2023學(xué)年完整版《冪函數(shù)》設(shè)計(jì)2

《冪函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握冪函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)．2．熟悉α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1時的五類冪函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其特點(diǎn)．3．能利用冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決綜合問題．【教學(xué)重點(diǎn)】掌握冪函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)【教學(xué)難點(diǎn)】能利用冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決綜合問題．【課時安排】1課時【教學(xué)過程】認(rèn)知初探1．冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中α是常數(shù)．思考：冪函數(shù)y＝xα與指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)有什么樣的區(qū)別？[提示]冪函數(shù)y＝xα的底數(shù)為自變量，指數(shù)是常數(shù)，而指數(shù)函數(shù)正好相反，指數(shù)函數(shù)y＝ax中，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量．2.冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝eq\f(1,x)定義域RRR_______值域R_R_奇偶性奇函數(shù)__偶函數(shù)______奇函數(shù)___非奇非偶函數(shù)_奇函數(shù)______單調(diào)性在R上遞增在_(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上遞增在R上遞增在(0，＋∞)上遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上遞減圖像過定點(diǎn)__（0，0）_（1，1）_________（1，1）____小試牛刀1．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－1C[形如y＝xα的函數(shù)為冪函數(shù)，只有C不是．]2.冪函數(shù)f(x)的圖像過點(diǎn)(3，eq\r(3,9))，則f(8)＝()A．2B．4C．6D．8B解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα(α為常數(shù))，由函數(shù)的圖像過點(diǎn)(3，eq\r(3,9))，可得eq\r(3,9)＝3α，∴α＝eq\f(2,3)，則冪函數(shù)f(x)＝x，∴f(8)＝8＝4.3.若冪函數(shù)y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的圖像不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m=-2解析：由冪函數(shù)的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，則y＝x－4，其圖像不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不符合題意，舍去；若m＝－2，則y＝x－3，其圖像不過原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱．故m＝－24．判斷大?。航馕觯阂?yàn)楹瘮?shù)y＝是增函數(shù)，又<，∴答案：<例題講解冪函數(shù)的概念例1(1)下列函數(shù)：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數(shù)的個數(shù)為()B．2C．3D．4解析：(1)②⑦為指數(shù)函數(shù)，③中系數(shù)不是1，④中解析式為多項(xiàng)式，⑤中底數(shù)不是自變量本身，所以只有①⑥是冪函數(shù)．答案：(1)B(2)若函數(shù)y＝(m2＋2m－2)xm為冪函數(shù)且在第一象限為增函數(shù)，則m的值為()B．－3C．－1D．3解析：(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2＋2m－2)xm為冪函數(shù)且在第一象限為增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,m>0，))所以m＝1.答案：(2)A1．只有形如y＝xα(其中α為任意實(shí)數(shù)，x為自變量)的函數(shù)才是冪函數(shù)，否則就不是冪函數(shù)．2．判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且(1)指數(shù)為常數(shù)，(2)底數(shù)為自變量，(3)底數(shù)系數(shù)為1.當(dāng)堂練習(xí)1已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖像經(jīng)過點(diǎn)(9，3)，則f(100)＝________．10解析：由題意可知f(9)＝3，即9α＝3，所以α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝x，所以f(100)＝100＝10.冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)例2⑴冪函數(shù)y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的圖像如圖，則將m，n，p，q的大小關(guān)系用“<”連接起來結(jié)果是________．【解析】⑴過原點(diǎn)的指數(shù)α>0，不過原點(diǎn)的α<0，所以n<0，當(dāng)x>1時，在直線y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1時，指數(shù)越大，圖像越高，所以m>q，綜上所述n<q<m<p.【答案】⑴n<q<m<p(2)已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖像關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足(a＋3)<(5－2a)的a的取值范圍．[解]⑵因?yàn)楹瘮?shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以3m－9為偶數(shù)，故m＝1，則原不等式可化為(a＋3)eq\s\up18(-\f(1,5))<(5－2a)eq\s\up18(-\f(1,5)).因?yàn)閥＝xeq\s\up18(-\f(1,5))在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以a＋3>5－2a>0或5－2a<a＋3<0或a＋3<0<5－2a，解得eq\f(2,3)<a<eq\f(5,2)或a<－3，a的取值范圍為(－∞，－3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,2))).方法總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)(1)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，并且圖像都通過點(diǎn)(1,1)．(2)若α>0，則冪函數(shù)的圖像通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．當(dāng)0<α<1時，在第一象限內(nèi)為拋物線形，且開口向右；當(dāng)α>1時，在第一象限內(nèi)為拋物線形，且開口向上．(3)若α<0，則冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)為雙曲線形，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時，圖像在y軸右方無限地逼近y軸；當(dāng)x趨于＋∞時，圖像在x軸上方無限地逼近x軸．當(dāng)堂練習(xí)2(1)函數(shù)f(x)＝xeq\s\up18(-\f(1,2))的大致圖像是()(2)如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖像，已知n取±2，±eq\f(1,2)四個值，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的n依次為()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2 B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)(1)A(2)B[(1)因?yàn)椋璭q\f(1,2)＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)B，C；又f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，故排除選項(xiàng)D.(2)考慮冪函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)的增減性，注意當(dāng)n>0時，對于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n<0時看|n|的大小．根據(jù)冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖像當(dāng)n>0時，n越大，y＝xn遞增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝eq\f(1,2)，當(dāng)n<0時，|n|越大，曲線越陡峭，所以曲線C3的n＝－eq\f(1,2)，曲線C4的n＝－2，故選B.]冪值的大小比較【例3】比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大?。?1)與；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(－1)與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq\s\up12(－1)；(3)與；(4)與思路探究](1)判斷奇偶性?奇偶性定義．(2)求反函數(shù)?反解，改寫，標(biāo)注定義域．(3)對數(shù)不等式?構(gòu)建不等式組?解不等式組?得出解集．【解】(1)因?yàn)閥＝x是[0，＋∞)上的增函數(shù)，且eq\f(1,3)＞eq\f(1,4)，所以>.(2)因?yàn)閥＝x－1是(－∞，0)上的減函數(shù)，且－eq\f(2,3)＜－eq\f(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(－1)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq\s\up12(－1).(3)\s\up12(－\f(1,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,4))＝2eq\s\up6(\f(1,2))，＝因?yàn)閥＝x是[0，＋∞)上的增函數(shù)，且2＜，所以2＜，即\s\up12(－\f(1,4))＜.(4)由冪函數(shù)的單調(diào)性，知，又y＝是減函數(shù)，所以，從而方法總結(jié)(1)比較冪值的大小，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)：①若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則構(gòu)造冪函數(shù)；②若指數(shù)不同而底數(shù)相同，則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)．(2)若指數(shù)與底數(shù)都不同，需考慮是否能把指數(shù)或底數(shù)化為相同，是否可以引入中間量．當(dāng)堂練習(xí)3比較下列各組數(shù)的大小：[解](1)函數(shù)y＝xeq\s\up18(-\f(5,2))在(0，＋∞)上為減函數(shù)．∵3＜，∴3eq\s\up18(-\f(5,2))＞\s\up18(-\f(5,2)).(2)∵y＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)，＜，∴又∵y＝在R上是減函數(shù)，＜，∴，即課堂小結(jié)1.冪函數(shù)y＝xα(α∈R)中，α為常數(shù)，系數(shù)為1，底數(shù)為單一的x.這是判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的解析式形同而實(shí)異，解題時一定要分清，以防出錯．2．冪函數(shù)的圖像特征及性質(zhì)(1)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像，在經(jīng)過點(diǎn)(1,1)且平行于y軸的直線的右側(cè)，按冪指數(shù)由小到大的