幾何畫板制作圓錐曲線的畫法

《幾何畫板》課件制作第二類課件圓錐曲線的畫法、由第二定義出發(fā)統(tǒng)一構造橢圓、拋物線和雙曲線原理：到定點和定直線的距離之比等于定值m的點的軌跡：當0<m<1時，軌跡為橢圓；當=1時，軌跡為拋物線；當m>1時，軌跡為雙曲線。制作過程：1）如圖（3）所示：打開一個新畫板，畫一條豎直的直線j（定直線）和直線外一點A（定點）。在直線j上取點C，過點A，C作直線j的垂線l,k,點B，C2）取點C，B作圓C1，交直線k于E。3）新建參數t，并標記比值，讓點E以C為中心，按標記比進行縮放得E'。4）取C，E'作圓C2，取CA的中點G和點C作圓C3，交C2于F。5）用直線連接A，F交直線k于D，則AD/CD=CE/CE'=1/t。6）選中C，D作軌跡，作點D關于直線l的對稱點D'，選中C，D'作軌跡，最后隱藏不必要的對象。說明：（1）在圓C1中，CB=CE，在圓C2中，CF=CE'，在力BCF和力ADC中，因為NCFB=NACD=NBAC，NCBF=NDAC（同弧上的圓周角相等），所以力BCF和力ADC為相似三角形。則CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定點A和定直線j距離之比等于定值m。（2）單擊〃運動參數/按鈕，比值m隨之改變，這時可以動態(tài)地看到，當m小于1的值逐漸變?yōu)?時，軌跡由橢圓變成拋物線；當m大于1時，軌跡變成雙曲線。二、由第一定義出發(fā)，構造橢圓和雙曲線及拋物線原理：橢圓（雙曲線）一一到定點的距離和定直線的距離之和（差）等于定值的點的軌跡；拋物線一一到定點的距離和定直線的距離相等的點的軌跡。制作過程：1.橢圓（或雙曲線）的制作：<圖4> <圖5>（1）作出平面直角坐標系，曲軸上任取兩點作圓,標記圓心的點記為凡另一點隱藏。1再x軸上任取一點記為方（在圓內時并且不與F重合時如圖（4），軌跡為橢圓，在圓外時2 1如圖（5），軌跡為雙曲線），在圓上任取一點乂。（2）過勺、M作直線MN，交圓于另一點N。聯結F2M、F2雙，并且作它們的中垂線，與直線MN相交于4&AB即為過焦點F的橢圓（或雙曲線）的弦，/A、FB就是橢圓（或雙曲線）的焦半徑。 1 1 22.拋物線的制作:<圖6>1）F[P,01尸＞0）是x軸正向上的自由點,過F的動直線與y軸交于M,過M作FM的127垂線，交x軸于N,作與N關于M對稱的點P。如圖（6）2）選擇點M、P，單擊＜構造/軌跡〉，得點尸的軌跡為拋物線,方程為y2=2px。FP是它的一條焦半徑。說明：設過F的拋物線的焦點弦為尸Q。設/XFP=e則過拋物線焦點的弦長為工,sin2a這樣可以計算出FQ,以F為圓心，以算出的值FQ為半徑作圓，可以找出點。。從而作出拋物線的焦點弦。三、利用參數方程構造橢圓和雙曲線.作橢圓原理：利用橢圓參數方程尸=acosf[y=bsin6制作過程：1）如圖（7）所示：開一個新畫板，畫線段AB，以A為圓心，AB為半徑構造大圓C1。2）構造過點A與AB垂直的直線k,在直線k上取一點C,以A為圓心，以AC為半徑構造小圓C2。3）在大圓C1上任取一點口，構造過點D和點A的直線1,直線l與小圓C2交于E。4）構造過E與AB平行的直線m。5）構造過D與AB垂直的直線n，并構造m與n的交點F。6）建立軌跡：同時選中點D和點F，單擊＜構造/軌跡》選項，畫板顯示橢圓，拖動點A或點C，可以改變橢圓的形狀。7）除了保留點A，B，C和橢圓軌跡外，隱藏其它對象。.作雙曲線原理：利用雙曲線參數方程尸二°呼〔y=bg制作過程：1）打開一個新畫板，單擊〈圖表/定義坐標系》，建立直角坐標系，標記原點為A，單位點為B。2）在x軸上取一點^按順序選取A，C，單擊〈作圖/以圓心和圓周上的點繪圓》記為C1，同樣，在y軸上取一點口，構造以A為圓心通過點D的圓C2。3）在C1上取一點E（自由點），構造過A，E的直線j。4）構造過E和AE垂直的直線k,并構造k與橫軸的交點F。同樣構造過F與x軸垂直的直線l.5）構造C2與x軸正向的交點G，并構造過G與x軸垂直的直線m,交直線j于H，過H與x軸平行的直線o,交直線l于I點。6）構造軌跡：同時選中點E和點I，單擊〈作圖/軌跡＞。隱藏不必要的對象。說明：（1）選中I點，單擊〈顯示/追蹤交點＞，再選中E點，單擊〈編輯/操作類按鈕/動畫》，并把標簽改為“雙曲線'。隱藏除I點和坐標軸的其它對象。單擊“雙曲

線”按鈕可動態(tài)演示雙曲線的形成。如圖（8）所示:<圖8>四、利用在極坐標系下，圓錐曲線的統(tǒng)一方程p= e1一ecos0原理：在極坐標系中，橢圓、拋物線、和雙曲線的統(tǒng)一方程為p= ：：：1一ecos0當0<e<1時，方程代表橢圓；當e=1時，方程代表拋物線；當e>1時，方程代表雙曲線。制作過程：1）打開一個新畫板，單擊〈編輯/參數選項〉，在打開的“參數選項”對話框中單擊“單位”，把角度選為弧度并單擊“確定”。2）單擊〈圖表/定義坐標系》，再單擊〈圖表/隱藏網格，標記原點為O單位點為B。如圖（9）所示:

運動點E得不同的圓錐曲線e=2.28mZBOG=運動點E得不同的圓錐曲線e=2.28mZBOG=0.18k弧度FO=2.14厘米P=2.14厘米CE=2.28CDe-P1-e-cos(m/BOG)4<圖9>3）畫射線CD,在CD上畫一點E,在極軸的反向延長線上畫一點F。4）度量線段CE、CD、FO的長，過F作極軸的垂線k.設PO=p。5）計算CE/CD,設CE/CD=e。隱藏CD、CE的度量值。6）畫單位圓，在單位圓上畫一點G。先選擇點B、G、單位圓，單擊＜構造/圓上的弧〉，順序選取點B、0、G,單擊〈度量/角度＞，得NBOG的大小，設NBOG=0。用線段連結0、G,選中弧BG并單擊＜構造/弧內部/扇形內部＞,扇形即被著色。7)ep7)ep計算P=丁羨標8）先后選擇計算值p=e,角度值e（注意順序），并單擊〈圖表/繪制點》，1一ecos6得到的點記為H。同時選擇G、H,單擊＜構造/軌跡＞，得到方程p=e的1一ecos6曲線。9）選中點E,單擊〈編輯/操作類按鈕/動畫》，彈出如圖（10）所示：對話框。修改標簽為“運動點E得不同的圓錐曲線”。

<圖10>_9jjJ數值W<圖10>Jj⑤d二I_Lle：T*|Jj單位以T_eJ幫助電〕I用消_]I匚:測足二二I*＜圖11＞說明：1.拖動F可以改變參數p的大小。E點在射線CD上運動，當EE點在射線CD上運動，當E點在CD之間運動時得橢圓，在D點時得拋物線，在D右側得雙曲線。五、利用橢圓、拋物線和雙曲線的標準方程作曲線這里只介紹橢圓的作法，拋物線和雙曲線同樣可以作出。橢圓的制作原理：由橢圓的標準方程三+22=何得y=±b￡晟二,這樣我們先作出y=-￥益不的圖象，然后再作出a2b2 a ay=--、；a2-x2的圖象，最后即得橢圓曲線。a制作過程：1）打開一個新畫板單擊〈圖表/定義坐標系＞，建立直角坐標系。標記原點為<圖12>＜圖13><圖12>＜圖13>2）在x軸上取一點C,在y軸上取一點D,然后度量A、C兩點的距離。選中A、C。單3）擊〈度量/距離＞，同樣度量A,D兩點的距離。分別改標簽為a、b。4）在x軸上取一點E，并度量其橫坐標X「5）單擊〈度量/計算〉，輸入如圖（11）所示：計算出by：a2-x2的值，選擇a Ex,計算值b、O^（注意順序）單擊〈圖表/繪制（x,y）＞，得點F。E a”e6）作軌跡：選中E、F，單擊〈