出它的一個(gè)原函數(shù)，再加上一個(gè)常數(shù)C即可。（2）檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否的方法是：積分結(jié)果的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù)。設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線(xiàn)，稱(chēng)為積分曲線(xiàn)。而的全部積分曲線(xiàn)所組成的積分曲線(xiàn)族。其方程為的圖象顯然可由這條曲線(xiàn)沿或向下平行移動(dòng)就可以得到，這樣就得到一族曲線(xiàn)，因此，不定積分的幾何意義是軸向上設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線(xiàn)，稱(chēng)為積分曲線(xiàn)。而所組成的積分曲線(xiàn)族。其方程為的圖象顯然可由這條曲線(xiàn)沿或向下平行移動(dòng)就可以得到，這樣就得到一族曲線(xiàn)，因此，不定積分的幾何意義是軸向上設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)為，則

在幾何上表示一條曲線(xiàn)，稱(chēng)為積分曲線(xiàn)。而二、不定積分的幾何意義如下圖所示：

例4

設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)（1,2），且其上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線(xiàn)方程.解設(shè)曲線(xiàn)方程為根據(jù)題意知由曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)（1，2）所求曲線(xiàn)方程為三、不定積分的性質(zhì)定理1

微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算，即

定理2定理3積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此，對(duì)每一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式都可以得出一個(gè)相應(yīng)的積分公式。四、基本積分公式將基本導(dǎo)數(shù)公式從右往左讀，（然后稍加整理）可以得出基本積分公式（基本積分表）?；痉e分表是常數(shù));基本積分表1.直接積分法（直接利用基本積分公式與性質(zhì)求積分）解根據(jù)冪函數(shù)的積分公式例5

求下列函數(shù)的不定積分（恒等變形法）

五、不定積分的求法：(1)解:解:原式例6

求下列函數(shù)的不定積分解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解所求曲線(xiàn)方程為3.基本積分表；5.不定積分的（線(xiàn)性）性質(zhì)；

1.原函數(shù)的概念：