第三章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

流體力學(xué)建筑與環(huán)境工程系王宏燕01052334020(o)wanghongyan@第三章流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

熟悉流體流動(dòng)的基本概念了解連續(xù)性微分方程、實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程；牢固掌握，并靈活應(yīng)用恒定總流連續(xù)性方程與實(shí)際總流的能量方程。

學(xué)習(xí)要求第三章流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)1、連續(xù)性方程的應(yīng)用2、伯努利方程的的應(yīng)用3、理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉方程）

本章難點(diǎn)第三章流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法及質(zhì)點(diǎn)加速度的意義§3-2流體流動(dòng)的基本概念§3-3流體流動(dòng)的連續(xù)性方程§3-4理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程§3-5穩(wěn)定流動(dòng)的能量衡算——伯努利方程及應(yīng)用一、拉格朗日（Lagrange）法1、基本思想：跟蹤每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)全過(guò)程，記錄它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中的各物理量及其變化。2、獨(dú)立變量：（a,b,c,t）——區(qū)分流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志3、質(zhì)點(diǎn)物理量：B(a,b,c,t)，如：4、質(zhì)點(diǎn)位移:5、速度:6、加速度：§3-1描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法一、拉格朗日（Lagrange）法任意質(zhì)點(diǎn)的位置：

拉格朗日變量一、拉格朗日（Lagrange）法

速度：

加速度：二、歐拉法1、定義——以流場(chǎng)中空間的位置（即坐標(biāo)點(diǎn)）為出發(fā)點(diǎn)，描述這些位置上的流體參量對(duì)時(shí)間的分布規(guī)律。類(lèi)似于電場(chǎng)，磁場(chǎng)的描述。

基本思想：考察空間每一點(diǎn)上的物理量及其變化。所謂空間一點(diǎn)上的物理量是指占據(jù)該空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的物理量2.歐拉自變量----空間位置的標(biāo)志:

歐拉自變量----空間位置的標(biāo)志，即空間坐標(biāo)。直角坐標(biāo)系中，為x，y，z

任意時(shí)刻，物理量的空間分布規(guī)律寫(xiě)作

當(dāng)參數(shù)x，y，z不變而改變時(shí)間t，則表示空間某固定點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。當(dāng)參數(shù)t不變，而改變x，y，z，則代表某一時(shí)刻，空間各點(diǎn)的速度分布二、歐拉法3、速度表達(dá)式，即速度場(chǎng)

u=u(x，y，z，t)

（3-1）v=v(x，y，z，t)w=w(x，y，z，t)式中，u，v，w分別表示速度矢量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量：其他物理量如壓強(qiáng)和密度的表示——二、歐拉法4、加速度的表示加速度的定義——x=x(t)y=y(t)z=z(t)的意義流體質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)軌跡的三個(gè)速度分量對(duì)速度表達(dá)式（3-1）式求全導(dǎo)數(shù)，得到加速度公式：

x，y，z有雙重意義，一方面它代表流場(chǎng)的空間坐標(biāo)，另一方面它代表流體質(zhì)點(diǎn)在空間的位移。二、歐拉法4-1用歐拉法求得的流體質(zhì)點(diǎn)的加速度由兩部分組成——4-2當(dāng)?shù)丶铀俣龋河捎谀骋豢臻g點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化而產(chǎn)生的，即式中等式右端的第一項(xiàng)。4-3遷移加速度：某一瞬時(shí)由于流體質(zhì)點(diǎn)的速度隨空間點(diǎn)的變化稱(chēng)為遷移加速度，即式中等式右端的后三項(xiàng)。舉例說(shuō)明歐拉法加速度說(shuō)明中間有收縮形的變截面管道內(nèi)的流動(dòng)不可壓縮流體流過(guò)一個(gè)中間有收縮形的變截面管道，截面2比截面1小，則截面2的速度就要比截面1的速度大。所以當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)從1點(diǎn)流到2點(diǎn)時(shí)，由于截面的收縮引起速度的增加，從而產(chǎn)生了遷移加速度，如果在某一段時(shí)間內(nèi)流進(jìn)管道的流體輸入量有變化（增加或減少），則管道中每一點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度將相應(yīng)發(fā)生變化（增大或減少），從而產(chǎn)生了當(dāng)?shù)丶铀俣取?3

描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法比較一、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)二、跡線與流線三、流管與流束四、當(dāng)量直徑五、流量及平均流速六、一維、二維和三維流動(dòng)七、緩變流與急變流§3-2流體流動(dòng)的基本概念

一、定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)根據(jù)流體的流動(dòng)參數(shù)是否隨時(shí)間而變化，可將流體的流動(dòng)分為定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)。速度與加速度表達(dá)式（a）定常流動(dòng)（b）非定常流動(dòng)

二、跡線與流線1、跡線——跡線是流場(chǎng)中某一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。跡線是流體運(yùn)動(dòng)的一種幾何表示，跡線的研究是屬于拉格朗日法的內(nèi)容。跡線的數(shù)學(xué)表達(dá)式二、跡線與流線2、流線流線是某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中所作的一條曲線，在這條曲線上的各流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向都與該曲線相切，因此流線是同一時(shí)刻，不同流體質(zhì)點(diǎn)所組成的曲線流線的引入是歐拉法的研究特點(diǎn)。二、跡線與流線3、流線的基本特性在定常流動(dòng)時(shí)，流線和跡線相重合；而在非定常流動(dòng)時(shí)，流線和跡線不相重合。通過(guò)某一空間點(diǎn)在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。流線密集的地方，表示流場(chǎng)中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。三、流管與流束1、流管——在流場(chǎng)中任取一條不是流線的封閉曲線，通過(guò)曲線上各點(diǎn)作流線，這些流線組成一個(gè)管狀表面，稱(chēng)之為流管。2、流束——過(guò)流管橫截面上各點(diǎn)作流線，則得到充滿(mǎn)流管的一束流線簇，稱(chēng)為流束。3、有效截面——在流束中與各流線相垂直的橫截面稱(chēng)為有效截面。流線相互平行時(shí)，有效截面是平面。流線不平行時(shí)，有效截面是曲面。4、微元流管——有效截面面積為無(wú)限小的流束和流管，稱(chēng)為微元流束和微元流管。在每一個(gè)微元流束的有效截面上，各點(diǎn)的速度可認(rèn)為是相同的。5、總流——無(wú)數(shù)微元流束的總和稱(chēng)為總流。根據(jù)總流的邊界情況，可以把總流流動(dòng)分為三類(lèi)：（1）有壓流動(dòng)總流的全部邊界受固體邊界的約束，即流體充滿(mǎn)流道，如壓力水管中的流動(dòng)。（2）無(wú)壓流動(dòng)總流邊界的一部分受固體邊界約束，另一部分與氣體接觸，形成自由液面，如明渠中的流動(dòng)。（3）射流總流的全部邊界均無(wú)固體邊界約束，如噴嘴出口的流動(dòng)。三、流管與流束四、當(dāng)量直徑1、濕周——在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長(zhǎng)度稱(chēng)為濕周，用符號(hào)χ表示。2、水力半徑——總流的有效截面面積與濕周之比稱(chēng)為水力半徑。3、當(dāng)量直徑——水力半徑的4倍。五、流量及平均流速1、體積流量——單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)有效截面的流體體積稱(chēng)為體積流量，以qv表示。其單位為m3/s、m3/h等。2、質(zhì)量流量——單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)有效截面的流體質(zhì)量稱(chēng)為質(zhì)量流量,以qm表示，其單位為kg/s、t/h等。3、由于微元流束有效截面上各點(diǎn)的流速V是相等的，所以通過(guò)微元流束有效截面積的體積流量dqv和質(zhì)量流量dqm分別為：

dqv=VdAdqm=ρVdA工程中引入六、一維、二維和三維流動(dòng)按照流動(dòng)參數(shù)與空間坐標(biāo)變量個(gè)數(shù)間的關(guān)系，將流動(dòng)分為一維、二維和三維。七、緩變流與急變流根據(jù)流場(chǎng)中同一條流線各空間點(diǎn)上的流速是否相同，可將總流分為均勻流和非均勻流。若相同則稱(chēng)為均勻流，否則稱(chēng)為非均勻流。非均勻流按流速的大小和方向沿流線變化的緩、急程度又可分為緩（漸）變流和急變流兩種流速的大小和方向沿流線逐漸改變的非均勻流，稱(chēng)為緩（漸）變流。方向沿流線急劇變化的非均勻流，稱(chēng)為急變流。急變流緩變流緩變流緩變流緩變流緩變流急變流急變流急變流急變流圖緩變流和急變流27均勻流過(guò)流斷面上的流速分布服從水靜力學(xué)規(guī)律：均勻流過(guò)流斷面上的壓強(qiáng)分布28均勻流過(guò)流斷面上的壓強(qiáng)分布（1）均勻流同一過(guò)流斷面上測(cè)壓管高度相同。（2）不同過(guò)流斷面上測(cè)壓管高度不同。（粘性阻力作負(fù)功，使下游斷面水頭降低。29均勻流與恒定流的區(qū)別

恒定流——當(dāng)?shù)丶铀俣鹊扔诹?；均勻流——遷移加速度等于零?！?-3流體流動(dòng)的連續(xù)性方程

一、微分形式的連續(xù)性方程二、一維總流的連續(xù)性方程圖流場(chǎng)中的微元平行六面體一、微分形式的連續(xù)性方程控制體是流場(chǎng)中劃定的空間，形狀、位置固定不變，流體可不受影響地通過(guò)。一、微分形式的連續(xù)性方程1、微元六面體各表面上的參數(shù)u,v,w,ρ均為空間坐標(biāo)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去高階無(wú)窮小一、微分形式的連續(xù)性方程2、dt時(shí)間內(nèi)，流入和流出微元六面體的流體質(zhì)量dt時(shí)間內(nèi)從右邊微元面積dydz流出的流體質(zhì)量dt時(shí)間內(nèi)沿x軸方向流體質(zhì)量的變化

同理可得，在dt時(shí)間內(nèi)沿y軸和z軸方向流體質(zhì)量的變化分別為：

因此，在dt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)微元六面體的流體質(zhì)量總變化為

§3-3一、微分形式的連續(xù)性方程3、微元六面體內(nèi)流體質(zhì)量的變化設(shè)開(kāi)始瞬時(shí)流體的密度為ρ，經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后的密度為在dt時(shí)間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為流體是連續(xù)介質(zhì)，質(zhì)點(diǎn)間無(wú)空隙，根據(jù)質(zhì)量守恒原理，dt時(shí)間控制體的總凈流出/入質(zhì)量，必等于控制體內(nèi)由于密度變化而減少/增加的質(zhì)量。一、微分形式的連續(xù)性方程

4、連續(xù)性方程的幾種形式可壓縮流體非定常三維流動(dòng)可壓縮流體定常三維流動(dòng)不可壓縮流體三維流動(dòng)——物理意義是：在同一時(shí)間內(nèi)通過(guò)流場(chǎng)中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說(shuō)，在同一時(shí)間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。不可壓縮流體二維流動(dòng)二、一維總流的連續(xù)性方程圖3-13流場(chǎng)中的微元流束§3-31、微元流束的連續(xù)性方程

假定——流體的運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的、定常的，則微元流束的形狀不隨時(shí)間而改變。又根據(jù)流管的特性，流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過(guò)流管表面，因此在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)微元流管的任一有效截面的流體質(zhì)量都應(yīng)相等，即

ρ1V1dA1=ρ2V2dA2=ρVdA=常數(shù)

dA1

、dA2——分別為1、2兩個(gè)有效截面的面積，m2

V1

、V2——分別為dA1和dA2上的流速，也稱(chēng)為真實(shí)流速，m/s；

ρ1、ρ2—分別為1和2處的流體密度，kg/m3§3-32、總流的連續(xù)性方程對(duì)于由無(wú)限多微元流束所組成的總流（例如流體在管道中的流動(dòng)），可對(duì)上式進(jìn)行積分得一維流動(dòng)積分形式總流的連續(xù)性方程可壓縮流體一維定常流動(dòng)的總流連續(xù)性方程不可壓縮流體一維定常流動(dòng)的總流連續(xù)性方程?！痪S總流在定常流動(dòng)條件下，沿流動(dòng)方向的體積流量為一個(gè)常數(shù)，平均流速與有效截面面積成反比，即有效截面面積大的地方平均流速小，有效截面面積小的地方平均流速就大?！?-33、有分流和合流時(shí)的連續(xù)性方程

對(duì)于n個(gè)入口和m個(gè)出口的管道，不可壓縮流體的連續(xù)性方程為：

流向分點(diǎn)的流量之和等于自分合點(diǎn)流入的流量之和。

工程上常遇到的分流和合流情況是流體通過(guò)三通和四通時(shí)的流動(dòng)。對(duì)不可壓流體:

分流:

合流:

§3-3

【例3-1】假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動(dòng)，其速度分布規(guī)律為U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動(dòng)是否連續(xù)。

【解】根據(jù)不可壓縮流體三維流動(dòng)的連續(xù)性方程

所以故此流動(dòng)不連續(xù)。不滿(mǎn)足連續(xù)性方程的流動(dòng)是不存在的§3-3

【例3-2】有一不可壓縮流體平面流動(dòng)，其速度分布規(guī)律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動(dòng)是否連續(xù)。

【解】根據(jù)不可壓縮流體二維流動(dòng)的連續(xù)性方程所以

故此流動(dòng)是連續(xù)的?！?-3

【例3-3】有一輸水管道，如圖3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。測(cè)得截面1-1的水流平均流速m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，試求截面2-2處的平均流速為多少？

【解】由不可壓縮流體一維定常流動(dòng)的總流連續(xù)性方程得

(m/s)§3-3§3-4理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程

在流動(dòng)的理想流體中，取出一個(gè)微元平行六面體的微團(tuán)，它的各邊長(zhǎng)度分別為dx、dy和dz，如圖所示。由于是理想流體，沒(méi)有黏性，運(yùn)動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生內(nèi)摩擦力，所以作用在流體微團(tuán)上的外力只有質(zhì)量力和壓強(qiáng)。該壓強(qiáng)與靜壓強(qiáng)一樣，垂直向內(nèi)，作用在流體微團(tuán)的表面上。假設(shè)六面體形心的坐標(biāo)為x、y、z，壓強(qiáng)為p。先分析x方向的運(yùn)動(dòng)，在垂直于x軸的左右兩個(gè)平面中心點(diǎn)上的壓強(qiáng)各等于

圖3-15推導(dǎo)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程用圖

設(shè)在六面體形心上的單位質(zhì)量的質(zhì)量力分量為fx、fy和fz

，則作用在微元平行六面體的流體微團(tuán)上的質(zhì)量力在x軸方向的分量為fxρdxdydz

又流體微團(tuán)的加速度在x軸上的投影為，則根據(jù)牛頓第二定律得x軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程

各項(xiàng)除以流體微團(tuán)的流體質(zhì)量ρdxdydz，化簡(jiǎn)后得：

同理歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程加速度寫(xiě)成展開(kāi)式，可將歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程寫(xiě)成如下形式

在一般情況下，作用在流體上的質(zhì)量力fx、fy和fz

是已知的，對(duì)理想不可壓縮流體其密度ρ為一常數(shù)。在這種情況下，方程中有四個(gè)未知數(shù)u、v、w和p，而式方程組中有三個(gè)方程，再加上不可壓縮流體的連續(xù)性方程，就從理論上提供了求解這四個(gè)未知數(shù)的可能性。483-5理想流體微元流束的伯努利方程

一、理想流體微元流束的伯努利方程1、方程的條件理想流體不可壓縮流體沿同一條流線（或微元流束）流體受到的質(zhì)量力僅為重力2、推導(dǎo)過(guò)程50

最后得到：一、理想流體微元流束的伯努利方程51二、理想流體微元流束伯努利方程的物理意義和幾何意義1、物理意義Z——為單位重量流體相對(duì)于基準(zhǔn)面所具有的位勢(shì)能；P/γ——為單位重量流體所具有的壓強(qiáng)勢(shì)能；u2/2g為單位重量流體所具有的動(dòng)能；H

為單位重量流體所具有的機(jī)械能。1、物理意義理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動(dòng)時(shí)，沿同一流線（或微元流束）上各點(diǎn)的單位重量流體所具有的位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能之和保持不變，即機(jī)械能為一常數(shù)。位勢(shì)能、壓強(qiáng)勢(shì)能和動(dòng)能三者能量之間可以相互轉(zhuǎn)換伯努利方程是能量守恒定律在流體力學(xué)中的表現(xiàn)形式。二、理想流體微元流束伯努利方程的物理意義和幾何意義532、幾何意義

位置水頭速度水頭壓強(qiáng)水頭總水頭測(cè)壓管水頭二、理想流體微元流束伯努利方程的物理意義和幾何意義542、幾何意義

理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動(dòng)時(shí)，沿同一流線（或微元流束）上各點(diǎn)的位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和保持不變，即總水頭線是平行于基準(zhǔn)面的水平線。二、理想流體微元流束伯努利方程的物理意義和幾何意義

流體流動(dòng)過(guò)程實(shí)質(zhì)上是各種形式能量之間的轉(zhuǎn)化過(guò)程，它們之間遵循能量守恒定律。

穩(wěn)定流動(dòng)伯努利方程反映了流體在管道中流動(dòng)時(shí)流速、壓力和位差之間的變化關(guān)系，在工程上有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

如用高位槽向設(shè)備輸送流體

§3-6穩(wěn)定流動(dòng)的能量衡算

——總流伯努利方程及應(yīng)用一、理想流體恒定流動(dòng)時(shí)的機(jī)械能衡算

流速v1

（平均）

壓強(qiáng)p1

標(biāo)高z1

截面面積

A1

流體密度1

進(jìn)口出口理想流體穩(wěn)定流動(dòng),從截面1—1流入，截面2—2流出。衡算范圍：管路的內(nèi)壁面、截面1—1與截面2—2之間?；鶞?zhǔn)水平面：0—0水平面（可任意選定）。

流速v2（平均）

壓強(qiáng)p2

標(biāo)高z2

截面面積A2

流體密度2

1、流體所具有的機(jī)械能

流體的機(jī)械能是指由流體的位置、運(yùn)動(dòng)和壓力所決定的位能、動(dòng)能和壓力能，單位為J或kJ。

位能mgz流體因處于地球重力場(chǎng)內(nèi)而具有的能量。

流體因以一定的流速運(yùn)動(dòng)時(shí)而具有的能量。

（1）位能

其值大小與基準(zhǔn)面位置有關(guān)（2）動(dòng)能

動(dòng)能比位能gz比動(dòng)能單位為J/kg或kJ/kg

又稱(chēng)為靜壓能，是流體因存在一定的靜壓力而具有的能量。

（3）壓力能

與流體流動(dòng)與否無(wú)關(guān)壓力能比壓力能機(jī)械能

1kg流體帶入1—1截面的總機(jī)械能為

1kg流體在2—2截面處帶出的總機(jī)械能為2.理想流體穩(wěn)定流動(dòng)的機(jī)械能衡算伯努利方程能量守恒定律，對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)有:機(jī)械能衡算

對(duì)不可壓縮的理想流體:

1=2=

總流伯努利（Bernoulli）方程，也稱(chēng)能量方程

理想流體作穩(wěn)定流動(dòng)且與外界無(wú)能量交換時(shí)。適用于:

在任一截面上，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能（即該截面上比位能、比動(dòng)能和比壓力能之和）恒為常量。說(shuō)明:

理想流體的伯努利方程揭示了理想流體在穩(wěn)定流動(dòng)中各種形式的機(jī)械能互相轉(zhuǎn)換的數(shù)量關(guān)系。

3、流體機(jī)械能之間的相互轉(zhuǎn)換

理想流體在某一水平變徑管道中作穩(wěn)定流動(dòng):例如:

理想流體在某一內(nèi)徑相同的傾斜直管中作穩(wěn)定流動(dòng):

v1=v2z1=z2z1＞z2A1＞A2<＜二、實(shí)際流體穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的機(jī)械能衡算除了考慮各截面的機(jī)械能（位能、動(dòng)能、壓力能）外，還要考慮以下兩項(xiàng)能量：

1、損失能量

1kg的流體流動(dòng)時(shí)的能量損失用符號(hào)hw表示，單位為J/kg。

實(shí)際流體流動(dòng)時(shí),因克服流動(dòng)阻力而損耗的機(jī)械能以熱量形式散失,稱(chēng)為能量損失。

將1kg流體從流體輸送機(jī)械（如泵）獲得的能量稱(chēng)為外加能量，用符號(hào)he表示，單位為J/kg。

2、外加能量其作用是將機(jī)械能傳遞給流體，使流體的機(jī)械能增加

實(shí)際流體在穩(wěn)定流動(dòng)狀態(tài)下的總能量衡算式為:

稱(chēng)為實(shí)際流體伯努利方程，又稱(chēng)為穩(wěn)定流動(dòng)能量方程物理意義——機(jī)械能的平均值沿程減小，部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能損失。三、伯努利方程的討論

（1）上式各項(xiàng)均為單位質(zhì)量(1kg

)流體所具有的能量，單位均為J/kg。

有效功率Pe:單位時(shí)間輸送設(shè)備所作的有效功，單位為W

。某截面上流體自身所具有的機(jī)械能

流體在兩截面之間與外界交換的能量

he為外加能量,是輸送機(jī)械對(duì)1kg流體作的有效功。gz、v2/2、p/he、hw

上式各項(xiàng)表示單位重量流體所具有能量，單位均為J/N

，簡(jiǎn)化為m

。其物理意義為：?jiǎn)挝恢亓苛黧w所具有的機(jī)械能可以把它自身從水平基準(zhǔn)面升舉的高度。

伯努利方程討論（2）上式各項(xiàng)同除以g，又令

總水頭

位置水頭(位壓頭)z

速度水頭(動(dòng)壓頭)v2/2g

壓強(qiáng)水頭(靜壓頭)p/g流體接受外功所增加的壓頭He流體流經(jīng)劃定體積的壓頭損失Hw總水頭線測(cè)壓管水頭線伯努利方程討論粘性總流伯努利方程的幾何意義——總流的實(shí)際總水頭線沿流程下降，下降的高度即為能量損失。

上式各項(xiàng)表示單位體積氣體所具有能量，單位均為J/m3或Pa

。伯努利方程討論（3）上式各項(xiàng)同乘以

，又令

風(fēng)壓pe——風(fēng)壓是指單位體積氣體通過(guò)輸送機(jī)械后所獲得的能量

壓力降(壓力損失)pw伯努利方程討論

（4）上式伯努利方程適用于不可壓縮流體作恒定連續(xù)流動(dòng)的情況。對(duì)于可壓縮流體的流動(dòng)，當(dāng)所取系統(tǒng)中兩截面間的絕對(duì)壓強(qiáng)變化小于原來(lái)絕對(duì)壓強(qiáng)的20％時(shí)，上述公式仍可使用，但公式中流體密度應(yīng)以?xún)山孛骈g流體的平均密度m代替。

伯努利方程討論

（5）如果系統(tǒng)中的流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，則v=0，因流體沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，故無(wú)能量損失，即hw=0，當(dāng)然也不需要外加功，即he=0，于是柏努利方程變?yōu)椋?/p>

上式即為流體靜力學(xué)基本方程。由此可見(jiàn)，伯努利方程不僅描述了流體流動(dòng)的規(guī)律，也反映了流體靜止?fàn)顟B(tài)的規(guī)律，流體的靜止?fàn)顟B(tài)是流體流動(dòng)狀態(tài)的一種特殊形式。(6)實(shí)際流體（總流）能量方程適用于不可壓縮流體位置水頭，位能；壓強(qiáng)水頭，壓能；速度（流速）水頭，動(dòng)能水頭損失，1-2斷面的平均能量損失動(dòng)能修正系數(shù)伯努利方程討論四、伯努利方程的應(yīng)用

（1）伯努利方程應(yīng)用條件。穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體，流動(dòng)是連續(xù)的。

（2）作圖與確定衡算范圍。根據(jù)工程要求畫(huà)出流動(dòng)系統(tǒng)的示意圖，指明流體的流動(dòng)方向和上下游的截面，以明確流動(dòng)系統(tǒng)的衡算范圍。1、伯努利方程應(yīng)用注意事項(xiàng)

（3）截面的選取。按流體的流向確定上、下游截面，選定的兩截面應(yīng)與流動(dòng)方向垂直，兩截面應(yīng)取在平行流動(dòng)處，不要取在閥門(mén)、彎頭等部位，兩截面間的流體必須是連續(xù)的。緩變流

（5）基準(zhǔn)面的選取?？扇我膺x擇，但須與地面平行，兩個(gè)截面必須是同一基準(zhǔn)面。通常取其中位置較低的截面作為基準(zhǔn)面。當(dāng)截面與地面平行時(shí)，則基準(zhǔn)面與該截面重合；若截面與地面垂直，則基準(zhǔn)面通過(guò)該截面的中心。

（6）單位必須一致。統(tǒng)一單位后再進(jìn)行計(jì)算。兩截面上壓力要同時(shí)用絕對(duì)壓力或相對(duì)壓力（表壓力）表示。伯努利方程應(yīng)用

（4）敞口容器自由液面上的壓力為大氣壓；管道出口截面上的壓力為大氣壓;流體在水箱、水槽等截面較大的容器中的流速可認(rèn)為是零。

（8）當(dāng)一個(gè)問(wèn)題中有2個(gè)未知量時(shí)，需和連續(xù)性方程聯(lián)立求解。

伯努利方程應(yīng)用

（7）對(duì)分流或合流的情況，單位質(zhì)量流體的能量守恒關(guān)系依然存在，如分流時(shí),只是分別表現(xiàn)為截面1→2和截面l→3的兩個(gè)能量關(guān)系式而已。當(dāng)沒(méi)有外加能量時(shí)，則2.伯努利方程應(yīng)用示例求解問(wèn)題的一般步驟是：

劃分截面

伯努利方程和連續(xù)性方程聯(lián)立，可以全面解決流動(dòng)系統(tǒng)中流速和壓力的計(jì)算問(wèn)題。

分析流動(dòng)

選擇基準(zhǔn)

列解方程75

（1）皮托管76

舉例：皮托管hBhA（2）文丘里流量計(jì)原理——文丘里流量計(jì)主要用于管道中流體的流量測(cè)量，主要是由收縮段、喉部和擴(kuò)散段三部分組成。利用收縮段，造成一定的壓強(qiáng)差，在收縮段前和喉部用Ｕ形管差壓計(jì)測(cè)量出壓強(qiáng)差，從而求出管道中流體的體積流量。（2）