幾何畫板二次函數(shù)案例

說明：本案例是蘇科版九年級(jí)（下）數(shù)學(xué)第6章二次函數(shù)如何運(yùn)用“幾何畫板”教學(xué)的案例，其他版本的教材也可參考使用。運(yùn)用“幾何畫板”教學(xué)二次函數(shù)的案例江蘇省泰興市黃橋初級(jí)中學(xué) 馬京城函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a中0）的圖象與性質(zhì)、平移、翻折變換等問題時(shí)，我用“幾何畫板”輔助教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生“操作、觀察——比較、猜想、探需一抽象和概括”，和學(xué)生們共同探究二次函數(shù)的有關(guān)問題，感覺比采用傳統(tǒng)的教學(xué)手段，效果要好得多?，F(xiàn)按照教學(xué)順序，將我在教學(xué)中的案例片段一一展示，供老師們參考。一、探究尸ax2（a豐0）圖象、性質(zhì)與系數(shù)a的關(guān)系學(xué)生會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=x2的圖象后，在多媒體教室進(jìn)行以下教學(xué)。首先，教師將事先做好的“幾何畫板”文件（如圖1）分發(fā)給學(xué)生，圖中點(diǎn)A為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，y-ax2（a豐0）中系數(shù)a的值等于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)。探究序列：（1）用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)A（在x軸上原點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)）時(shí)，改變了y=ax2（a豐0）中a的值，體會(huì)圖象開口方向和開口大小變化；（2）拖動(dòng)點(diǎn)A（在x軸上原點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)）時(shí)，改變了y=ax2（a豐0）中a的值，體會(huì)圖象開口方向和開口大小變化；（3）歸納發(fā)現(xiàn)：系數(shù)a的作用是a>0時(shí)，拋物線開口向（填上或下）；a<0時(shí)，拋物線開口向（填上或下）；|a|越大，拋物線開口越（填大或?。粅a|越小，拋物線開口越（填大或?。＝處煂⑹孪茸龊玫摹皫缀萎嫲濉蔽募ㄈ鐖D2）分發(fā)給學(xué)生，圖中點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，探究序列：a>0時(shí),拖動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上從左到右運(yùn)動(dòng)（即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)逐漸增大），觀察點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是逐漸增大還是逐漸減小a<0時(shí)，拖動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上從左到右運(yùn)動(dòng)（即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)逐漸增大），觀察點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是逐漸增大還是逐漸減小（3）歸納：當(dāng)自變量變化時(shí)，函數(shù)值如何變化以及函數(shù)的最大（或?。┲登闆r。（4）驗(yàn)證圖象的對(duì)稱性：如圖2,標(biāo)記y軸為鏡面，作出點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P’，有什么發(fā)現(xiàn)拖動(dòng)點(diǎn)P時(shí)，它的對(duì)稱點(diǎn)P’將怎樣移動(dòng)由此你得出什么結(jié)論設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2（a豐0）的圖象后，使用圖1這個(gè)課件，目的是讓學(xué)生探究和體會(huì)a值的變化帶來圖象的開口方向和開口大小變化.使用圖2這個(gè)課件，目的是讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)增減性和驗(yàn)證圖象的對(duì)稱性。運(yùn)用規(guī)律，解決問題:(1)二次函數(shù)(a)y=_3x2；(b)y=2x2(c)y=3x2的圖象的開口大小順序應(yīng)為()A.(a)>(b)>(c) B.(a)>(c)>(b)(b)>(c)>(a) D.(b)>(a)>(c)（2）下列說法錯(cuò)誤的是（）B.二次函數(shù)A.二次函數(shù)y=_2x2中，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值是0；B.二次函數(shù)y=4x2中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；C.在三條拋物線y=2x2，y=-0.5x2，y=一x2中，y=2x2的圖象開口最大，y=-x2的圖象開口最??；D.不論a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，拋物線y=ax2（a豐0）的頂點(diǎn)一定是坐標(biāo)原點(diǎn)(3)已知點(diǎn)(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)都在函數(shù)y=x2的圖象上，則正確的是（A.B. 上，則正確的是（A.B. y1<y3<y2y2<y1<y3設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)訓(xùn)練，可以鞏固所學(xué)，加深理解。二、探究y=ax2+c（a豐0）圖象、性質(zhì)以及上、下平移在學(xué)生會(huì)畫y=x2+1、y=x2-2的圖象后，進(jìn)行以下活動(dòng)。將事先做好的“幾何畫板”文件（如圖3、圖4）分發(fā)給學(xué)生，圖中點(diǎn)C為圖中點(diǎn)C為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，y=x2+C中c的值等于點(diǎn)C的縱坐標(biāo)。（1）如圖3,用鼠標(biāo)上下移動(dòng)點(diǎn)C,體會(huì)c的值變化時(shí)函數(shù)y-x2+c圖象的變化，與函數(shù)y二x2的圖象有什么關(guān)系你能歸納y=ax2+c（a豐0）的圖象和性質(zhì)嗎c的值變化時(shí)，圖象如何移動(dòng)你能用簡潔的語言歸納出拋物線上、下平移的規(guī)律嗎發(fā)現(xiàn)：c值在變化，圖像在左右平移。c值增大，圖像移(填上或下)；c值減小，圖像移(填上或下)。設(shè)計(jì)意圖：圖3、圖4主要是讓學(xué)生體會(huì)上下移動(dòng)點(diǎn)C時(shí)函數(shù)y=％2+0圖象的變化以及與y二X2的關(guān)系，解決上下平移問題。運(yùn)用規(guī)律，解決問題：(1)函數(shù)y=X2-4的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,4)D.(0,-4)(2)拋物線y=-2x2的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是;(3)函數(shù)的y=-2x2-1圖象可以由函數(shù)y=-2x2+3的圖象沿y軸向平移個(gè)單位而得到。三、探究y=a(x-h)2(a豐0)圖象、性質(zhì)以及左、右平移在學(xué)生會(huì)畫y=a(x-h)2(a手0)的圖象后，進(jìn)行以下活動(dòng)。將事先做好的“幾何畫板”文件（如圖5）分發(fā)給學(xué)生，圖中點(diǎn)H為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，y=a（x-h）2（a豐0）中h的值等于點(diǎn)H的橫坐標(biāo)。探究序列：（1）用鼠標(biāo)左右移動(dòng)H點(diǎn)，看函數(shù)y=（x-h）2圖象的變化，與y=X2的圖象有什么關(guān)系你能歸納y=a（x-h）2（a中0）的圖象和性質(zhì)嗎（2）h的值變化時(shí)，圖象如何移動(dòng)你能用簡潔的語言歸納出拋物線左、右平移的規(guī)律嗎發(fā)現(xiàn)：h值在變化，圖像在左右平移。h值增大，圖像___移；（填左或右）h值減小，圖像移（填左或右）。（3）驗(yàn)證圖象的對(duì)稱性：如圖5,在拋物線上任取一點(diǎn)P，過頂點(diǎn)H作x軸的垂線，標(biāo)記該垂線為鏡面，作出點(diǎn)P關(guān)于該垂線的對(duì)稱點(diǎn)P’，有什么發(fā)現(xiàn)拖動(dòng)點(diǎn)P時(shí)，它的對(duì)稱點(diǎn)P’將怎樣移動(dòng)由此你得出什么結(jié)論設(shè)計(jì)意圖：圖5主要是讓學(xué)生體會(huì)左右移動(dòng)點(diǎn)H時(shí)函數(shù)尸（x.h”圖象的變化以及與y=X2的關(guān)系，解決左右平移問題,及再次驗(yàn)證圖象的對(duì)稱性。運(yùn)用規(guī)律，解決問題：（1）函數(shù)y=.（x.2）2的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是；（2）函數(shù)的y=_2（X+4）2圖象可以由函數(shù)y=-2x2的圖象沿X軸向平移個(gè)單位而得到。四、探究y=ax2+bx+c（a中0）的圖象與系數(shù)的關(guān)系在學(xué)生會(huì)畫y=ax2+bx+c（a豐0）的圖象后，進(jìn)行以下活動(dòng)。將事先做好的“幾何畫板”文件（如圖6）分發(fā)給學(xué)生，圖中點(diǎn)A、B、C分為坐標(biāo)軸軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)y=ax2+bx+c（a豐0）中的系數(shù)a、b、c。拖動(dòng)點(diǎn)A、B、C就可改變a、b、c三個(gè)參數(shù)，從而引起二次函數(shù)的形狀改變，這樣就可以研究變化某一個(gè)參數(shù)所引起的二次函數(shù)圖像變化的特點(diǎn)了。=-0.92C==-0.92C=0T4S'X2+b-x+c=27,87探究序列:（1）拖動(dòng)點(diǎn)A,觀察函數(shù)y=ax2+bx+c（a中0）圖象的變化，體會(huì)影響圖象開口方向和開口大小的因素是什么歸納a的作用；（2）用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)B，觀察圖象的變化，發(fā)現(xiàn)b的作用是：由對(duì)稱軸的位置和a的符號(hào)決定，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)時(shí)，a和b符號(hào)；對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)時(shí)，a和b符號(hào)。（3）用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)C，觀察圖象沿怎樣的路徑運(yùn)動(dòng)發(fā)現(xiàn)c的作用是：確定拋物線與y軸的交點(diǎn)的位置，交與正半軸則c為（填正或負(fù)），交與負(fù)半軸，則c為（填正或負(fù)）。（4）缺項(xiàng)探究：拖動(dòng)點(diǎn)A、B、C通過改變a、b、c參數(shù)，觀察a、b、c中有一個(gè)或若干個(gè)為0的情況下函數(shù)圖象形狀的改變。探究后完成下表:

10*0，'0=q，o=e'0=0，'0* q'0二elo手?！痮手q'0二e'0二?！?二q'0中 e'0=0，'0手q'0手elo手?！?二q'o^e’0手?！?手q'0手e單卦髯圖聯(lián)火髯圖猱麥a=0,b=0,,c=0,設(shè)計(jì)意圖：圖6中改變a、b、c三個(gè)參數(shù)，從而引起二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a中0）的形狀改變。分別體會(huì)a、b、c的變化帶來圖像的變化，歸納a、b、c的作用。五、探究y=a（x-h）2+k（a中0）以及圖象平移規(guī)律可在學(xué)生會(huì)將一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a豐0）轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a豐0）后，進(jìn)行以下活動(dòng)。將事先做好的“幾何畫板”文件（如圖7）分發(fā)給學(xué)生，圖中點(diǎn)A、H、K分為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A、H、K的橫坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)y=a（x-h）2+k（a中0）中的a、h、k。拖動(dòng)點(diǎn)A、H、K就可改變a、h、k三個(gè)參數(shù)，從而引起二次函數(shù)的形狀改變，這樣就可以研究變化某一個(gè)參數(shù)所引起的二次函數(shù)圖像變化的特點(diǎn)了。探究序列：（1）拖動(dòng)點(diǎn)K,觀察k的變化和圖象移動(dòng)情況，你有什么發(fā)現(xiàn)（2）拖動(dòng)點(diǎn)H,觀察h的變化和圖象移動(dòng)情況，你又有什么發(fā)現(xiàn)（3）繪制出頂點(diǎn)（h，k），追蹤頂點(diǎn)，慢慢拖動(dòng)點(diǎn)K、H，觀察頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，有什么發(fā)現(xiàn)（4）你認(rèn)為是什么因素決定了圖象的上下移動(dòng)又是什么因素決定了圖象的左右移動(dòng)你能用簡潔的語言歸納出拋物線平移的規(guī)律嗎設(shè)計(jì)意圖：圖7中改變k、h兩個(gè)參數(shù)，從而引起二次函數(shù)y=a（x-h）2+k（a中0）的形狀改變。分別體會(huì)k、h的變化帶來圖像的變化，歸納k、h的作用。運(yùn)用規(guī)律，解決問題：（1）將拋物線丫=1X2向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后，2所得的拋物線表達(dá)式是；（2）將拋物線丫=2x2-4x+3向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，所得的拋物線表達(dá)式是；（3）將拋物線y=2x2-4x+3向平移個(gè)單位，再向平移個(gè)單位后得拋物線y=2x2-6x+5。六、驗(yàn)證y=ax2+bx+c（a豐0）與X軸的交點(diǎn)情況在學(xué)生理解了判斷圖象與X軸交點(diǎn)情況就是判斷方程ax2+bx+c=0（a中0）有無實(shí)數(shù)根的前提條件即b2-4ac的符號(hào)的前提下進(jìn)行。將事先做好的“幾何畫板”文件（如圖8）分發(fā)給學(xué)生，圖中點(diǎn)A、B、C分為坐標(biāo)軸軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)y=ax2+bx+c（a中0）中的系數(shù)a、b、c。通過拖動(dòng)點(diǎn)C上下移動(dòng)圖象，觀察代數(shù)式b2-4ac的值改變，同時(shí)觀察圖象與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行驗(yàn)證。3——3——1.01--b2-4ac=8.69設(shè)計(jì)意圖：驗(yàn)證b2-4ac的符號(hào)和圖象與X軸交點(diǎn)情況之間關(guān)系問題：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線曠=2x2-4x+3與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.3B.2C.1D.0七、以拋物線為載體的動(dòng)點(diǎn)問題問題：(2011年山東威海改編)如圖9,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)B(1,0)，交y軸于點(diǎn)E(0,-3).點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，直線y=-x+m過點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)D.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H,與拋物線交于點(diǎn)G,求線段HG長度的最大值；對(duì)問題(2)用“幾何畫板”探究如下：(1)如圖10,度量出點(diǎn)K的橫坐標(biāo)和線段HG的長；(2)以點(diǎn)K的橫坐標(biāo)和線段HG的長分別作為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，繪制出點(diǎn)M；（3）追蹤點(diǎn)M,用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)K,當(dāng)點(diǎn)K在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡圖是拋物線的一部分，發(fā)現(xiàn)線段HG的長與點(diǎn)K的橫坐標(biāo)存在二次函數(shù)關(guān)系，且線段HG的長度的最大值就是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值；（4）由學(xué)生討論完成線段HG長度的最大值的求法（提醒學(xué)生注意自變量取值范圍）。設(shè)計(jì)意圖：凡動(dòng)點(diǎn)問題，都可以運(yùn)用“幾何畫板”輔助教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知，再進(jìn)行探究，感覺學(xué)生學(xué)得有興趣，效果也不錯(cuò)。八、拓展探究問題：如圖11,點(diǎn)A是拋物線yX2上的動(dòng)點(diǎn)，將線段OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)B是否在某一個(gè)函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)寫出這個(gè)函數(shù)的解析式如圖12,追蹤點(diǎn)B，慢慢拖動(dòng)A點(diǎn)，觀察點(diǎn)B移動(dòng)的路徑是一條以x軸為對(duì)稱軸