第6章.靜定結構的位移計算

靜定結構的位移計算第六章§6-1概述§6-2變形體虛功原理及位移計算一般公式§6-3支座移動和溫度變化時的位移計算§6-4靜定結構在荷載作用下的位移計算§6-5圖乘法§6-6互等定理§6-7結構位移計算公式的另一種推導1§6-1概述一、靜定結構的位移

靜定結構在荷載、溫度變化、支座移動以及制造誤差等因素作用下，結構的某個截面通常會產(chǎn)生水平線位移、豎向線位移以及角位移。1.截面位移桁架受荷載作用剛架受荷載作用ABCABC22.廣義位移通常把兩個截面的相對水平位移、相對豎向位移以及相對轉角叫做廣義位移。AB

豎向位移之和

相對豎向位移a)支座B下沉ABCC'溫度變化ABC'C3qABABb)c)

相對豎向位移

相對水平位移4

A左、右截面相對轉角e)d)AlB

AB桿轉角A5次梁跨中撓度主梁跨中撓度樓蓋跨中撓度吊車梁跨中撓度二、位移計算的目的1）驗算結構的剛度62）為超靜定結構的內(nèi)力和位移計算準備條件求解超靜定結構時，只利用平衡條件不能求得內(nèi)力或位移的唯一解，還要補充位移條件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mAB如右圖示單跨梁，若只滿足平衡條件，內(nèi)力可以由無窮多組解答，例如可以取任意值。7三、實功和虛功：1.實功力在由該力引起的位移上所作的功稱為實功。即

右圖中，外力是從零開始線性增大至，位移也從零線性增大至。也稱為靜力實功。

FP1Δ182.虛功力FP在由非該力引起的位移Δ上所作的功叫作虛功。右圖簡支梁，先加上，則兩截面1、2之位移分別為、。然后加，則1、2截面產(chǎn)生新的位移。FP1FP29實功：虛功：虛功強調(diào)作功的力與位移無關。FP1FP210§6-2變形體虛功原理及位移計算一般公式一、

變形體虛功原理

定義：設變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上做的外虛功W恒等于各微段應力的合力在變形上作的內(nèi)虛功Wi

，即W=Wi

。11下面討論W及Wi

的具體表達式。條件：1）存在兩種狀態(tài)：第一狀態(tài)為作用有平衡力系；第二狀態(tài)為給定位移及變形。以上兩種狀態(tài)彼此無關。

2）力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。

3）上述虛功原理適用于彈性和非彈性

結構。12第二狀態(tài)（給定位移和變形）q(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）13外力虛功：微段ds的內(nèi)虛功dWi：整根桿件的內(nèi)虛功為：14根據(jù)虛功方程W=Wi，所以有：結構通常有若干根桿件，則對全部桿件求總和得：15小結：只要求兩個條件：力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。上述虛功原理適用于各類結構（靜定、超靜定、桿系及非桿系結構），適用于彈性或非彈性結構。

考慮了桿件的彎曲、剪切及軸向變形。1)2)3)16

變形體虛功原理有兩種應用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設平衡力系求位移;虛位移原理：虛設位移求未知力。用變形體虛力原理求靜定結構的位移，是將求位移這一幾何問題轉化為靜力平衡問題。二、位移計算的一般公式所以在變形體虛功方程中，若外力只是一個單位荷載，則虛功方程為：17下面以圖示剛架為例對位移計算的一般公式加以具體說明。給定位移、變形虛設平衡力系ABC1.

欲求，則在C截面加上豎向單位載荷，則該靜定剛架就產(chǎn)生了一組平衡力系。ABC182.位移計算一般公式外力虛功內(nèi)虛功所求位移——給定的位移和變形。力和位移無關。3.小結1）

——單位載荷在結構中產(chǎn)生的內(nèi)力和支座反力，、、、19，則與同向；若求得的，3）外力虛功這一項前取正號。若求得的則與反向。2）正負號規(guī)則：若及使桿件同側纖維伸長，則乘積為正，反之為負；乘積及的正負號分別由力與應變的正負號確定。使隔離體產(chǎn)生順時針轉動為正，反之為負，以順時針方向為正，反之為負；以拉力為正，壓力為負，

以拉應變?yōu)檎瑝簯優(yōu)樨?；若與同向，則乘積為正，反之為負。204）根據(jù)所求位移的性質(zhì)虛設相應的單位載荷。圖示單位荷載分別求位移ABC5）求位移步驟如下：①沿擬求位移方向虛設性質(zhì)相應的單位載荷；②求結構在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力；③利用位移計算一般公式求位移。21例6-2-1

已知桿AB和BC在B處有折角(見圖a)，求B點下垂距離。虛設平衡力系1/3c)ABCl/32l/32/312l/9給定位移b)a)1）將制造誤差明確為剛體位移，即在B截面加鉸，見圖b)。解：ABCl/32l/3ABCl/32l/3222）虛設平衡力系如圖c)所示。運用虛功方程W=0得：1/3虛設平衡力系c)ABCl/32l/32/312l/9ABCl/32l/3給定位移b)23例6-2-2

已知桿AB在B左、右截面有豎向相對錯動見圖a)，求。ABCl/32l/3Ba)ABCl/32l/3b)給定位移24解：1）將制造誤差明確為剛體位移，將截面B變?yōu)榛瑒勇?lián)結，見上頁圖b)。2）虛設平衡力系如圖c）所示。運用虛功方程W=0得：1/lc)

虛設平衡力系ABCl/32l/311/l1/l1/l25例6-2-3

已知一直桿彎曲成圓弧狀，求桿中撓度。解：虛設平衡力系如圖所示，運用變形體虛功方程得：給定位移虛設平衡力系ABCRl/2l/2ΔABCl/2l/2l/41/21/2126三、廣義位移的計算求圖a）結構A、B截面相對水平位移。+a)

給定位移qABΔAHΔBHκ,γ0,

εAB1c)

虛設單位荷載1AB1b)1AB1d)

虛設單位荷載2=27虛設單位載荷如上圖c)，d)所示。由上圖b)可得：所以得：28所以，為了求兩個截面的相對位移，只需要在該兩個截面同時加一對大小相等，方向相反，性質(zhì)與所求位移相應的單位荷載即可。下面給出幾種情況的廣義單位荷載：q求Δφ11單位荷載Δφ1)29AB1/l1/l單位荷載ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBV2)ABFP1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBVΔAVΔBV(A，B截面豎向位移之和）(A，B截面相對豎向位移）原結構3)30例6-2-4

因溫度變化底板AB彎曲成半徑R=10m之圓弧狀，求截面C、D的相對水平位移。給定位移虛設平衡力系CR=10mD0.7mABCD0.7AB110.72m

在截面C、D上加一對大小相等、方向相反、沿水平方向的單位荷載如圖所示。解：31注意，AC、BD桿無彎曲變形。32§6-3支座移動和溫度變化時的位移

計算一、支座移動時的位移計算說明：1）等號右邊的負號是公式推導而得出，不能去掉。2）若

與方向相同，則乘積為正，反之為負。若靜定結構只有支座移動而無其他因素作用，則結構只產(chǎn)生剛體位移而無變形，故對于桿件的任意微段，應變均為零。所以支座移動時的位移計算公式為：33例6-3-1

已知剛架支座B向右移動a,求。解：CABhd/2d/2aCAB1d/4hd/4h0.50.51）求求34CADB10.50.5h/dh/d求ΔDHd/2d/2hCADB1/h1/h00求ΔφCd/2d/2112）求3）求35二、溫度變化時的位移計算靜定結構在溫度變化作用下各桿能自由變形，所以結構不產(chǎn)生內(nèi)力。1.是溫度改變值，而非某時刻的溫度。某時刻溫度另一時刻溫度t1,t2是溫度改變值36

2.溫度沿桿件截面厚度方向成線性變化。截面上、下邊緣溫差：對于矩形截面桿件，，。hb桿軸線處溫度改變值：h1h2ht1t2dsh1h2ht1t2t2-

t1dt373.微段ds的應變拉應變彎曲應變剪應變4.位移計算公式38小結：1）正負號規(guī)則：及溫度變化使桿件同一側纖維伸長（彎曲方向相同），則乘積為正，反之為負。以溫度升高為正，降低為負，以拉力為正，壓力為負。2）39例6-3-2

求圖示剛架C截面水平位移。已知桿件線膨脹系數(shù)為，矩形截面高為h。解：CABdd1CABddCAB圖圖4041§6-4靜定結構在荷載作用下的位移

計算一、基本公式CABD虛設平衡力系FP=1給定位移、變形FPCABqDκ,γ0,

εΔDH,ΔDV,θD(MP,FQP,FNP

)D求下圖示結構在荷載作用下的位移。42若結構只有荷載作用，則位移計算一般公式為：上式適用的條件是：小變形，材料服從虎克定律，即體系是線性彈性體。在荷載作用下，應變與內(nèi)力的關系式如下：43正負號規(guī)則：1）不規(guī)定和的正負號，只規(guī)定乘積的正負號。若和使桿件同一側纖維受拉伸長，則乘積為正，反之為負；正MP正MP負MP44若結構除荷載外，還有支座移動和溫度變化，則位移計算公式為：2）和以拉力為正，壓力為負；3）和的正負號見下圖。45二、各類結構的位移計算公式1.梁和剛架在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計算公式為：在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對位移的影響不容忽略。對于深梁，即h/l

較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。462.桁架桁架各桿只有軸力，所以位移計算公式為：4.拱拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：3.組合結構用于彎曲桿用于二力桿47例6-4-1

求簡支梁中點豎向位移，并討論剪切變形對位移的影響。qxAMPFQPql/2xA0.5ABCl/2l/2FP=1ABqCl/2l/248解：49若桿截面為矩形，則k=1.2；又μ=1/3，則E/G=2(1+μ)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，則

h/l=1/2，則可見，剪切變形的影響不能忽略。50§6-5圖乘法

圖乘法是一種求積分的簡化計算方法，它把求積分的運算轉化為求幾何圖形的面積與豎標的乘積的運算。一、圖乘法基本公式為方便討論起見，把積分改寫成。51Mi圖yxMk圖dω=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=xtgαxx0ABy052說明：1）條件：AB桿為棱柱形直桿，即EI等于常數(shù)；Mi與Mk圖形中有一個是直線圖形。2）y0與ω的取值：y0一定取自直線圖形，ω則取自另一個圖形，且取ω的圖形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0與ω在桿軸或基線的同一側，則乘積y0ω取正號；若y0與ω不在桿軸或基線的同一側，則乘積y0ω取負號。53二、常見圖形的幾何性質(zhì)l/2l/2二次拋物線hωl二次拋物線hω二次拋物線3l/4l/4hω5l/83l/8二次拋物線hω54三、

圖乘法舉例運用圖乘法進行計算時,關鍵是對彎矩圖進行分段和分塊,尤其是正確的進行分塊。M1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/355分段——圖均應分為對應的若干段，然后進行計算。ABCDABCDMP56分塊——只對或中的一個圖形進行分塊，另一個圖形不分塊。ABABMP1MP257例6-5-1

求。解：作圖圖，如上圖所示。分段：，分為AC、CB兩段，分塊：圖的CB段分為兩塊。MPACBEI1EI2ω1ω2ω31FPCBy1y2y3EI1EI2A58此題還可以這樣處理：先認為整個AB桿的剛度是，再加上剛度為的AC段，再減去剛度為的AC段即可。CBACACAω1ω2ω2MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACEI2EI2EI1EI2y2y2+-y1159例6-5-2

求,EI等于常數(shù)。解：作圖圖，如右圖所示。分段：，分為AC、CB兩段。分塊：圖的AC段分為兩塊。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB2ω1MPω2y2y160如果將AC段的圖如下圖那樣分塊，就比較麻煩。16A4C84圖例6-5-3

求,EI等于常數(shù)。作圖圖，如下頁圖所示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC611/21y1ω2y381244MP圖ω1ω3y2圖1ACBBAC（kN.m)62例6-5-4

求,EI等于常數(shù)。解：作圖及圖，如右所示。分段：，分為AB、BC兩段。分塊：圖的BC段分為兩塊。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y2圖圖14126ω1ω3（kN.m)631/61/62/31/31ω2y3y2圖圖14126ω1ω3（kN.m)64例6-5-5

求ΔCH，EI等于常數(shù)。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP圖和圖見下頁圖。分塊：MP圖的AB段分為兩塊。654ω2y3=412ω1MP圖(kN.m)2m2y22y1圖1ω3ABC466§6-6互等定理互等定理適用于線性變形體系，即體系產(chǎn)生的是小變形，且桿件材料服從虎克定律。一、

功的互等定理功的互等本質(zhì)上是虛功互等。下圖給出狀態(tài)I和狀態(tài)II。狀態(tài)IIAB12abAB12ab狀態(tài)I67令狀態(tài)I的平衡力系在狀態(tài)II的位移上做虛功，得到：狀態(tài)IIAB12abAB12ab狀態(tài)I68同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：所以即69定理在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。二、位移互等定理定理在任一線性變形體系中，由荷載FP1引起的與荷載FP2相應的位移影響系數(shù)δ21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應的位移影響系數(shù)δ12。即δ12=δ21即70由功的互等定理可得：在線性變形體系中，位移Δij與力FPj的比值是一個常數(shù)，記作δij，即：或于是所以狀態(tài)II12狀態(tài)I12711212說明：1）

δij也稱為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。

i產(chǎn)生位移的方位；j

產(chǎn)生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，則相應的δ12和δ21就是線位移影響系數(shù)或角位移影響系數(shù)。即荷載可以是廣義荷載，而位移則是廣義位移。兩個廣義位移的量綱可能不等，但它們的影響系數(shù)在數(shù)值和量綱上仍然保持相等。72例6-6-1

驗證位移互等定理。a/2a/21EIFP1=FΔ212a/2a/21EIFP2=MΔ122FFa/4M11a/4解：73所以例6-6-2

驗證位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.mΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ1274解：所以15311175三、反力互等定理

反力互等定理只適用于超靜定結構，因為靜定結構在支座移動時只產(chǎn)生剛體位移，其內(nèi)力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11狀態(tài)I12C2FR22FR12狀態(tài)II根據(jù)功的互等定理有：76在線性變形體系中，反力FRij與Cj的比值為一常數(shù)，記作rij，即或所以得說明：

rij

也稱為剛度系數(shù)，即產(chǎn)生單位位移所需施加的力。其量綱為。

i

產(chǎn)生支座反力的方位；

j

產(chǎn)生支座移動的支座。77例6-6-3

驗證反力互等定理?？梢姡簉12=r2112EI

lC2=112EI

lC1=1r21r12r21=3EI/l23EI/l3EI/l3r12=3EI/l2定理在任一線性變形體系中，由位移C1引起的與位移C2相應的反力影響系數(shù)r21等于由位移C2引起的與位移C1相應的反力影響系數(shù)r12。78四、位移反力互等定理根據(jù)功的互等定理有：令狀態(tài)I1FP12FR21狀態(tài)II1Δ122C2上述支座可以是其它種類的支座，則支座位移、支座反力應與支座種類相應。79位移反力互等定理在混合法中得到應用。所以由此得到即上式中力可以是廣義力，位移可以是廣義位移。符號相反表明：虛功方程中必有一項，其力和位移方向相反。系數(shù)、的量綱都是。定理在任一線性變形體系中，由位移C2引起的與荷載FP1相應的位移影響系數(shù)在絕對值上等于由荷載FP1引起的與位移C2相應的反力影響系數(shù)

，但二者符號相反。80例6-6-4

驗