工程力學(xué)及其實驗 第十一章 應(yīng)力狀態(tài)理論和強度理論

工程力學(xué)及其實驗

第十一章應(yīng)力狀態(tài)理論和強度理論主要內(nèi)容：

問題的提出

應(yīng)力狀態(tài)理論強度理論§11－1問題的提出

一點的應(yīng)力狀態(tài)

通過受力構(gòu)件上一點的所有各個不同截面上應(yīng)力的集合,稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。

危險點的應(yīng)力狀態(tài)

危險點處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)

§11－2應(yīng)力狀態(tài)理論平面應(yīng)力狀態(tài)的一般分析在圖a)所示單元體上取任意斜截面a,其外法線n與x軸正向的夾角為α

。規(guī)定：α角自x軸正向逆時針轉(zhuǎn)到n為正。設(shè)σx≥σy。截面ef把單元體分成兩部分,現(xiàn)研究aef部分的平衡(圖b))。斜截面ef上的應(yīng)力以正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα表示。若ef的面積為dA，則af面和ae面的面積分別是dAsinα和dAcosα

。由靜力平衡方程

式中τxy=τyx，代入上式，化簡后得

平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的應(yīng)力計算公式

將式對α求導(dǎo)數(shù)，并令dσ/dα=0，得

極值正應(yīng)力、主平面和主應(yīng)力

設(shè)該主平面的外法線n與x軸正向的夾角為α0，可得最大正應(yīng)力

在上面各式中假定了σx≥σy,在此假定下,確定的兩個角度α0中,絕對值最小的一個確定σmax所在的平面。

極值切應(yīng)力

令dτx/dα=0，由式這說明極值切應(yīng)力所在平面與主平面成45o角。此處所指的極值切應(yīng)力是指平面應(yīng)力狀態(tài)下與零應(yīng)力面垂直的各斜截面中的切應(yīng)力的極值,并不是指三向應(yīng)力狀態(tài)下單元體的最大切應(yīng)力。得

主平面和主應(yīng)力

單元體上切應(yīng)力為零的平面稱為主平面主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由主平面組成的單元體稱為主應(yīng)力單元體。一點的應(yīng)力狀態(tài)常用主應(yīng)力單元體表示

單向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為平面應(yīng)力狀態(tài)。二向應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。σ1≥σ2≥σ3

例11-1

已知構(gòu)件內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，求：1)主應(yīng)力及主平面方向；2)最大、最小切應(yīng)力。解：1）主應(yīng)力與主方向解得：故兩個主平面外法向與x軸的夾角為58.28°和148.28°。在d0=58.28°的主平面上，有：解得：2）最大、最小切應(yīng)力

廣義胡克定律

對應(yīng)于主應(yīng)力σ1、σ2、σ3方向的線應(yīng)變分別為ε1、ε2、ε3，稱為主應(yīng)變。在σ1的單獨作用下，沿σ1方向的主應(yīng)變?yōu)樵讦?和σ3的單獨作用下，在σ1方向引起的主應(yīng)變分別為根據(jù)疊加原理，在σ1、σ2、σ3三個主應(yīng)力的共同作用下，沿σ1、σ2、σ3方向的主應(yīng)變?yōu)橥?，可求出沿?和σ3方向的主應(yīng)變ε2和ε3，結(jié)果有廣義胡克定律

§10－3

強度理論

強度理論的概念由于材料破壞主要有兩種形式,相應(yīng)地存在兩類強度理論。一類是斷裂破壞理論,主要有最大拉應(yīng)力理論和最大拉應(yīng)變理論等；另一類是屈服破壞理論,主要是最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論。根據(jù)不同的強度理論可以建立相應(yīng)的強度條件,從而為解決復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下構(gòu)件的強度計算提供了依據(jù)。

常用的四種強度理論

最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論)

引起材料斷裂破壞的主要因素是最大拉應(yīng)力。因此，材料發(fā)生破壞的條件為相應(yīng)的強度條件是

σ1—構(gòu)件危險點處的最大拉應(yīng)力；[σ]—單向拉伸時材料的許用應(yīng)力。

試驗表明，這個理論對于脆性材料，在單向、二向或三向拉斷裂時，最大拉應(yīng)力理論與試驗結(jié)果基本一致。在存在有壓應(yīng)力的情況下，則只有當(dāng)最大壓應(yīng)力值不超過最大拉應(yīng)力值時，拉應(yīng)力理論才正確。這個理論沒有考慮其他兩個主應(yīng)力對斷裂破壞的影響。同時對于壓縮應(yīng)力狀態(tài)，由于根本不存在拉應(yīng)力，這個理論無法應(yīng)用。最大伸長線應(yīng)變理論(第二強度理論)

不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大伸長應(yīng)變ε1達到材料單向拉伸斷裂時的最大伸長應(yīng)變值ε01，材料即發(fā)生斷裂破壞。因此，材料發(fā)生斷裂破壞的條件為對于鑄鐵等脆性材料，從受力到斷裂，其應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系基本符合胡克定律，強度條件為試驗表明，脆性材料在二向拉伸——壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，且壓應(yīng)力絕對值較大時，試驗與理論結(jié)果比較接近；二向壓縮與單向壓縮強度有所不同，但混凝土、花崗石和砂巖在兩種情況下的強度并無明顯差別；鑄鐵在二向拉伸時應(yīng)比單向拉伸時更安全，而試驗并不能證明這一點。

最大切應(yīng)力理論(第三強度理論)

不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力τmax

達到材料單向拉伸屈服時的最大切應(yīng)力τ0max

，材料即發(fā)生屈服破壞，屈服條件為相應(yīng)的強度條件為

試驗表明,對塑性材料，如常用的Q235A、45鋼、銅、鋁等，此理論與試驗結(jié)果比較接近。

形狀改變比能理論(第四強度理論)

積蓄在單位體積內(nèi)的變形能，包括因體積改變和因形狀改變而產(chǎn)生的比能兩個部分。相應(yīng)的強度條件為

四種強度理論的適用范圍

大量的工程實踐和實驗結(jié)果表明,上述四種強度理論的有效性取決于材料的類別以及應(yīng)力狀態(tài)的類型。1)在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下,不論是脆性材料還是塑性材料，都會發(fā)生斷裂破壞，應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論。2)在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下,不論是塑性材料還是脆性材料，都會發(fā)生屈服破壞，適于采用形狀改變比能理論或最大切應(yīng)力理論。3)一般而言