東北農(nóng)業(yè)大學(xué)《數(shù)值分析》課件-第八章

東北農(nóng)業(yè)大學(xué)

數(shù)值分析

第八章第八章.矩陣特征值和特征向量計(jì)算應(yīng)用背景

工程實(shí)踐中有多種振動(dòng)問(wèn)題，如橋梁或建筑物的振動(dòng)，機(jī)械機(jī)件、飛機(jī)機(jī)翼的振動(dòng)，及一些穩(wěn)定性分析和相關(guān)分析可轉(zhuǎn)化為求矩陣特征值與特征向量的問(wèn)題。

但高次多項(xiàng)式求根精度低,一般不作為求解方法.目前的方法是針對(duì)矩陣不同的特點(diǎn)給出不同的有效方法.主要方法乘冪法與反冪法（迭代法）QR算法Jacobi方法（變換法）§1.乘冪法和反冪法.

一、乘冪法乘冪法：求矩陣的按模最大的特征值與相應(yīng)的特征向量。

基本思想：通過(guò)迭代產(chǎn)生向量序列，由此計(jì)算特征值和特征向量。兩種特殊情況乘冪法小結(jié)二、乘冪法的加速

因?yàn)槌藘绶ǖ氖諗克俣仁蔷€性的，而且依賴于比值，當(dāng)比值接近于1時(shí)，冪法收斂很慢。冪法加速有多種，介紹兩種:原點(diǎn)移位法；外推法三、反冪法

反冪法是計(jì)算矩陣按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相應(yīng)特征向量的最有效的方法。反冪法的基本思想原點(diǎn)平移法乘冪法主要用來(lái)求矩陣按模最大的特征值；反冪法主要用來(lái)求特征向量。

§2.QR方法

60年代出現(xiàn)的QR算法是目前計(jì)算中小型矩陣的全部特征值與特征向量的最有效方法。實(shí)矩陣、非奇異。

理論依據(jù)：任一非奇異實(shí)矩陣都可分解成一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積，而且當(dāng)R的對(duì)角元符號(hào)取定時(shí)，分解是唯一的。一、化一般矩陣為準(zhǔn)上三角陣§2.Jacobi方法一、矩陣的旋轉(zhuǎn)變換二、Jacobi方法

可證，在一定條件下，基本QR方法產(chǎn)生的矩陣序列｛A(k)｝“基本”收斂于一個(gè)上三角陣（或分塊上三角陣）。即主對(duì)角線（或主對(duì)角線子塊）及其以下元素均收斂，主對(duì)角線（或主對(duì)角線子塊）以上元素可以不收斂。特別的，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，則｛A(k)｝“基本”收斂于對(duì)角矩陣。因?yàn)樯先顷嚨闹鲗?duì)角元（或分塊上三角陣中，主對(duì)角線子塊的特征值）即為該矩陣的特征值，故當(dāng)k充分大時(shí)，A(k)的主對(duì)角元（或主對(duì)角線子塊的特征值）就可以作為A的特征值的近似?；镜腝R方法的主要運(yùn)算是對(duì)矩陣QR分解，分解的方法有多種。介紹一種Schmit正交化方法。

基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解與矩陣乘法，計(jì)算量大，而且收斂速度慢。因此實(shí)際使用的QR方法是先用一系列相似變換將A化成擬上三角矩陣（稱為上Hessenberg矩陣），然后對(duì)此矩陣用基本QR方法。因?yàn)閿M上三角矩陣具有較多零元素，故可減少運(yùn)算量?；疉為相似的擬上三角陣的