隨機(jī)抽樣【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修講義

隨機(jī)抽樣第九章統(tǒng)計(jì)隨機(jī)抽樣第九章統(tǒng)計(jì)了解用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)2、掌握全面調(diào)查與抽樣調(diào)查3、理解分層抽樣的步驟探索新知探索新知一、隨機(jī)抽樣

像人口普查那樣，對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都驚醒調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查.在一個(gè)調(diào)查中，我們把調(diào)查對(duì)象的全體成為總體，組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象成為個(gè)體.

像這樣，根據(jù)一定目的，從總體中抽取-一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.我們把從總體中抽

取的那部分個(gè)體稱為樣本，

樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本量.調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測(cè)數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)稱樣本數(shù)據(jù).

二、簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣

一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N

(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n

(1≤n<N)個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)人樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.1、抽簽法（1）概念先給總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，然后把所有編號(hào)寫(xiě)在外觀、質(zhì)地等無(wú)差別的小紙片（也可以是卡片、小球等）上作為號(hào)簽，并將這些小紙片放在一個(gè)不透明的盒里，充分?jǐn)嚢?，最后從盒中不放回地逐個(gè)抽取號(hào)簽，知道抽足樣本所需要的個(gè)數(shù)（2）優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易行，當(dāng)總體較小時(shí)，號(hào)簽攪拌均勻很容易，個(gè)體有均等的機(jī)會(huì)被抽取，從而能保證樣本的代表性缺點(diǎn)：當(dāng)總體較大時(shí)，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，且號(hào)簽很難被攪拌均勻，產(chǎn)生的樣本代表性差，導(dǎo)致抽樣的不公平2、隨機(jī)數(shù)法（1）概念對(duì)總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生編號(hào)范圍內(nèi)的整體隨機(jī)數(shù)，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本，重復(fù)上述過(guò)程，知道抽足樣本所需要的個(gè)數(shù)，如果生產(chǎn)的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，即統(tǒng)一編號(hào)被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號(hào)并產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號(hào)個(gè)數(shù)等于樣本所需要的個(gè)數(shù)（2）優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易行，它很好的解決了抽簽法中遇到的當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)制簽難、號(hào)簽很難被攪拌均勻的問(wèn)題缺點(diǎn)：當(dāng)總體較大時(shí)，需要的樣本容量較大時(shí)，不太方便概念辨析一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為，,

.，，則稱

==

為總體均值，又稱總體平均數(shù)，如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記

為，,

...，其中;出現(xiàn)的頻數(shù):

(i=1,

2,

....k)，則總體均值還可以寫(xiě)成加權(quán)平均數(shù)的形式

=

如果從總體中抽取-一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別

為，，...

，則稱

為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)

為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù).

三、分層隨機(jī)抽樣

一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣,每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.概念辨析思考1思考1

1.某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450～950分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．（參考公式：K2=nP(k（1）求a的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在[550,650)，[750,850)內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有%％的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生

女生

合計(jì)

【答案】（1）解：由題意知100×(0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001)=1，解得a=0.0035，樣本平均數(shù)為x=500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10=670中位數(shù)650，眾數(shù)600（2）解：由題意，從[550,650)中抽取7人，從[750,850)中抽取3人，隨機(jī)變量x的所有可能取值有0，1，2，3．P(x=k)=C所以隨機(jī)變量X的分布列為：P0123X3563211隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=（3）解：由題可知，樣本中男生40人，女姓60人，屬于“高分選手”的25人，其中女姓10人；得出以下2×2列聯(lián)表；

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生152540女生105060合計(jì)2575100K2所以有%％的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性別有關(guān)【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【解析】(1)由已知條件結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)的公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

(2)由題意，從[550,650)中抽取7人，從[750,850)中抽取3人，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，確定X的取值，求對(duì)應(yīng)概率即可得到分布列，求出期望即可；

(3)由題可知，樣本中男生40人，女生60人屬于“高消費(fèi)群”的25人，其中女生10人，列出列聯(lián)表計(jì)算出K2=查臨界值表判斷即可.思考2思考22.某家水果店的店長(zhǎng)為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續(xù)120天蘋果的日銷售量(單位：kg)，并繪制頻率分布直方圖如下：（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該水果店蘋果日銷售量的眾數(shù)和平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)（2）一次進(jìn)貨太多，水果會(huì)變得不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長(zhǎng)希望每天的蘋果盡量新鮮，又能80%地滿足顧客的需求(在10天中，大約有8天可以滿足顧客的需求).請(qǐng)問(wèn)每天應(yīng)該進(jìn)多少千克蘋果？(精確到整數(shù)位).【答案】（1）解：如圖示：區(qū)間[80,90)頻率最大，所以眾數(shù)為85，平均數(shù)為：x=(65×0.0025+75×0.01+85×0.04+95×0.035+105×0.01+115×0.0025)×10=89.75.（2）解：日銷售量[60，90)的頻率為0.525<0.8，日銷量[60，100)的頻率為0.875>0.8，故所求的量位于[90,100).由0.8-0.025-0.1-0.4=0.275,得90+0.275故每天應(yīng)該進(jìn)98千克蘋果【考點(diǎn)】頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，隨機(jī)抽樣和樣本估計(jì)總體的實(shí)際應(yīng)用【解析】（1）利用已知條件結(jié)合頻率分布直方圖估計(jì)出眾數(shù)和平均數(shù)。

（2）利用已知條件結(jié)合頻率分布直方圖中各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，得出日銷售量[60，90)的頻率為0.525<0.8，日銷量[60，100)的頻率為0.875>0.8，故所求的量位于[90,100)，由0.8-0.025-0.1-0.4=0.275,得出每天應(yīng)該進(jìn)的蘋果的重量。思考3思考3

3.為了樹(shù)立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，加強(qiáng)環(huán)境的治理和生態(tài)的修復(fù)，某市在其轄區(qū)內(nèi)某一個(gè)縣的27個(gè)行政村中各隨機(jī)選擇農(nóng)田土壤樣本一份，對(duì)樣本中的鉛、錦、銘等重金屬的含量進(jìn)行了檢測(cè)，并按照國(guó)家土壤重金屬污染評(píng)價(jià)級(jí)標(biāo)準(zhǔn)（清潔、尚清潔、輕度污染、中度污染、重度污染）進(jìn)行分級(jí)，繪制了如圖所示的條形圖（1）從輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村中按分層抽樣的方法抽取6個(gè)，求在輕度、中度、重度污染的行政村中分別抽取的個(gè)數(shù)；（2）規(guī)定：輕度污染記污染度為1，中度污染記污染度為2，重度污染記污染度為3．從（1）中抽取的6個(gè)行政村中任選3個(gè)，污染度的得分之和記為X，求X的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）解：輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村共9+6+3=18個(gè)，所以從輕度污染的行政村中抽取618×9=3個(gè)，從中度污染的行政村中抽取618（2）解：X的所有可能取值為3，4，5，6，7．P(X=3)=CP(X=4)=CP(X=5)=CP(X=6)=CP(X=7)=C所以X的分布列為X34567P120310310310120所以E(X)=3×1【考點(diǎn)】分層抽樣方法，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變量的期望與方差【解析】(1)由分層抽樣的定義代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

(2)根據(jù)題意即可得出X的取值，再由概率的公式求出對(duì)應(yīng)的X的概率由此得到X的分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出答案即可。思考4思考44.一機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了某小區(qū)100人的月收入情況，將所得數(shù)據(jù)按[1000,2000)，[2000,3000)，[3000,4000)，（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）根據(jù)題目分組情況，按分層抽樣的方法在[1000,2000)，[5000,6000)，【答案】（1）解：設(shè)數(shù)據(jù)在[2000,3000m=1-1000×(0.0001+0.00025+0.00025+0.00015+0.00005)=0.2

易知中位數(shù)在[3000,4000設(shè)中位數(shù)為x，則0.0001×1000+0.0002×1000+0.00025×(x-3000)=0.5，解得x=3800．（2）解：收入在[1000,2000)，[5000,6000所以按分層抽樣的方法在各組抽取的人數(shù)分別2，3，1．記收入在[1000,2000)的2人分別為a1，a2，收入在[5000,6000)的3人分別為b1，b通過(guò)列舉法可得從這6人中抽取2人的取法有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3其中至少有一人收入在[5000,6000)的取法有(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3所以至少有一人收在[5000,6000)概率為【考點(diǎn)】頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【解析】（1）設(shè)數(shù)據(jù)在

[2000,3000m=1-1000×(0.0001+0.00025+0.00025+0.00015+0.00005)=0.2，即可求出中位數(shù)；

（2）通過(guò)列舉法求出概率。

1.中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦，是全國(guó)中學(xué)生級(jí)別最高、規(guī)模最大、最具影響力的數(shù)學(xué)競(jìng)賽.某重點(diǎn)高中為參加中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克做準(zhǔn)備，對(duì)該校數(shù)學(xué)集訓(xùn)隊(duì)進(jìn)行一次選拔賽，所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，則該集訓(xùn)隊(duì)考試成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（

）A.

85，75

B.

85，76

C.

74，76

D.

75，772.在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，則乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（

）A.

12

B.

10

C.

8

D.

63.原油作為“工業(yè)血液”?“黑色黃金”，其價(jià)格的波動(dòng)牽動(dòng)著整個(gè)化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟(jì).小李在某段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，這段時(shí)間燃油價(jià)格有升有降，現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.

第一種方案更劃算

B.

第二種方案更劃算

C.

兩種方案一樣

D.

無(wú)法確定4.藝術(shù)體操比賽共有7位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí),從7個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評(píng)分．5個(gè)有效評(píng)分與7個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是(

)A.

中位數(shù)

B.

平均數(shù)

C.

方差

D.

極差參考答案1【答案】B【解析】解：由莖葉圖知，出現(xiàn)的數(shù)據(jù)最多的是85，故眾數(shù)為85；由于數(shù)據(jù)總數(shù)為1