新教材高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何章末綜合測評(píng)課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版選擇性必修

章末綜合測評(píng)(一)空間向量與立體幾何(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－3,4,0)與點(diǎn)B(2，－1,6)的距離是()A．2eq\r(43)B．2eq\r(21)C．9D．eq\r(86)2．在空間四邊形ABCD中，若向量eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3,5,2)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(－7，－1，－4)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up8(→))的坐標(biāo)為()A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)3．A，B，C不共線，對空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up8(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)()A．不共面B．共面C．不一定共面D．無法判斷是否共面4．已知平面α的一個(gè)法向量為n＝(1，－1,0)，則y軸與平面α所成的角的大小為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)5.長方體ABCD-A1B1C1D1中AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(30),10)C．eq\f(2\r(15),10) D．eq\f(3\r(10),10)6．空間直角坐標(biāo)系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．無法確定7.如圖是一平行六面體ABCD-A1B1C1D1，E為BC延長線一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(CE,\s\up8(→))，則eq\o(D1E,\s\up8(→))＝()A．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))B．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))D．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))8.如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF.當(dāng)A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面時(shí)，平面A1DE與平面C1DF所成夾角的余弦值為()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2\r(6),5)二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結(jié)論中正確的有()A．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))與eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))是一對相反向量B．eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))與eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))是一對相反向量C．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))與eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→))是一對相反向量D．eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→))是一對相反向量10．在以下命題中，不正確的命題有()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件B．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λbC．對空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))－2eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則與直線CE不垂直的有()A．AC B．BDC．A1D D．A1A12.如圖，已知E是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D到面AED1的距離為d，直線DE與面AED1所成的角為θ，面AED1與面AED的夾角為α，則()A．DF⊥面AED1B．d＝eq\f(4,3)C．sinθ＝eq\f(4\r(5),15)D．cosα＝eq\f(2,3)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．已知向量e1，e2，e3是三個(gè)不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，則λ＝________.14.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，則E、F兩點(diǎn)間的距離為________．15．已知正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1邊長為1，下底面ABCD邊長為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為________．16．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，點(diǎn)A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．則|2a＋b|＝________；在直線AB上，存在一點(diǎn)E，使得eq\o(OE,\s\up8(→))⊥b，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________．(第一空2分，第二空3分)四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)a＋c與b＋c夾角的余弦值．18．(本小題滿分12分)如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.(1)設(shè)eq\o(CD,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up8(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(A1C,\s\up8(→))；(2)已知O為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，求CO的長．19．(本小題滿分12分)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分別為D1D、B1B上的點(diǎn)，且DE＝B1F＝1.(1)求證：BE⊥平面ACF；(2)求點(diǎn)E到平面ACF的距離．20.(本小題滿分12分)如圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP與CC′所成角的大??；(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小．21．(本小題滿分12分)如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2eq\r(2)，M為BC的中點(diǎn)．(1)證明：AM⊥PM；(2)求平面PAM與平面DAM的夾角的大??；(3)求點(diǎn)D到平面AMP的距離．22．(本小題滿分12分)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的eq\r(2)倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．(1)求證：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC與平面ACD的夾角大??；(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．章末綜合測評(píng)(一)空間向量與立體幾何（答案版）(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－3,4,0)與點(diǎn)B(2，－1,6)的距離是()A．2eq\r(43)B．2eq\r(21)C．9D．eq\r(86)D[由條件知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(5，－5,6)，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(25＋25＋36)＝eq\r(86).故選D.]2．在空間四邊形ABCD中，若向量eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3,5,2)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(－7，－1，－4)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up8(→))的坐標(biāo)為()A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)B[取AC中點(diǎn)M，連接ME，MF(圖略)，則eq\o(ME,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)，1))，eq\o(MF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－\f(1,2)，－2))，所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(MF,\s\up8(→))－eq\o(ME,\s\up8(→))＝(－2，－3，－3)，故選B.]3．A，B，C不共線，對空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up8(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)()A．不共面B．共面C．不一定共面D．無法判斷是否共面B[由于eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴P、A、B、C四點(diǎn)共面．故選B.]4．已知平面α的一個(gè)法向量為n＝(1，－1,0)，則y軸與平面α所成的角的大小為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)B[y軸的一個(gè)方向向量s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝eq\f(n·s,|n|·|s|)＝－eq\f(\r(2),2)，即y軸與平面α所成角的正弦值是eq\f(\r(2),2)，故其所成的角的大小是eq\f(π,4).故選B.]5.長方體ABCD-A1B1C1D1中AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(30),10)C．eq\f(2\r(15),10) D．eq\f(3\r(10),10)B[建立坐標(biāo)系如圖所示．則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，eq\o(BC1,\s\up8(→))＝(－1,0,2)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝(－1,2,1)．cos〈eq\o(BC1,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up8(→))·\o(BC1,\s\up8(→)),|\o(AE,\s\up8(→))|·|\o(BC1,\s\up8(→))|)＝eq\f(\r(30),10).所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).故選B.]6．空間直角坐標(biāo)系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．無法確定A[∵空間直角坐標(biāo)系中，A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－2，－2,2)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝－2eq\o(CD,\s\up8(→))，∴直線AB與CD平行．故選A.]7.如圖是一平行六面體ABCD-A1B1C1D1，E為BC延長線一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(CE,\s\up8(→))，則eq\o(D1E,\s\up8(→))＝()A．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))B．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))D．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))B[取BC的中點(diǎn)F，連接A1F(圖略)，則A1D1FE，所以四邊形A1D1EF是平行四邊形，所以A1FD1E，所以eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\o(D1E,\s\up8(→)).又eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝－eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))，所以eq\o(D1E,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))，故選B.]8.如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF.當(dāng)A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面時(shí)，平面A1DE與平面C1DF所成夾角的余弦值為()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2\r(6),5)B[以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知當(dāng)E(6,3,0)、F(3,6,0)時(shí)，A1、E、F、C1共面，設(shè)平面A1DE的法向量為n1＝(a，b，c)，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up8(→))·n1＝6a＋3b＝0,\o(DA1,\s\up8(→))·n1＝6a＋6c＝0))可取n1＝(－1,2,1)，同理可得平面C1DF的一個(gè)法向量為n2＝(2，－1,1)，故平面A1DE與平面C1DF的夾角的余弦值為eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(1,2).故選B.]二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結(jié)論中正確的有()A．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))與eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))是一對相反向量B．eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))與eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))是一對相反向量C．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))與eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→))是一對相反向量D．eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→))是一對相反向量ACD[∵O為正方體的中心，∴eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\o(OC1,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))＝－eq\o(OB1,\s\up8(→))，故eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝－(eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→)))，同理可得eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→)))，故eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→)))，∴AC正確；∵eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))＝eq\o(D1A1,\s\up8(→))，∴eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))與eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))是兩個(gè)相等的向量，∴B不正確；∵eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→))＝eq\o(C1C,\s\up8(→))＝－eq\o(AA1,\s\up8(→))，∴eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝－(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→)))，∴D正確．]10．在以下命題中，不正確的命題有()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件B．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λbC．對空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))－2eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底ABC[A.|a|－|b|＝|a＋b|?a與b共線，但a與b共線時(shí)|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正確；需為非零向量，故不正確；C.因?yàn)?－2－1≠1，由共面向量定理知，不正確；D.由基底的定義知正確．]11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則與直線CE不垂直的有()A．AC B．BDC．A1D D．A1AACD[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1.則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(A1D,\s\up8(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(A1A,\s\up8(→))＝(0,0，－1)．∵eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋0＝－1≠0，eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋0＝0，eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(A1D,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)＋0－1＝－eq\f(3,2)≠0.eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(A1A,\s\up8(→))＝0＋0－1＝－1≠0.∴與CE不垂直的有AC、A1D、A1A，故選ACD.]12.如圖，已知E是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D到面AED1的距離為d，直線DE與面AED1所成的角為θ，面AED1與面AED的夾角為α，則()A．DF⊥面AED1B．d＝eq\f(4,3)C．sinθ＝eq\f(4\r(5),15)D．cosα＝eq\f(2,3)BCD[以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(0,0,0)，E(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，F(xiàn)(2,0,1)，所以eq\o(AE,\s\up8(→))＝(2,1,0)，eq\o(AD1,\s\up8(→))＝(0,2,2)，eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，－1,0)，eq\o(DF,\s\up8(→))＝(2，－2,1)．設(shè)平面AED1的法向量為m＝(x，y，z)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up8(→))＝0,m·\o(AD1,\s\up8(→))＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0,2y＋2z＝0，))令x＝1，則y＝－2，z＝2，故m＝(1，－2,2)．∵eq\o(DF,\s\up8(→))＝(2，－2,1)，不存在λ使m＝λeq\o(DF,\s\up8(→))，即eq\o(DF,\s\up8(→))與m不共線，∴DF與面AED1不垂直故A不正確；又∵eq\o(DD1,\s\up8(→))＝(0,0,2)，∴d＝eq\f(\o(DD1,\s\up8(→))·m,|m|)＝eq\f(4,\r(1＋4＋4))＝eq\f(4,3)，故B正確；又eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，－1,0)．∴sinθ＝|cos〈eq\o(DE,\s\up8(→))，m〉|＝eq\f(|2＋2＋0|,\r(1＋4＋4)\r(4＋1))＝eq\f(4\r(5),15).∴C正確；又eq\o(AA1,\s\up8(→))＝(0,0,2)為平面AED的一個(gè)法向量，∴cosα＝eq\f(|\o(AA1,\s\up8(→))·m|,|\o(AA1,\s\up8(→))||m|)＝eq\f(4,2×3)＝eq\f(2,3)，故D正確，故應(yīng)選B、C、D.]三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．已知向量e1，e2，e3是三個(gè)不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，則λ＝________.1[因?yàn)閍，b，c共面，所以存在實(shí)數(shù)m，n，使得c＝ma＋nb，則11e1＋5e2＋λe3＝(2m－n)e1＋(－m＋4n)e2＋(m－2n)e3，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－n＝11,－m＋4n＝5,m－2n＝λ))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝7,n＝3,λ＝1)).]14.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，則E、F兩點(diǎn)間的距離為________．eq\f(\r(6),2)[以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))所在方向?yàn)閤、y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，由條件知E(1,1，eq\r(2))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(\r(2),2)))∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，－\f(\r(2),2)))，∴E、F兩點(diǎn)間的距離為|eq\o(EF,\s\up8(→))|＝eq\r(0＋1＋\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2).]15．已知正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1邊長為1，下底面ABCD邊長為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為________．eq\f(1,4)[設(shè)上、下底面中心分別為O1、O，則OO1⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，直線BD、AC、OO1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2eq\r(2)，A1C1＝B1D1＝eq\r(2)，∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO為側(cè)棱與底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，設(shè)棱臺(tái)高為h，則tan60°＝eq\f(h,\r(2)－\f(\r(2),2))，∴h＝eq\f(\r(6),2)，∴A(0，－eq\r(2)，0)，D1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0，\f(\r(6),2)))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(6),2)))，C(0，eq\r(2)，0)，∴eq\o(AD1,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\r(2)，\f(\r(6),2)))，eq\o(B1C,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\r(2)，－\f(\r(6),2)))，∴cos〈eq\o(AD1,\s\up8(→))·eq\o(B1C,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up8(→))·\o(B1C,\s\up8(→)),|AD1|·|B1C|)＝eq\f(1,4)，故異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為eq\f(1,4).]16．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，點(diǎn)A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．則|2a＋b|＝________；在直線AB上，存在一點(diǎn)E，使得eq\o(OE,\s\up8(→))⊥b，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________．(第一空2分，第二空3分)5eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))[2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋－52＋52)＝5eq\r(2).又eq\o(OE,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，由eq\o(OE,\s\up8(→))⊥b，則eq\o(OE,\s\up8(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5)，因此，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).]四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)a＋c與b＋c夾角的余弦值．[解](1)因?yàn)閍∥b，所以eq\f(x,－2)＝eq\f(4,y)＝eq\f(1,－1)，解得x＝2，y＝－4，則a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，設(shè)a＋c與b＋c夾角為θ，因此cosθ＝eq\f(5－12＋3,\r(38)·\r(38))＝－eq\f(2,19).18．(本小題滿分12分)如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.(1)設(shè)eq\o(CD,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up8(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(A1C,\s\up8(→))；(2)已知O為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，求CO的長．[解](1)由eq\o(CD,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up8(→))＝c，得eq\o(CA1,\s\up8(→))＝a＋b＋c，所以eq\o(A1C,\s\up8(→))＝－a－b－c.(2)O為四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，即O為線段A1C的中點(diǎn)．由已知條件得|a|＝|b|＝2，|c|＝3，a·b＝0，〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°.由(1)得eq\o(CA1,\s\up8(→))＝a＋b＋c，則|eq\o(CA1,\s\up8(→))|2＝eq\o(CA1,\s\up8(→))2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝29.所以A1C的長為eq\r(29)，所以CO的長為eq\f(\r(29),2).19．(本小題滿分12分)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分別為D1D、B1B上的點(diǎn)，且DE＝B1F＝1.(1)求證：BE⊥平面ACF；(2)求點(diǎn)E到平面ACF的距離．[解](1)證明：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．∴eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－2,2,0)、eq\o(AF,\s\up8(→))＝(0,2,4)、eq\o(BE,\s\up8(→))＝(－2，－2,1)、eq\o(AE,\s\up8(→))＝(－2,0,1)．∵eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝0，∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.∴BE⊥平面ACF.(2)由(1)知，eq\o(BE,\s\up8(→))為平面ACF的一個(gè)法向量，∴點(diǎn)E到平面ACF的距離d＝eq\f(|\o(AE,\s\up8(→))·\o(BE,\s\up8(→))|,|\o(BE,\s\up8(→))|)＝eq\f(5,3).故點(diǎn)E到平面ACF的距離為eq\f(5,3).20.(本小題滿分12分)如圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP與CC′所成角的大??；(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大?。甗解](1)如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD′分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA＝1.則eq\o(DA,\s\up8(→))＝(1,0,0)，eq\o(CC′,\s\up8(→))＝(0,0,1)．連接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延長DP交B′D′于H.設(shè)eq\o(DH,\s\up8(→))＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))〉＝60°，由eq\o(DA,\s\up8(→))·eq\o(DH,\s\up8(→))＝|eq\o(DA,\s\up8(→))||eq\o(DH,\s\up8(→))|cos〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))〉，可得2m＝eq\r(2m2＋1).解得m＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\o(DH,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).因?yàn)閏os〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))〉＝eq\f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×0＋1×1,\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),2)，所以〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))〉＝45°，即DP與CC′所成的角為45°.(2)平面AA′D′D的一個(gè)法向量是eq\o(DC,\s\up8(→))＝(0,1,0)，因?yàn)閏os〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×1＋1×0,1×\r(2))＝eq\f(1,2)，所以〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))〉＝60°，可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.21．(本小題滿分12分)如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2eq\r(2)，M為BC的中點(diǎn)．(1)證明：AM⊥PM；(2)求平面PAM與平面DAM的夾角的大??；(3)求點(diǎn)D到平面AMP的距離．[解](1)證明：以D為原點(diǎn)，分別以直線DA，DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意，可得D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，C(0,2,0)，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)．eq\o(PM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up8(→))＝(－eq\r(2)，2,0)，∴eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，即eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(AM,\s\up8(→))，∴AM⊥PM.(2)設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAM的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PM,\s\up8(→))＝0，,n·\o(AM,\s\up8(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋y－\r(3)z＝0，,－\r(2)x＋2y＝0，))取y＝1，得n＝(eq\r(2)，1，eq\r(3))．取p＝(0,0,1)，顯然p為平面ABCD的一個(gè)法向量，∴cos〈n，p〉＝eq\f(n·p,|n||p|)＝eq\f(\r(3),\r(6))＝eq\f(\r(2),2).結(jié)合圖形可知，平面PAM與平面DAM的夾角為45°.(3)設(shè)點(diǎn)D到平面AMP的距離為d，由(2)可知n＝(e