立體幾何之外接球問題練習(xí)(一)菁優(yōu)網(wǎng)

實(shí)用文案立體幾何之外接球問題練習(xí)（一）一．選擇題（共 13小題）1．（2014?廣西）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為 4，底面邊長為 2，則該球的表面積為（ ）A B 16π C 9π D． ． ． ．2．（2014?湖南）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（ ）A 1 B 2 C 3 D 4． ． ． ．3．（2013?遼寧）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球 O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為（ ）A B C D． ． ． ．4．（2012?黑龍江）已知三棱錐 S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O的球面上，△ABC是邊長為 1的正三角形，SC為球O的直徑，且 SC=2，則此棱錐的體積為（ ）標(biāo)準(zhǔn)A B C D． ． ． ．5．（2011?重慶）高為 的四棱錐 S﹣ABCD的底面是邊長為 1的正方形，點(diǎn) S，A，B，C，D均在半徑為 1的同一球面上，則底面 ABCD的中心與頂點(diǎn) S之間的距離為（ ）A B C D． ． ． ．6．（2010?寧夏）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為（）Aπa2BCD5πa2．．．．7．（2008?湖南）（文）長方體 ABCD﹣A1B1C1D1的8個頂點(diǎn)在同一個球面上，且 AB=2，AD= ，AA1=1，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是（ ）A B C D 2． ． ． ．8．（2007?海南）已知三棱錐 S﹣ABC的各頂點(diǎn)都在一個半徑為 r的球面上，球心 O在AB上，SO⊥底面ABC，，則球的體積與三棱錐體積之比是（ ）A π B 2π C 3π D 4π2． ． ． ．9．（2007?安徽）半徑為1的球面上的四點(diǎn)A，B，C，D是正四面體的頂點(diǎn)，則A與B兩點(diǎn)間的球面距離為（）Aarccos（﹣Barccos（﹣Carccos（﹣）Darccos（﹣）．）．）．．10．（2006?山東）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（ ）A 1： B 1：3 C 1：3 D 1：9． ． ． ．11．（2006?山東）如圖，在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC=2 ，∠DAB=60 °，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使 A、B重合于點(diǎn)P，則P﹣DCE三棱錐的外接球的體積為（ ）A B C D． ． ． ．12．（2006?江西）如圖，在四面體 ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心 O，且與BC，DC分別截于 E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐 A﹣BEFD與三棱錐 A﹣EFC的表面積分別是 S1，S2，則必有（ ）3A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1=S2D．S1，S2的大小關(guān)系不能確定13．（2004?黑龍江）已知球 O的半徑為 1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每兩點(diǎn)間的球面距離均為 ，則球心O到平面ABC的距離為（ ）A B C D． ． ． ．二．填空題（共 6小題）14．（2014?烏魯木齊二模）直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上， 若AB=AC=AA 1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于_________．15．（2012?遼寧）已知正三棱錐 P﹣ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為 的球面上，若 PA，PB，PC兩兩垂直，則球心到截面 ABC的距離為 _________．16．（2009?湖南）在半徑為 13的球面上有 A，B，C三點(diǎn)，AB=6，BC=8，CA=10，則（1）球心到平面ABC的距離為_________；（2）過A，B兩點(diǎn)的大圓面與平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為_________．417．（2008?安徽）已知A，B，C，D在同一個球面上， AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=6， ，AD=8，則B，C兩點(diǎn)間的球面距離是 _________．18．（2006?遼寧）如圖，半徑為 2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐 P﹣ABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是_________．19．如圖，半徑為 4的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是_________．5立體幾何之外接球問題練習(xí)（一）參考答案與試題解析一．選擇題（共 13小題）1．（2014?廣西）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為 4，底面邊長為 2，則該球的表面積為（ ）A B 16π C 9π D． ． ． ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析： 正四棱錐 P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為 O，求出PO1，OO1，解出球的半徑，求出球的表面積．6解答： 解：設(shè)球的半徑為 R，則∵棱錐的高為4，底面邊長為 2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面積為 4π?（）2= ．故選：A．點(diǎn)評： 本題考查球的表面積，球的內(nèi)接幾何體問題，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．（2014?湖南）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（ ）A 1 B 2 C 3 D 4． ． ． ．7考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體；由三視圖求面積、體積；球的體積和表面積．專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析： 由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑 r．解答： 解：由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑 r，則8﹣r+6﹣r= ，∴r=2．故選：B．點(diǎn)評： 本題考查三視圖，考查幾何體的內(nèi)切圓，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2013?遼寧）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球 O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為（ ）A B C D． ． ． ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．專題： 空間位置關(guān)系與距離．8分析： 通過球的內(nèi)接體，說明幾何體的側(cè)面對角線是球的直徑，求出球的半徑．解答： 解：因?yàn)槿庵?ABC﹣A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，側(cè)面 B1BCC1，經(jīng)過球的球心，球的直徑是其對角線的長，因?yàn)锳B=3，AC=4，BC=5，BC1= ，所以球的半徑為： ．故選C．點(diǎn)評： 本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，球的半徑的求解，考查計(jì)算能力．4．（2012?黑龍江）已知三棱錐 S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O的球面上，△ABC是邊長為 1的正三角形，SC為球O的直徑，且 SC=2，則此棱錐的體積為（ ）A B C D． ． ． ．9考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題： 壓軸題．分析： 先確定點(diǎn) S到面ABC的距離，再求棱錐的體積即可．解答： 解：∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴△ABC的外接圓的半徑∵點(diǎn)O到面ABC的距離 ，SC為球O的直徑∴點(diǎn)S到面ABC的距離為∴棱錐的體積為故選A．點(diǎn)評： 本題考查棱錐的體積，考查球內(nèi)角多面體，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn) S到面ABC的距離．105．（2011?重慶）高為 的四棱錐 S﹣ABCD的底面是邊長為 1的正方形，點(diǎn) S，A，B，C，D均在半徑為 1的同一球面上，則底面 ABCD的中心與頂點(diǎn) S之間的距離為（ ）A B C D． ． ． ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．專題： 計(jì)算題；壓軸題．分析： 由題意可知 ABCD 是小圓，對角線長為 ，四棱錐的高為 ，推出高就是四棱錐的一條側(cè)棱，最長的側(cè)棱就是球的直徑， 然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心與頂點(diǎn) S之間的距離．11解答： 解：由題意可知 ABCD 是小圓，對角線長為 ，四棱錐的高為 ，點(diǎn)S，A，B，C，D均在半徑為1的同一球面上，球的直徑為2，所以四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個頂點(diǎn)，最長的側(cè)棱就是直徑，所以底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為： =故選A點(diǎn)評： 本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體的知識， 能夠正確推出四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個頂點(diǎn)，最長的側(cè)棱就是直徑是本題的關(guān)鍵， 考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．6．（2010?寧夏）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為（）Aπa2BCD5πa2．．．．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體．專題： 計(jì)算題．12分析： 由題意可知上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．解答： 解：根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為 a的正三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，則其外接球的半徑為，球的表面積為 ，故選B．點(diǎn)評： 本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力和空間形象能力．7．（2008?湖南）（文）長方體 ABCD﹣A1B1C1D1的8個頂點(diǎn)在同一個球面上，且 AB=2，AD= ，AA1=1，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是（ ）A B C D 2． ． ． ．13考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體．專題： 計(jì)算題；綜合題；壓軸題．分析： 先求長方體的對角線，就是球的直徑，再求 AB的球心角，然后求 A、B間的球面距離．解答： 解：∵ ，∴ ，設(shè)BD1∩AC1=O，則 ， ，∴ ，故選B點(diǎn)評： 本題考查球的內(nèi)接體問題，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．8．（2007?海南）已知三棱錐 S﹣ABC的各頂點(diǎn)都在一個半徑為 r的球面上，球心 O在AB上，SO⊥底面ABC，，則球的體積與三棱錐體積之比是（ ）A π B 2π C 3π D 4π． ． ． ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體．14專題： 作圖題；綜合題；壓軸題．分析： 求出三棱錐的體積，再求出球的體積即可．解答： 解：如圖，?AB=2r，∠ACB=90°，BC= ，∴V三棱錐= ，V球= ，∴V球：V三棱錐= ．點(diǎn)評： 本題考查球的內(nèi)接體的體積和球的體積的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．9．（2007?安徽）半徑為1的球面上的四點(diǎn) A，B，C，D是正四面體的頂點(diǎn)， 則A與B兩點(diǎn)間的球面距離為 （ ）A arccos（﹣ B arccos（﹣ C arccos（﹣ ）Darccos（﹣）． ） ． ） ． ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體；弧長公式．15專題： 計(jì)算題．分析： 由題意求出正四面體的棱長， 利用余弦定理求出∠AOB，然后求出A與B兩點(diǎn)間的球面距離．解答： 解：半徑為1的球面上的四點(diǎn) A，B，C，D是正四面體的頂點(diǎn)， 所以正四面體擴(kuò)展為正方體的外接球與圓柱球相同， 正方體的對角線就是外接球的直徑，所以正四面體的棱長為： ；A與B兩點(diǎn)間的球面距離為： 1×arccos（﹣ ）=arccos（﹣ ）故選C．點(diǎn)評： 本題是基礎(chǔ)題，考查正四面體的外接球的知識，考查空間想象能力，計(jì)算能力，球面距離的求法，是?？碱}型．10．（2006?山東）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（ ）A 1： B 1：3 C 1：3 D 1：9． ． ． ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．專題： 計(jì)算題．16分析： 設(shè)出正方體的棱長， 分別求出正方體的內(nèi)切球與其外接球的半徑，然后求出體積比．解答： 解：設(shè)正方體的棱長為 a，則它的內(nèi)切球的半徑為，它的外接球的半徑為 ，故所求的比為 1：3 ，選C點(diǎn)評： 本題考查正方體的內(nèi)切球和外接球的體積， 是基礎(chǔ)題．11．（2006?山東）如圖，在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC=2 ，∠DAB=60 °，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使 A、B重合于點(diǎn)P，則P﹣DCE三棱錐的外接球的體積為（ ）A B C D． ． ． ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積．專題： 計(jì)算題；綜合題；壓軸題．分析： 判定三棱錐的形狀，然后求出它的外接球的半徑，再求體積．17解答：解：易證所得三棱錐為正四面體，它的棱長為1，故外接球半徑為，外接球的體積為，故選C．點(diǎn)評： 本題考查球的內(nèi)接多面體， 球的體積等知識， 考查邏輯思維能力，是中檔題．12．（2006?江西）如圖，在四面體 ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心 O，且與BC，DC分別截于 E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐 A﹣BEFD與三棱錐 A﹣EFC的表面積分別是 S1，S2，則必有（ ）A12B12S＜SS＞S．．CS1=S2DS1，S2的大?。P(guān)系不能確定考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體．18專題： 計(jì)算題；綜合題；壓軸題．分析： 比較表面積的大小，可以通過體積進(jìn)行轉(zhuǎn)化比較；也可以先求表面積，然后比較．解答： 解：連OA、OB、OC、OD，則VA﹣BEFD=VO﹣ABD+VO﹣ABE+VO﹣BEFD+VO﹣AFDVA﹣EFC=VO﹣AFC+VO﹣AEC+VO﹣EFC又VA﹣BEFD=VA﹣EFC而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，又面AEF公共，故SABD+SABE+SBEFD+SADF=SAFC+SAEC+SEFC故選C點(diǎn)評： 本題考查球的內(nèi)接體的表面積問題，找出表面積的共有特征是解題簡化的關(guān)鍵，是中檔題．13．（2004?黑龍江）已知球 O的半徑為 1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每兩點(diǎn)間的球面距離均為 ，則球心O到平面ABC的距離為（ ）A B C D． ． ． ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．19專題：計(jì)算題；作圖題；綜合題．分析：先確定內(nèi)接體的形狀，確定球心與平面ABC的關(guān)系，然后求解距離．解答：解：顯然OA、OB、OC兩兩垂直，如圖，設(shè)O1為ABC所在平面截球所得圓的圓心，∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB=BC=CA=．∴O1為△ABC的中心．∴O1A=．由OO12+O1A2=OA2，可得OO1=．故選B．點(diǎn)評： 本題考查球的內(nèi)接體問題，球心與平面的距離關(guān)系，考查空間想象能力，是中檔題．二．填空題（共 6小題）14．（2014?烏魯木齊二模）直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上， 若AB=AC=AA 1=2，∠BAC=120 °，則此球的表面積等于20π ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體．專題： 計(jì)算題；壓軸題．20分析： 通過已知體積求出底面外接圓的半徑，設(shè)此圓圓心為O'，球心為O，在RT△OBO'中，求出球的半徑，然后求出球的表面積．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得，由正弦定理，可得△ABC外接圓半徑r=2，設(shè)此圓圓心為O'，球心為O，在RT△OBO'中，易得球半徑，故此球的表面積為4πR2=20π故答案為：20π點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉(zhuǎn)化為直角三角形，求出球的半徑，這是三棱柱外接球的常用方法；本題考查空間想象能力，計(jì)算能力．15．（2012?遼寧）已知正三棱錐 P﹣ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為 的球面上，若 PA，PB，PC兩兩垂直，則球心到截面 ABC的距離為 ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體．專題： 計(jì)算題；壓軸題．21分析： 先利用正三棱錐的特點(diǎn)， 將球的內(nèi)接三棱錐問題轉(zhuǎn)化為球的內(nèi)接正方體問題， 從而將所求距離轉(zhuǎn)化為正方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實(shí)現(xiàn)此計(jì)算解答：解：∵正三棱錐P﹣ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接圓O，∵圓O的半徑為，∴正方體的邊長為2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離設(shè)P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P﹣ABC的體積V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=2△ABC為邊長為2的正三角形，S△ABC=×∴h= =∴正方體中心O到截面ABC的距離為 ﹣=故答案為22點(diǎn)評： 本題主要考球的內(nèi)接三棱錐和內(nèi)接正方體間的關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點(diǎn)到面的距離問題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題16．（2009?湖南）在半徑為 13的球面上有 A，B，C三點(diǎn)，AB=6，BC=8，CA=10，則（1）球心到平面ABC的距離為12；（2）過A，B兩點(diǎn)的大圓面與平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為3．考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：（1）由題意說明△ABC是直角三角形，平面ABC是小圓，圓心在AC的中點(diǎn)，利用勾股定理直接求出球心到平面ABC的距離．（2）如圖作出過A，B兩點(diǎn)的大圓面與平面ABC所成二面角，直接求出它的正切值即可．解答：解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，△ABC是直角三角形，平面ABC是小圓，圓心在AC的中點(diǎn)D，AO=13，AD=5，球心到圓心的距離就是球心到平面ABC的距離，即：OD=12（2）過D作DE垂直AB于E，連接OE則∠OED就是過A，B兩點(diǎn)的大圓面與平面 ABC所成二面23角．易得DE=4所以tan∠OED= =3故答案為：（1）12；（2）3．點(diǎn)評： 本題是基礎(chǔ)題，考查球的截面問題，二面角的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，能夠正確作出圖形是解好本題個前提，也是空間想象能力的具體體現(xiàn)．17．（2008?安徽）已知A，B，C，D在同一個球面上， AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=6， ，AD=8，則B，C兩點(diǎn)間的球面距離是 ．考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體．專題： 計(jì)算題；作圖題；壓軸題．分析： 先求