空間向量與立體幾何第二節(jié)數(shù)量積運(yùn)算

第三章空間向量與立體幾何 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【基礎(chǔ)知識(shí)在線】知識(shí)點(diǎn)一 空間向量的夾角定義★★★考點(diǎn)：知兩個(gè)向量找夾角 .知識(shí)點(diǎn)二 空間向量的夾角范圍★★★★考點(diǎn)：同向、反向和垂直時(shí)的夾角夾角范圍的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)三 空間向量的數(shù)量積定義★★★★考點(diǎn)：求解數(shù)量積（三個(gè)值決定）知識(shí)點(diǎn)四 空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律★★★考點(diǎn)：向量間的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)五 空間向量的數(shù)量積性質(zhì)★★★★★考點(diǎn)：求兩個(gè)向量的夾角、兩條異面直線所成的角判斷空間兩個(gè)向量（或直線）的垂直求兩點(diǎn)間的距離【解密重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)】問題一：認(rèn)識(shí)兩個(gè)向量的夾角已知

a,b是空間兩個(gè)非零向量，過空間任意一點(diǎn)

O，作

OA

a,OB

b，則 AOB

叫做向量

a與向量

b的夾角．記作

a,b

.AAaaaaaaaaaabObBbObB（a）aaa（b）aaaaaAAaaOOBBa（d）a（c）aa圖3-1-14注意：如圖 3-1-14所示（1）兩個(gè)向量的夾角是指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量所構(gòu)成的最小的非負(fù)角．（2）對(duì)于向量的夾角的表示應(yīng)注意：

a,b

b,a

．（3）在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖（個(gè)向量的夾角不同，

c）、（d）中的兩圖（c）中∠

AOB=

OA,OB

，圖（

d）中∠

AOB=

AO,OB

,從而有OA,OB=OA,OB=OA,OB.問題二：空間向量的夾角范圍（1）如果a,b0，那么向量a,b同向；（2）如果a,b，那么向量a,b反向，（3）如果a，b=，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b；2（4）因此當(dāng)a,b0或時(shí)，a//b,并且規(guī)定0a,b．π問題三：向量的數(shù)量積定義：設(shè)a,b是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量abcosa,b叫做向量a、b的數(shù)量積，記作ab,即ab=abcosa,b.注意：由于空間兩個(gè)向量 ab都是共面的，因此空間兩個(gè)向量數(shù)量積的意義與平面上兩個(gè)向量數(shù)量積的意義實(shí)際上是一樣的，也都是實(shí)數(shù)，并且有（1）當(dāng) a,b 0時(shí)，ab=ab；（2）當(dāng)a,b0,，時(shí)，ab>0；2（3）當(dāng)a,b時(shí)，ab0；2（4）當(dāng)a,b,時(shí)，ab<0；2（5）當(dāng)a,b時(shí)，ab=ab．問題四：空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（1）(a)b(ab)結(jié)合律；（2）ab=ba（交換律）；（3）a(b c) ab ac（分配律）．注意：（1）對(duì)于三個(gè)不為零的實(shí)數(shù) a,b,c，若ac bc，則b c；而對(duì)于向量，若ab ac,但ac（即向量中的消去律不成立．（2）對(duì)于三個(gè)不為零的實(shí)數(shù) a,b,c，等式 (ab)c a(bc)成立，而對(duì)于向量等式abc abc一般是不成立的．（3）零向量與任一向量的數(shù)量積為 0．問題五：空間向量的數(shù)量積滿足的性質(zhì)⑴若a，b為非零向量，e為單位向量，ae|a|cosa,e.⑵a⊥bab=0（用于判定垂直問題）⑶|a|2aa.（用于求模運(yùn)算問題）abcosa,babab(4)ab（用于求角運(yùn)算問題）（5）【點(diǎn)撥思維·方法技巧】一．兩向量的數(shù)量積的運(yùn)算例1如圖3-1-15所示，已知正四面體 O ABC的棱長為 a，AB·OC.圖3-1-15【思維分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，需要兩模一角，此時(shí)OC與AB異面，角不好找，因此考慮利用向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)換向量.【解析】由題意|AB|=|AC|=|AO|=a，且〈ABAO=1200AB，CA〉=1200AB·OC=AB·（OACA=AB·OAABCA,=a2cos1200a2cos1200=0【評(píng)析】（1）幾何體中進(jìn)行向量的數(shù)量積的運(yùn)算，要充分利用向量的三角形法則，以便轉(zhuǎn)換向量，方可更好的利用已知的夾角和模.（2）在求兩向量的夾角時(shí)一定要注意兩向量的起點(diǎn)必須在同一點(diǎn)，如 AB,AC 600時(shí)，AB,CA 1200.變式訓(xùn)練１已知長方體 ABCD A1B1C1D1中，AB AA1 2,AD 4，E為AB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，試計(jì)算：（1） BC· ED1；（2 BF· AB1；（3）EF·FC1.【解析】如圖3-1-16所示，設(shè)ABaADbAAc，,,1則ac2,b4|，abcbac0.圖3-1-161cab216.（1）BC·ED1=bb4221b220.(2)BF·AB1=caacca222221ca1111（3）EF·FC1=bbaabcba22222222.=1a1b4.利用數(shù)量積求角例2 如圖3-1-17，在空間四邊形 OABC中，OA 8,AB 6,AC 4,BC 5, OAC 450, OAB 600，求OA與BC所成角的余弦值．圖3-1-17【思維分析】先求出 OABC的值，然后利用夾角公式直接求解 .【解析】BC AC AB,所以 OA·BC= OA·AC OA·AB=|OA|| AC|cosOA,AC | OA|| AB| cosOA,AB84cos135086cos120016224,所以cosOA,BCOAOB24162322.OAOB855即OA與BC所成角的余弦值為322.5【評(píng)析】(1)利用向量法求角，主要利用的是數(shù)量積的定義.在直線所成角的問題可轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角問題時(shí)，需注意的是：轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)角的關(guān)系可能相等也可能互補(bǔ)．變式訓(xùn)練2如圖3-1-18所示，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求：異面直線BA1與AC所成的角.【解析】BABABB,ACABBC,11BAAC(BABB)(ABBC)11BAABBABCBB1ABBB1BCABBC,BB1AB,BB1BC，圖3-1-18BABC0,BBAB=0,1BB1BC 0,BAAB=-a2.BA1 AC=-a2.又BAAC BA ACcos BA,AC,1 1 1cos1a21BA,AC2a.2a2BA,AC=120°.1所以異面直線BA1與AC所成的角為60°．三. 利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系例3已知如圖 3-1-19所示空間四邊形 OABC中，AOB BOC AOC,且OA OB OC.M,N分別是OA,BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn).求證：OG BC.【思維分析】要證OGBC，只須證明OGBC0圖3-1-19即可.【解析】連ON,由線段中點(diǎn)公式得：OG1(OMON)11OA1(OBOC)1(OAOBOC),22224又BCOCOB,OGOB1OB)(OAOBOC)(OC4122(OAOC OBOC OC OAOB OB OCOB41224OAOCOAOBOCOBOAOC OAOCcosAOC.OAOB OAOBcosAOB且OC OB OA， AOB AOC，OGBC 0,即OG BC.【評(píng)析】 (1)本題考查應(yīng)用平面向量、空間向量和平面幾何知識(shí)證線線垂直的能力 .證明兩直線垂直可轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量垂直，即證明兩向量數(shù)量積為零．2222變式訓(xùn)練3.在空間四邊形ABCD中，如果ACBCADBD，求證:ABCD.A222BD2【證明】：由ACBCAD，得2222ACADBC，BDDB即(ACAD)(ACAD)(BCBD)(BCBD)，E取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE和BE，則上式化為C圖3-1-20DC2AEDC2BE，得2DC(AEBE)0，即DCAB．所以ABCD．四.數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離例4 已知線段AB在平面內(nèi)，線段AC⊥，線段BD⊥AB，且與所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之間的距離.【思維分析】將兩點(diǎn)間的距離轉(zhuǎn)化為向量的模：先用已知的向量表示CD，然后用向量的數(shù)量積CDCD2作為工具解題.【解析】如圖3-1-21所示，由AC⊥，知ACAB.過D作DD/，D/為垂足，則DBD/300，CA,BD1200，∴CD2CDCD(CAABCD)2圖3-1-21222CAABBD2CAAB2CABD2ABBDb2a2b22b2cos1200a2b2.CDa2b2【評(píng)析】本題把線段轉(zhuǎn)化成向量表示，然后利用向量進(jìn)行運(yùn)算 .變式訓(xùn)練 4.如圖3-1-22所示，有一長方形的紙片 ABCD，長AB 4cm，寬AD 3cm，現(xiàn)沿它的D一條對(duì)角線AC把它折疊成1200的二面角，求折疊后BD的長．【解析】作DEAC,BFAC,，點(diǎn)E,F為垂足，EF則ACAD2DC25cm，DEBF4312AC55B32AE9cm，EF7圖3-1-22CF5cm．55折疊后，DE,EF,FB的長度保持不變，且2(BFFEED)2BD22ED22BFFE2BFED2FEEDBFFE22DE22BFEDcos60FEBF12221222148172125555225∴BD481cm．5【課后習(xí)題答案】練習(xí)（第（92頁）1.答案：B.【解析】設(shè)BB11，則AB2,AB1BB1BA,BC1BB1BC,2AB1BC1BB1BABB1BCBB1BABC122cos6000,AB1 C1B.答案：85.【解析】ACABADAA,22AD222ABAA2ADAAACABAA2ABAD16925241185，AC85,即AC85.5235223.答案：a2b2c2.【解析】CDCAABBD,22AB22CDCABD2CAAB2CABD2ABBD,a2 b2 c2,CD a2 b2 c2,即C,D間的距離為 a2 b2 c2.【自主探究提升】夯實(shí)基礎(chǔ)1．若

a,b均為非零向量，則

ab

ab

是a與b共線的(

)A．充分不必要條件C．充要條件

D

B

．必要非充分條件．既非充分也非必要條件答案:A提示：

ab

abcosa,b

ab

cosa,b

1

a,b

0,當(dāng)a與b反向時(shí)，不能成立．2．對(duì)于向量a,b,c和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是()A．若ab0，則a0或b0B．若a0，則0或a022b或abC．若ab，則aD．若abac，則bc答案:B提示：A中若ab，則有ab0，不一定有a0或b0.C中當(dāng)a22ab或ab.b時(shí)，ab，此時(shí)不一定有D中當(dāng)a0時(shí)，abac，不一定有bc.3．已知向量a,b滿足條件：a2,b2，且a與2ba互相垂直，則a與b的夾角為________．答案:45°提示：因?yàn)閍與2ba互相垂直，所以a2ba0.202即aba，所以2abcosa,ba0，2所以cosa,b2，2所以a與b的夾角為45°.4．已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么a3bA.7B.10C.13D．4答案：13.32226213.提示：39ababaabb5．如圖3-1-23所示，已知正四面體ABCD中，AE1AB,CF1CD,則直線DE和BF44所成角的余弦值為________．圖3-1-23答案

:

4

.13提示：

因四面體

ABCD是正四面體，頂點(diǎn)

A在底面

BCD內(nèi)的射影為

BCD的垂心，所以有BC

DA,AB

CD.

設(shè)正四面體的棱長為

4，則BFDEBC+CF（DA+AE）0BCAECFDA041cos120014cos12004,又BFDE4212241cos60013，所以異面直線DE和BF所成角的余弦值為：BFDE4cos＝＝.13BFDE拓展延伸6．空間四邊形OABC中，OBOC，AOBAOC，則cos<OA,BC>的值是3（）A．1B．2C．－1D．0222答案：D提示：OABCOA(OCOB)OAOCcosOAOBcoscosOA,BC330.OABCOABCOABC7．已知a與b是非零向量且滿足a2ba，b2ab，則a與b的夾角是()ππ2π5πA.6B.3C.3D.6答案:B提示：由已知a2ba0，b2ab0，22ab2ab，cosa,babab12,aba2a,b,∴選B38. 已知線段 AB,BD 在平面 內(nèi), ABD 1200,線段 AC

如果AB a,BD b,AC c,則| CD|為____________．答案: a2 b2 c2 ab.9．已知a 32,b 4,m a b,n a b，a,b 1350，m n，則 ＝________.答案:－32提示：由mn0，得abab0，3列方程解得＝－2.10.如圖3-1-24，已知E是正方體ABCD111D1的棱11的中點(diǎn)，試求向量A1C1與ABCCDDE值.解設(shè)正方體的棱長為m，ABa,ADb,AA1c,則abcm,abbcac0,又A1C1A1B1B1C1,ABADabDEDD1D1EDD11D1C1c1a,22A1C1DEabc1a1m2,22又∵|A1C1|＝2m，DE5m，1m210cosA1C1,DE2.2m5m10211．已知在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB4,AD3,AA/5,BAD900,BAA/求AC/的長(如圖3-1-25所示)；圖3-1-25→(2) 求 AC'與AC的夾角的余弦值．

D1E。C1A1B1DCA B圖3-1-24DAA/ 600.解(1)∵AC'=AB+AD+AA',22∴AC/ABADAA/22AA/2AC/2ADAA/ABAD2ABADABAA/42325220107.585,|AC'|＝85.(2)AC'與AC的夾角為,∵四邊形ABCD是矩形,∴|AC|=32425。∴由余弦定理可得cos85.10已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，P為OA的中點(diǎn)，Q為OB的中點(diǎn)，若ABOC，求證PMQN．證明：OM1(OBOC)2ON1(OAOC)2PMPOOM1(ABOC)2QNQOON1(OCAB)2122PMQNAB)0(OC4故PMQN.13．如圖3-1-26，已知空間四邊形 ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于 a，點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,DC的中點(diǎn)，求下列向量的數(shù)量積．圖3-1-26(1)AB AC；(2)AD BD；(3)GF AC；(4)EF BC解析：(1)∵ABAC1a2；(2)ADBD1a2；22(3)GF