2023 年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 幾何圖形變換綜合壓軸題 培優(yōu)提升專題訓(xùn)練（含解析）

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《幾何圖形變換綜合壓軸題》培優(yōu)提升專題訓(xùn)練（附答案）1．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，邊長為6，點D為動點，AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE．（1）如圖1，連接BD，CE，求證BD＝CE；（2）如圖2，∠BAD＝∠DBC，連接DE，求證：點B，D，E三點在同一條直線上；（3）如圖3，點D在△ABC的高BF上，連接EF，求EF的最小值．2．綜合與探究問題提出：某興趣小組在綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點放置于點D上，得到∠MDN，將∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，射線DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點，如圖1所示．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點時，試猜想線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）類比探究：如圖3，當E，F(xiàn)不是AB，AC的中點，但滿足BE＝AF時，判斷△DEF的形狀，并說明理由．（3）拓展應(yīng)用：①如圖4，將∠MDN繞點D繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線DM，DN分別與AB，CA的延長線交于E，F(xiàn)兩點，滿足BE＝AF，△DEF是否仍然具有（2）中的情況？請說明理由；②若在∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，射線DM，DN分別與直線AB，CA交于E，F(xiàn)兩點，滿足BE＝AF，若AB＝a，BE＝b，則AE＝（用含a，b的式子表示）．3．如圖，△ABC為等腰三角形，AB＝AC．點D、點E分別在射線BA、射線BC上，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)至DF，使得點F恰好在射線BC上，旋轉(zhuǎn)角為α．（1）當點C、點E重合時，如圖1，若α＝30°，∠B＝60°，AD＝4，求線段BC的長度；（2）當點C、點F重合時，如圖2，AC與DE交于點G，若DG＝EG，求證：BE＝CE；（3）當BE＝CE＝CF，∠B＝30°時，如圖3，點P是射線BA上的動點，連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至線段CP′，連接FP′．將△CFP′沿直線FP′翻折至△CFP′所在平面內(nèi)得到△C′FP′，直線C′P′與射線BC交于點Q．在點P運動過程中，當FP′最小時，請直接寫出的值．4．如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．（1）判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）延長ED交直線BC于點F．①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為；②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)并說明理由．5．在△ABC中，AB＝AC，D是邊AC上一點，F(xiàn)是邊AB上一點，連接BD、CF交于點E，連接AE，且AE⊥CF．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，AF＝1，AC＝，求點B到AE的距離；（2）如圖2，若E為BD中點，連接FD，F(xiàn)D平分∠AFC，G為CF上一點，且∠GDC＝∠GCD，求證：DG+AF＝FC；（3）如圖3，若∠BAC＝120°，BC＝12，將△ABD沿著AB翻折得△ABD′，點H為BD′中點，連接HA、HC，當△HAC周長最小時，請直接寫出的值．6．在△ABC中，AB＝AC，CE＝CD＝BC（CE≥CA），∠ACB+∠ECD＝180°，點P為直線DE上一點，且PB＝PD．（1）如圖1，點D在線段BC延長線上，若∠ACB＝50°，求∠ABP的度數(shù)；（2）如圖2，△ABC與△CDE在圖示位置時，求證：BP平分∠ABC；（3）如圖3，若∠ABC＝60°，AB＝4，將圖3中的△CDE（從CE與CA重合時開始）繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，且點B與點D不重合，當△EPC為等腰三角形時，求BE2的值．7．如圖，在等邊△ABC中，點D為BC的中點，點E為AD上一點，連EB、EC，將線段EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至EF，使點F落在BA的延長線上．（1）在圖1中畫出圖形：①求∠CEF的度數(shù)；②探究線段AB，AE，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖2，若AB＝4，點G為AC的中點，連DG，將△CDG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CMN，直線BM、AN交于點P，連CP，在△CDG旋轉(zhuǎn)一周過程中，請直接寫出△BCP的面積最大值為．8．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，過點C作CD⊥BD交AB于M，若BM＝2，．求DM的長；（2）如圖2，若AD⊥AE，且AD＝AE，延長AD、CB交于點F，作EG⊥EA交CB于點G．猜想FD、CE、EG之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，若，D為一動點且始終有BD⊥CD，取CD的中點M，連接BM，將MB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點E，直接寫出△ABE面積的最大值．9．已知在△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD，AC＝CD，點E是直線CD上的一個動點；連接AE并延長交直線BC于F，AF＝BF．（1）如圖1，若∠BAC＝75°，AC＝6，CE＝2，求點A到CD的距離；（2）如圖2，若點E是線段CD的中點，求證：AB＝2AD；（3）如圖3，若∠BAC＝45°，AD＝4，將線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)45°，點E的對應(yīng)點為點G，連接EG，求CG的最小值．10．在△ABC中，記∠BAC＝α，將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段BD，連接AD，取AD的中點E．（1）如圖1，過點D作DF⊥AB于點F，連接EF．若α＝90°，tan∠BDF＝，EF＝2，求AC的長；（2）如圖2，若α＝120°，連接BE，猜想AB、AC、BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）問的條件下，若BC＝4，將△ABE沿著AB翻折得到△ABE'，連接DE'，當DE'最大時，請直接寫出△BDE'的面積．11．如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如圖1，D為線段BC上一點，連接BE、CE，已知DE﹣CD＝2，BD＝8，求AB的長；（2）如圖2，D為線段BC上一點，連接BE、CE．過點A作AH⊥BE于H，延長AH交CD于F，取CE中點G，連接FG，求證：DE＝2FG；（3）如圖3，已知AB＝4，AD＝2．作點A關(guān)于直線BC的對稱點A′，將△ADE以A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，點M為DE中點，連接CM，將線段CM繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段CM′，連接A'M'．在A'M'的長度取得最大的情況下，取AB的中點K，動點Q在線段BC上，連KQ，將△BKQ沿KQ翻折到同一平面的△B′KQ，連接B′M′、B′A′．當A′B′取得最小時，請直接寫出△A′B′M′的面積．12．△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD．（1）如圖①，若△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，請直接寫出AE，AD，AC的數(shù)量關(guān)系；（2）將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置，點B在線段AE上，連AD，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請給出正確結(jié)論并說明理由．（3）在△ACB繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，當A、E、B三點共線時，若AC＝3，CD＝，請直接寫出△ACE的面積．13．已知，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點D在射線CB上，連接DA，將線段DA繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到DE，過點E作EM⊥BC交直線BC于點M，連接AE，CE．（1）當點D在線段CB上（且不與點C、點B重合）時，如圖①所示，①求證：MC＝BD；②求證：∠ACE＝90°；（2）延長AD與直線CE相交于點N，①當點D在線段CB上（且不與點C、點B重合）時，如圖②所示，若AD平分∠BAC，且BD＝2，直接寫出線段NE的長；②當＝時，直接寫出的值．14．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點D，E分別為AB，AC中點，F(xiàn)是線段DE上一動點（不與點D，E重合），將線段AF繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AG，連接GC，F(xiàn)B．（Ⅰ）如圖①，證明：△AFB≌△AGC．（Ⅱ）如圖②，連接GF，GE，GF交AE于點H．①證明：在點F的運動過程中，總有∠FEG＝90°．②若AB＝AC＝8，當DF的長度為多少時，△AHG為等腰三角形？請直接寫出DF的長度．15．如圖1，在△ABE和△ACD中，AE＝AB，AD＝AC，且∠BAE＝∠CAD，則可證明得到△AEC≌△ABD．【初步探究】（1）如圖2，△ABC為等邊三角形，過A點作AC的垂線l，點P為l上一動點（不與點A重合），連接CP，把線段CP繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CQ，連QB．請寫出AP與BQ的數(shù)量關(guān)系并說明理由；【深步探究】（2）如圖3，在（1）的條件下，連接PB并延長PB交直線CQ于點D．當點P運動到PD⊥CQ時，若，求PB的長；【拓展探究】（3）如圖4，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB為直角邊，A為直角頂點向外作等腰直角△ABD，連接CD，若AC＝1，BC＝3，則CD長為．16．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，點D是線段AC的中點，點E是線段AB上一點，且BE＝BC；（1）如圖1，連接BD，DE，求∠ADE的度數(shù)；（2）如圖2，連接CE，將△BCE沿著BC翻折得到△BCF，連接DF，G為DF的中點，連接BG，并延長BG交CF于點H，求證：GH＝BG+CH；（3）如圖3，將△ABC沿著BC翻折得到△MBC，在△ACM中，CA＝3，J是直線CM上一點，K是射線AC上一點，若滿足MJ＝1，∠JBK＝60°，請直接寫出CK的長．17．如圖1，在等腰直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°．點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG，連接GC，BH．（1）證明：△AHB≌△AGC；（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點Q．①證明：在點H的運動過程中，總有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝2，當EH的長度為多少時，△AQG為等腰三角形？18．在△ABC中，∠BAC＝90°且AC＝AB，點E為平面內(nèi)一點，把AE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段AD．（1）如圖1，點E在線段AC上且BE平分∠ABC，連接DE，射線BE與CD相交于點F．當AC＝1，CB＝時，求AE的長．（2）如圖2，點E為△ABC外一點，連接ED、EC、BD，點G為線段BD的中點，射線GA與CE相交于點H．求證：AH⊥CE．（3）如圖3，點E在線段BC上，DE∥AB，BE＝3，AB＝3．點M在射線AE上，點N在線段AC上，且AM＝CN，連接BM、BN．當BM+BN最小時，直接寫出△BNC與△ABM的面積和．19．已知三角形△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ADE．（1）如圖1，∠CAE＝60°，∠ACF＝∠DCE，∠CDE＝90°，若BC＝2，CD﹣CF＝3，求AF的長．（2）如圖2，連接BD，EC，若∠BCE＝∠AEG且，若點F是線段CE的中點，連接GF，BF，求證BF⊥GF．（3）如圖3，三角形△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若AB＝3，AC＝1，∠CAE＝90°，ED和BC所在的直線交于點P，直接寫出BP的最大值．20．已知同一平面內(nèi)，△BDE和△ADC都是等腰三角形，BD＝ED，AD＝CD，∠BDE＝∠ADC．（1）如圖1，B、D、C三點在同一條直線上，點E在線段AC上，連接AB，過D作DF⊥AB于點F，DH⊥AC于點H，若AC＝6，AD＝，求DF的長；（2）如圖2，若∠BDE＝∠ADC＝90°，連接AE，BC，取AE的中點F，連接DF交BC于點G，延長AE與CD交于點K，若∠BCD＝2∠CAK，求證：BC＝2DK；（3）如圖3，若∠BDE＝∠ADC＝90°，點A與點E重合，．點M為線段AB中點，點N為線段BC上一點，連接MN，將△MBN沿MN翻折到同一平面內(nèi)的△MTN，連接CT，再將線段CT繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CQ，連接BQ，AQ．當BQ最小時，直接寫出此時△ABQ的面積．

參考答案1．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即：∠BAD＝CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）由（1）知：∠CAE＝∠BAD，∵∠CAE＝∠CBE，∴∠BAD＝∠CBE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD+∠CBE＝60°，∴∠ABD+∠BAD＝60°，∴∠ADB＝180°﹣（∠ABD+∠BAD）＝120°，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠ADE＝180°，∴B、D、E在同一條直線上；（3）解：如圖，連接CE，由（1）得：△BAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，∵BF⊥AC，∴∠ABF＝，CF＝AF＝＝3，∴∠ACE＝30°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴點E在過點C且與BC垂直的直線上運動，∴當FE垂直于該直線時，CE最?。▓D中點CE′），∵∠CE′F＝90°，∠ACE＝30°，∴FE′＝，∴EF的最小值為：．2．解：（1）∵∠BAC＝90°，點D是BC的中點，∴AD＝BD＝CD＝BC，∵點E是AB的中點，點F是AC的中點，∴DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，∴四邊形AEDF是矩形，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴矩形AEDF是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，故答案為：DE＝DF，DE⊥DF；（2）如圖1，△DEF是等腰直角三角形，理由如下：連接AD，由上知：AD＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中點，∴∠B＝∠C＝45°，∠DAC＝∠BAD＝＝45°，AD＝BD＝BC，∴∠B＝∠DAC，∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF（SAS），∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（3）①如圖2，△DEF仍是等腰直角三角形，理由如下：連接AD，由上知：∠DAC＝∠ABC＝45°，AD＝BD，∴180°﹣∠DAC＝180°﹣∠ABD，∴∠FAD＝∠DBE，∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF（SAS），∴DE＝DF，∠ADF＝∠BDE，同（2）可得：∠EDE＝90°，∴△DEF仍是等腰直角三角形；②如圖1，AE＝AB﹣BE＝a﹣b如圖2，AE＝AB+BE＝a+b，故答案為：a﹣b或a+b．3．（1）解：如圖1，作CG⊥BF，交BD于G，∴∠BCG＝90°，∵DE＝DF，∠EDF＝α＝30°，∴∠DEF＝∠F＝＝75°，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∠BGC＝90°﹣∠B＝30°，∴BC＝AC，∠BDC＝∠DEF﹣∠B＝15°，∴∠GCD＝∠BGC﹣∠BDC＝30°﹣15°＝15°，∴∠GCD＝∠BDC，∴DG＝CG，∵CG＝AG，∴DG＝（4﹣DG），∴DG＝6﹣2，∴BC＝AC＝AG＝4﹣（6﹣2）＝2；（2）證明：如圖2，在CG上截取GH＝AG，連接DH，AE，∵DG＝EG，∴四邊形AEHD是平行四邊形，∴AE∥DH，AD∥EH，∴∠GEH＝∠ADE，∵DE＝∠DC，AB＝AC，∴∠DEC＝∠DCE，∠B＝∠ACB，∴∠DEC﹣∠B＝∠DCE﹣∠ACB，∴∠ADE＝∠DCA，∴∠GEH＝∠DCA，∴∠DEC﹣∠GEH＝∠DCE﹣∠DCA，∴∠HEC＝∠HCE，∴EH＝CH，∴DH⊥CE，∴AE⊥BC，∴BE＝CE；（3）解：如圖3，作CG⊥BD于G，作∠GCH＝60°，且CH＝CG，連接HF，∵線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至線段CP′，∴∠PCP′＝60°，PC＝P′C，∴∠GCH＝∠PCP′，∴∠GCH﹣∠PCH＝∠PCP′﹣∠PCH，∴∠GCP＝∠HCP′，∴△CHP′≌△CGP（SAS），∴∠CHP′＝∠CGP＝90°，∴點P′在與CH垂直的直線上運動，作FP″⊥HP′，F(xiàn)P′最短，此時點P′在P″處，將△CP′″F沿FP″翻折至△C″P″F，交射線BC于Q′，∵∠B＝30°，∴∠BCG＝90°﹣∠B＝60°，∵∠GCH＝60°，∴∠HCF＝180°﹣∠GCH﹣∠BCG＝60°，∵∠H＝∠FP″H＝90°，∴CH∥FP″，∴∠P″FC″＝∠CFP″＝180°﹣∠HCF＝120°，∠P″FQ′＝60°，∴∠Q′FC″＝∠P″FC″﹣∠P″FQ′＝60°，∴∵CG＝CE＝BC，CF＝CE，∴CH＝CF，∵∠CHF＝∠HCF＝60°，∴△HCF是等邊三角形，∴∠FHP″＝∠CHP″﹣∠CHF＝90°﹣60°＝30°，∴FP″＝HF＝CF＝FC″，∴，即：當FP′最小時，＝．4．解：（1）BD＝CE，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵AE是由AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到的，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即：∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）①由（1）得：∠DAE＝60°，AD＝AE，BD＝CE，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AE，∴AE＝DE＝BE﹣BD＝BE﹣CE，故答案為：AE＝BE﹣CE；②如圖，∠BAD＝45°，理由如下：連接AF，作AG⊥DE于G，∴∠AGD＝90°，∵F是BC的中點，△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，∴AF⊥BC，∠ABF＝∠ADG＝60°，∴∠AFB＝∠AGD，∴△ABF∽△ADG，∴，∠BAF＝∠DAG，∴∠BAF+∠DAF＝∠DAG+∠DAF，∴∠BAD＝∠FAG，∴△ABD∽△AFG，∴∠ADB＝∠AGF＝90°，由（1）得：BD＝CE，∵CE＝DE＝AD，∴AD＝BD，∴∠BAD＝45°．5．（1）解：如圖1，作BG⊥AE于G，∵∠BAC＝90°，∴tan∠AFC＝，∴∠AFC＝60°，∵AE⊥CF，∴∠BAG＝90°﹣∠AFE＝90°﹣60°＝30°，∴BG＝AB，∵AB＝AC＝，∴，即點B到AE的距離是；（2）證明：如圖2，延長AE至H，使EH＝AE，連接DH，CH，∵AE⊥CF，∴CH＝AC＝AB，∴∠ACH＝2∠GCD，∵BE＝DE，∴四邊形ABHD是平行四邊形，∴DH∥AB，DH＝AB，∴∠BAD＝∠CDH，CH＝DH，∴∠ACH＝∠CDH，∴∠ACH＝∠BAC，∴∠BAC＝2∠DCG，∵∠GDC＝∠GCD，∴DG＝CG，∠FGD＝2∠DCG，∴∠BAC＝∠FGD，∵FD平分∠AFC，∴∠AFD＝∠GFD，∵DF＝DF，∴△AFD≌△GFD（AAS），∴AF＝FG，∵CG+FG＝FC，∴DG+AF＝FC；（3）解：如圖3，作點C沿BD翻折后的對應(yīng)點C′，延長C′A交BC于N，∵∠BAD′＝∠BAD＝120°，∴點D在AC′上運動，作△ABC′的中位線TV，交AC′′于T，交BC于R，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠BAN＝180°﹣∠BAC′＝180°﹣120°＝60°，∴∠AVB＝90°，∵TR∥AC′，∴TR⊥BC，∵BN＝，∠BAC＝30°，∴AN＝，∴VR＝，作點A關(guān)于TR的對稱點A′，連接A′C交TR于H，連接BH并延長交NA于D′，此時△HAC的周長最小，∵HV＝2＝，∴AD＝AD′＝2HV＝，BD＝＝3，∴＝．6．（1）解：∵∠ACB+∠ECD＝180°，∴點B，點C，點D共線，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠ECD＝130°，∵CE＝CD＝BC，∴∠CED＝∠CDE＝25°，∵PB＝DP，∴∠PBD＝∠PDB＝25°，∴∠ABP＝25°；（2）如圖2，連接BD，∵CB＝CD，PB＝PD，∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB，∴∠PBC＝∠PDC，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠PBC，∵∠ACB+∠ECD＝180°，∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，∴∠ACB＝2∠EDC＝2∠PBC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC＝2∠PBC，∴∠ABP＝∠PBC，∴PB平分∠ABC；（3）如圖3﹣1，當點A與點E重合時，∵∠ABC＝60°，AC＝AB＝4，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝30°，∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝30°，∴∠ABP＝∠PBC＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴BP是EC的垂直平分線，∴EP＝PC，∴△EPC是等腰三角形，∴BE2＝AB2＝16，如圖3﹣2中，當EC＝EP時，過點E作EH⊥BP于點H，連接BE．∵PB＝PD，CB＝CD，∴PC⊥BD，PC平分∠BPD，∵∠CED＝30°＝∠ECP+∠EPC，∠ECP＝∠EPC，∴∠ECP＝∠EPC＝15°，∴∠BPC＝∠EPC＝15°，∴∠EPH＝30°，∴EH＝PE＝2，PH＝2，∵PB＝PD＝4+4，∴BH＝PB﹣PH＝4+4﹣2＝4+2，∴BE2＝EH2+BH2＝22+（4+2）2＝32+16，如圖3﹣3中，當EC＝EP時，連接BE，作BT⊥EC于點T．∵∠CEP＝30°，∴∠ECP＝∠EPC＝75°，∵∠ECD＝120°，∴∠DCP＝∠PCB＝45°，∴∠BCT＝30°，∴BT＝BC＝2，CT＝2，∴ET＝4﹣2，∴BE2＝BT2+ET2＝22+（4﹣2）2＝32﹣16，綜上所述，BE2的值為16或32+16或32﹣16．7．解：（1）如圖1所示：延長BE，①∵等邊△ABC中，點D為BC的中點，∴AD是BC的垂直平分線，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵將線段EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至EF，∴BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠CEF＝∠FEH+∠HEC＝∠EBF+∠BFE+∠EBC+∠ECB＝2∠ABE+2∠EBC，∴∠CEF＝2∠ABC＝120°；②AB＝AF+AE，理由如下：如圖1﹣1，在AB上截取BM＝AF，連接ME，過點E作EN⊥AB于N，∵BM＝AF，∠AFE＝∠EBM，BE＝EF，∴△BME≌△FAE（SAS），∴AE＝EM，又∵EN⊥AB，∴AN＝MN＝AM，∵∠BAD＝30°，∴AE＝2NE，AN＝NE，∴AN＝AE，∴AM＝AE，∴AB＝BM+AM＝AF+AE；（3）如圖2，∵△ABC是等邊三角形，AB＝4，點G為AC的中點，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，CG＝CD＝2，∵將△CDG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CMN，∴CM＝CN＝CG＝CD＝2，∠MCN＝∠ACB＝60°，∴∠ACN＝∠BCM，∴△BCM≌△ACN（SAS），∴∠CAN＝∠CBM，∴點A，點B，點C，點P四點共圓，∴∠BPC＝∠BAC＝60°，∵將△CDG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CMN，∴點M在以點C為圓心，CM為半徑的圓上，∴當BM與⊙C相切于點M時，△BCP的面積有最大值，如圖所示，過點P作PH⊥BC于H，∵BM是⊙C的切線，∴∠BMC＝90°＝∠PMC，又∵∠BPC＝60°，∴∠PCM＝30°，∴CM＝PM＝2，∴MP＝，∵BM＝＝＝2，∴BP＝BM+MP＝，∵sin∠PBC＝，∴PH＝＝，∴△BCP的面積最大值＝×4×＝，故答案為．8．解：（1）如圖1，作MN⊥BC于N，∴∠MNB＝∠MNC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，在Rt△MNB中，BN＝MN＝BM?sin∠ABC＝2×＝，在Rt△CMN中，tan∠BCD＝＝∴CN＝3MN＝3，∴CM＝＝2，BC＝CN+BN＝4，∵∠CNM＝∠D＝90°，∠MCN＝∠BCD，∴△CMN∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝，∴DM＝CD﹣CM＝﹣2＝；（2）如圖2，連接BD，∵AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠ABE，∴∠DAB＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝180°﹣∠AED＝180°﹣45°＝135°，∴∠BDF＝180°﹣∠ADB＝45°，∴∠BDF＝∠ADC＝45°，∵∠F+∠FCD＝∠ACB，∠ACD+∠FCD＝∠ACB，∴∠F＝∠ACD，∴△BFD∽△ACD，∴＝，∵BD＝CE，AD＝DE，∴＝，∴＝，∵∠AEG＝∠DAE＝90°，∴EG∥AF，∴△CEG∽△CDF，∴＝，∵+＝1，∴+＝1，∴EG+CE＝DF；（3）如圖3，取BC的中點F，連接DF，取CF的中點I，連接MI，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝AB＝8，∵∠BDC＝90°，∴DF＝＝4，∵點M是CD的中點，∴IM＝DF＝2，∴點M在以I為圓心，2為半徑的圓上運動，作OB⊥BI，且OB＝BI＝6，連接OE，∵∠EBM＝∠OBI＝90°，∴∠EBM﹣∠OBM＝∠OBI﹣∠OBM，∴∠EBO＝∠MBI，∵EB＝BM，∴△EBO≌△MBI（SAS），∴OE＝IM＝2，∴點E在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上運動，過點O作OR⊥AB交⊙O于點H，當點E運動到點H時，△ABE的面積最大，在Rt△OBR中，OB＝6，∠ABO＝∠OBI﹣∠ABC＝90°﹣45°＝45°，∴OR＝OB＝3，∴HR＝OR+OH＝3+2，∴S△ABE最大＝＝4×（3+2）＝12+4．9．（1）解：如圖1，作AG⊥CD于G，∵AC＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝75°，∴∠ACD＝180°﹣∠CDA﹣∠CAD＝30°，∴AG＝＝3，即：A點CD的距離是3；（2）證明：如圖2，作CG⊥AD于G，交AE于H，連接DF，∵AC＝CD，∴AG＝DG，∴AH＝DH，∴∠GAH＝∠ADH，∵AF＝BF，∴∠GAH＝∠B，∴∠B＝∠ADH，∴DH∥BC，∴∠EDH＝∠ECF，∠EHD＝∠EFC，∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，∴△EDH≌△ECF（AAS），∴DH＝CF，∴四邊形DHCF是平行四邊形，∴DF∥CG，∴DF⊥AB，∴AB＝2AD；（3）解：如圖3，延長CA至H，使AH＝AD，連接HG，作CG′⊥GH于G′，∵AC＝CD，∠BAC＝45°，∴∠ADC＝∠BAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∵AD＝4，∴AH＝AD＝4，∵∠BAC＝∠EAG＝45°，∴∠DAE＝∠GAH，∴△ADE≌△AHG（SAS），∴∠H＝∠ADC＝45°，∴點G在直線HG上運動，∴CG的最小值是CG′，∵∠HCG′＝90°﹣∠H＝45°，∴∠H＝∠HCG′，∴G′C＝G′H，由勾股定理得：G′C2+G′H2＝CH2，∴2G′C2＝（4﹣4）2，∴G′C＝4﹣2，即CG的最小值是4﹣2．10．解：（1）∵∠BAC＝∠CBD＝90°，∴∠DBF+∠ABC＝90°，∠ABC+∠C＝90°，∴∠DBF＝∠C，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠DFB＝∠BAC＝90°，∵BC＝BD，∴△ABC≌△FDB（AAS），∴AB＝DF，AC＝BF，∵tan∠BDF＝＝，∴設(shè)AC＝BF＝a，DF＝3a，∴AB＝3a，∴AF＝AB﹣BF＝2a，在Rt△ADF中，點E是AD的中點，∴AD＝2EF＝4，在Rt△ADF中，∵AF2+DF2＝AD2，∴（3a）2+（2a）2＝（4）2，∴a＝4，∴AC＝4；（2）如圖1，2BE＝AB+AC，理由如下：將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△BDF，連接AF，EF，延長BE至G，使EG＝BE，連接GD并延長，交BF的延長線于H，∴BF＝AB，∠ABF＝120°，∠BFD＝∠BAC＝120°，∴∠AFB＝∠BAF＝30°，∴∠AFD＝∠BFD﹣∠AFB＝120°﹣30°＝90°，∵點E是AD的中點，∴EF＝AE＝，∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠ABE＝∠FBE＝，∵AE＝DE，∠DEG＝∠AEB，∴△DEG≌△AEB（SAS），∴∠G＝∠ABE＝60°，∴GH∥AB，∴∠H+∠ABF＝180°，∴∠H+120°＝180°，∴∠H＝60°，∴△BGH是等邊三角形，∴BG＝BH，∵∠DFH＝180°﹣∠BFD＝180°﹣120°＝60°，∴△DFH是等邊三角形，∴HF＝DF＝AC，∴BG＝HF+BF，∴2BE＝AB+AC；（3）如圖2，作△ABC的外接圓O，連接DO，取DO的中點O′，連接O′E，可求得⊙O的半徑為：＝4，∴O′E＝＝2，連接O′E和O′B，將△BO′E繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°至△BO″E″，有（2）知：∠ABE＝60°，∴點E和點E′關(guān)于AB對稱，∴點O″和點O′關(guān)于AB對稱，延長DO″至E′，則DE′最大，連接OB，作OF⊥BD，交BD的延長線于F，作O′G⊥DF于G，∴∠OBC＝30°，∵∠ABC＝120°，∴∠OBF＝180°﹣∠ABC﹣∠OBC＝30°，∴OF＝，BF＝＝2，∴DF＝BD+BF＝4+2＝6，∴O′G＝，DG＝FG＝DF＝3，∴BG＝BD﹣DG＝4﹣3＝，∴∠GDO′＝30°，O′B＝2，∴O″在OB的中點，作O″⊥DF于H，作E′N⊥DF于N，∴O″H＝O″B＝1，BH＝O″B＝，∵DH＝BD+BH＝4+＝5，∴DO″＝＝＝2，由△DHO″∽△DNE′得，＝，∴＝，∴E′N＝，∴S△BDE′＝＝×＝．11．（1）解：∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠BAD＝45°，CE＝BD＝8，∴∠DCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2﹣CD2＝CE2＝82＝64，有DE﹣CD＝2，∴DE＝17，CD＝15，∴BC＝BD+CD＝8+15＝23，∴AB＝BC＝；（2）如圖1，作AM⊥BC于M，交BE于N，∵AB＝AC，∴AM＝BM＝，∵∠AHB＝∠BMN＝90°，∴點A、H、M、B共圓，∴∠FAH＝∠MBN，∵∠BMN＝∠AMF＝90°，∴△AMF≌△BMN（ASA），∴NM＝MF，∵MN∥CE，∴△BMN∽△BCE，∴＝，∴MN＝，由（1）得，CE＝BD，∴MF＝MN＝，∴DF＝DM+MF＝BM﹣BD+BD＝BC﹣BD＝＝，∵CG＝EG，∴FG＝；（3）如圖2，連接AM，將△AMC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△A″M′C，∴A″M′＝AM＝＝，∴點M′在以A″為圓心，半徑是的圓上運動，∴當A′，A″，M′（圖中M″）共線時，A′M′最大，最大值為A′M″＝A′A″+A″M″＝8+，∵KB′＝KB＝2，∴點B′在以K為圓心，2為半徑的圓上運動，∴當A′，B′，K共線時，A′B′最小，最小值為A′K﹣KB′＝﹣2＝2﹣2，∵△A′HB′∽△KBA′，∴＝，∴＝，∴B′H＝，∴S△A′B′M′＝?B′H＝×（10﹣2）＝．12．（1）解：如圖1，連接BD，∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，EC＝DC，AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，∴2AC2＝AB2．∵∠ECD﹣ACD＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD．在△AEC和△BDC中，，∴△AEC≌△BDC（SAS）．∴AE＝BD，∠E＝∠BDC＝45°，CE＝CD，∴∠BDA＝∠BDC+∠ADC＝90°，在Rt△ADB中．∵AD2+BD2＝AB2，∴AD2+AE2＝2AC2．故答案為：AD2+AE2＝2AC2．（2）解：如圖2，不成立，AD2﹣AE2＝2AC2，理由如下：連接BD，∵∠BAC＝∠DCE＝90°，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CBD＝∠BAC＝45°，∵∠CBE＝180°﹣∠ABC＝135°，∴∠EBD＝∠CBE﹣∠CBD＝135°﹣45°＝90°，∴BD2+AB2＝AD2，∴AD2﹣AE2＝2AC2，（3）解：如圖3，當點A在BE上時，作CF⊥AB于F，由AC＝3得，AB＝AC＝6，∴CF＝AF＝AB＝3，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CE2﹣CF2＝（）2﹣33＝25，∴EF＝5，∴AE＝EF﹣AF＝5﹣3＝2，∴S△ACE＝＝＝3，如圖4，當點A在EB的延長線上時，作CF⊥AB于F，由上知：CF＝BF＝3，EF＝5，∴AE＝AF+EF＝3+5＝8，∴S△ACE＝＝＝12，綜上所述：當點A、E、B共線時，△ACE的面積是3或12．13．（1）①證明：∵∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠MDE＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ADB+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠MDE，在△ABD和△DME中，，∴ABD≌△DME（AAS），∴MC＝BD，②∵∠BAC＝∠DAF，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAF﹣∠CAD，即：∠BAD＝∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，∴∠ACE＝∠B＝90°；（2）①設(shè)AC與DE交于點F，∵AD平分∠BAC，∴＝，∴＝，∴CD＝4，∴AB＝BC＝BD+CD＝4+2，∵∠ADF＝∠B＝90°，∴△ADF∽△ABD，∴，∴（4+2）AF＝（22+（4+2）2，∴AF＝8，由（1）得，∠ADF＝∠ACE＝90°，∵∠AFD＝∠CFE，∴∠DAF＝∠NED，∵∠ADF＝∠EDN＝90°，AD＝DE，∴△ADF≌△EDN（ASA），∴NE＝AF＝8；②當點D在線段BC上時，∵，∴＝，由上得，∠MDE＝∠BAD＝∠CAE，∴＝＝：＝＝．如圖，當點D在CB的延長線上時，同理可得：＝＝：＝＝．14．（Ⅰ）證明：∵∠BAC＝∠FAG＝90°，∴∠BAC﹣∠FAE＝∠FAG﹣∠FAE，即∠BAF＝∠CAG，在△AFB和△AGC中，，∴△AFB≌△AGC（SAS）；（Ⅱ）①證明：∵點D是AB的中點，點E是AC的中點，∴AD＝，AE＝，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∵∠DAE＝90°，∴△DAE是等腰直角三角形，同理（Ⅰ）得，△DAF≌△EAG，∴∠AEG＝∠ADE＝45°，∴∠GEF＝∠AEG+∠AED＝45°+45°＝90°；②解：由題意得：AD＝AE＝4，∴DE＝，如圖1，當AH＝GH時，∠HAG＝∠AGF＝45°，AF＝AG，∠FAG＝90°，∴∠FAE＝∠GAE＝45°，∵AD＝AE，∴DF＝EF＝＝2，如圖2，當AG＝GH時，∵∠AGF＝∠D＝45°，∠GAF＝∠DAE，∴△DAF∽△GAH，∴＝＝1，∴DF＝AD＝4，當AH＝AG時，∠AHG＝∠AGH＝45°，∴∠HAG＝90°，此時F點和E點重合，不符合題意，綜上所述：DF＝2或4時，△AGH是等腰三角形．15．解：（1）AP＝BQ，理由如下：在等邊△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴∠ACB＝∠PCQ，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ；（2）連接PQ，BQ，如圖：由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等邊三角形，∵PD⊥CQ，∴CD＝DQ，∴DP是CQ的垂直平分線，∴BC＝BQ，在等邊△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠PCQ，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，∵CP＝CQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，∴AC＝BC＝BQ＝AP＝，∵∠CAP＝90°，∴CP＝＝2，在Rt△CDP中，∠CPD＝90°﹣∠PCQ＝30°，∴CD＝CP＝1，PD＝CD＝，∵∠CBQ＝∠CAP＝90°，BC＝BQ，∴∠BCQ＝45°，∵∠CDB＝90°，∴∠CBD＝45°＝∠BCQ，∴BD＝CD＝1，∴PB＝PD﹣BD＝﹣1；（3）在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE＝90°，AC＝AE，連接BE，如圖：∵△ACE是等腰直角三角形，AC＝1，∴CE＝AC＝，∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝90°，在Rt△BCE中，BE＝＝＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，即∠BAE＝∠DAC，∵AB＝AD，AE＝AC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，∴CD＝，故答案為：．16．（1）解：∵∠ABC＝90°，點D是AC的中點，∴BD＝CD＝AD＝，∴∠ABD＝∠A＝30°，∵∠A＝30°，∴∠C＝90°﹣∠A＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC＝BD，∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝＝75°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝75°﹣30°＝45°；（2）證明：如圖，連接DE，在GH上截取GM＝GB，連接FG，CM，DM，∵G是DF的中點，B是EF的中點，∴BG∥DE，∴∠BGF＝∠FDE，∠FBG＝∠BED＝75°，∵BD＝BE，BE＝BF，∴BF＝BD，∴∠BDG＝∠BFD，∵∠FBC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠FBD＝90°+60°＝150°，∴∠BDF＝∠BFD＝＝15°，由（1）得：∠BDE＝75°，∴∠FDE＝∠BDF+∠BDE＝90°，∴∠FGB＝90°，∴DF垂直平分BM，∴BD＝DM，∴∠BDM＝2∠BDF＝30°，∴∠BMD＝∠DBM＝75°，∠CDM＝∠BDC﹣∠BDM＝60°﹣30°＝30°，∵CD＝BD，∴CD＝DM，∴∠DMC＝∠DCM＝75°，∴∠BMC＝∠DMC+∠DMB＝75°+75°＝150°，∴∠HMC＝180°﹣∠BMC＝30°，∵∠FHB＝180°﹣∠FBG﹣∠BFH＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴∠HCM＝∠FHB﹣∠HMC＝60°﹣30°＝30°，∴∠HCM＝∠HMC，∴CH＝HM，∴GH＝GM+HM＝BG+CH；（3）解：如圖2，當點J在線段CM上時，作BD⊥AC于D，BE⊥CM于E，∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝∠MCB＝60°，∴BD＝BE，∠ACM＝120°∴∠DBE＝360°﹣∠BEC﹣∠BDC﹣∠ACM＝60°，∵∠JBK＝60°，∴∠JBK＝∠DBE，∴∠JBE＝∠DBK，∴△BDK≌△BEJ（ASA），∴DK＝JE，∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AC＝，∵∠BEC＝90°，∠BCE＝60°，∴∠CBE＝30°，∴CE＝＝，∴JE＝CM﹣MJ﹣CE＝3﹣1﹣＝，∴DK＝JE＝，∴CK＝DK﹣CD＝﹣＝，如圖3，由上得，DK＝JE，∵JE＝CM+JM﹣CE＝3+1﹣＝，∴CK＝DK﹣CD＝﹣＝，綜上所述：CK＝或．17．（1）證明：∵∠BAC＝∠HAG＝90°，∴∠BAC﹣∠HAC＝∠HAG﹣∠HAC，即：∠BAH＝∠CAG，在△AHB和△AGC中，，∴△AHB≌△AGC（SAS）；（2）①證明：∵點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴AE＝，AF＝，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴同理（1）可得：△EAH≌△FAG，∴∠AFG＝∠AEF＝45°，∴∠GFH＝∠AFG+∠AFH＝45°+45°＝90°，即：∠HFG＝90°；②解：當AQ＝QG時，∠QAG＝∠AGQ＝45°，∴∠HAF＝∠HAG﹣∠QAG＝90°﹣45°＝45°，∵AE＝AF，∴EH＝FH＝，∵AE＝AF＝＝1，∴EF＝＝，∴EH＝，當AG＝GQ時，∠GAQ＝∠AQG＝＝＝67.5°，∴∠EAH＝∠GAQ＝67.5°，∵∠AEF＝45°，∴∠AHQ＝67.5°，∴EH＝AE＝1，當AQ＝AG時，∠AQG＝∠AGQ＝45°，∴∠QAG＝90°，此時點H與點F重合，不符合題意，綜上所述：EH＝或1．18．（1）解：如圖1，作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，∴BF＝AB＝AC＝1，∴CF＝BC﹣BF＝﹣1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝∠B＝45°，∴∠CEF＝90°﹣∠C＝45°，∴∠C＝∠CEF，∴EF＝CF＝﹣1，∴AE＝﹣1；（2）證明：如圖1，延長AG至N，使GN＝AG，∵DG＝BG，∠DGN＝∠AGB，∴△DGN≌△BGA（SAS），∴DN＝AB，∠BAG＝∠N，∴AB∥DN，∴∠ADN+∠DAB＝180°，又∵AC＝AB，∴DN＝AC，∵∠CAB+∠DAE＝180°，∴∠DAB+∠CAE＝360°﹣（∠CAB+∠DAE）＝180°，∴∠ADN＝∠CAE，∴△ACE≌△DNA（SAS