專題：帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)剖析

1、常見的五種有界磁場(chǎng)：?jiǎn)芜吔绱艌?chǎng)、雙邊界磁場(chǎng)、矩形磁場(chǎng)、圓形磁場(chǎng)、三角形磁場(chǎng)2、有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題存在（1）求半徑和運(yùn)動(dòng)時(shí)間（2）臨界問題（3）多解問題（4）極值問題概述1、本類問題對(duì)學(xué)問考查全面，涉及到力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)等中學(xué)物理的主干學(xué)問，對(duì)學(xué)生的空間想象實(shí)力、分析綜合實(shí)力、應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問解決物理問題實(shí)力有較高的要求，是考查學(xué)生多項(xiàng)實(shí)力的極好的載體，因此成為歷年高考的熱點(diǎn)。2、從試題的難度上看，多屬于中等難度或較難的計(jì)算題。緣由有二：一是題目較長(zhǎng)，常以科學(xué)技術(shù)的具體問題為背景，從實(shí)際問題中獲得、處理信息，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成物理問題。二是涉及數(shù)學(xué)學(xué)問較多（特殊是幾何學(xué)問）。

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)由洛倫茲力供應(yīng)向心力rmv2qvB=軌道半徑：qBmvr=運(yùn)動(dòng)周期：vT=2rqB2m=——周期T與R和v無關(guān)僅由粒子種類（m、q）確定，和磁感應(yīng)強(qiáng)度B確定。角速度：頻率：動(dòng)能：

解題的基本過程與方法1找圓心：已知隨意兩點(diǎn)速度方向：作垂線可找到兩條半徑，其交點(diǎn)是圓心。已知一點(diǎn)速度方向和另外一點(diǎn)的位置：作速度的垂線得半徑，連接兩點(diǎn)并作中垂線，交點(diǎn)是圓心。vvOvO3定半徑：幾何法求半徑公式求半徑4算時(shí)間：先算周期，再用圓心角算時(shí)間θθαααθ=2α留意：θ應(yīng)以弧度制表示2畫圓弧：附：電偏轉(zhuǎn)與磁偏轉(zhuǎn)的區(qū)分BLvyROθ留意：（1）電偏轉(zhuǎn)是類平拋運(yùn)動(dòng)磁偏轉(zhuǎn)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)（2）這里射出速度的反向延長(zhǎng)線與初速度延長(zhǎng)線的交點(diǎn)不再是寬度線段的中點(diǎn)。這點(diǎn)與帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)結(jié)論不同！(2)側(cè)移距離yθBdOrrθ(1)偏向角（回旋角）θ(3)時(shí)間t留意區(qū)分“電偏轉(zhuǎn)”和“磁偏轉(zhuǎn)”yxOvvaB60o練一個(gè)質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子（不計(jì)重力）從x軸上的P(a，0)點(diǎn)以速度v，沿與x正方向成60o的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。Bqmvar32==aqmvB23=得射出點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）a3O′解析：練、如圖，虛線上方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場(chǎng)，一帶正電的粒子質(zhì)量m、電量q，若它以速度v沿與虛線成300、900、1500、1800角分別射入，1.請(qǐng)作出上述幾種狀況下粒子的軌跡2.視察入射速度、出射速度與虛線夾角間的關(guān)系3.求其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。單邊界磁場(chǎng)入射角300時(shí)入射角900時(shí)入射角1500時(shí)入射角1800時(shí)對(duì)稱性有用規(guī)律一：過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作始終線，入射速度與直線的夾角等于出射速度與直線的夾角，并且假如把兩個(gè)速度移到共點(diǎn)時(shí)，關(guān)于直線軸對(duì)稱。強(qiáng)調(diào)：本規(guī)律是在單邊界磁場(chǎng)中總結(jié)出的，但是適用于任何類型的磁場(chǎng)例如圖所示，在y<

0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向如圖，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一帶正電的粒子以速度v從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，入射方向在xoy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為θ。若粒子射出磁場(chǎng)的位置與O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，求該粒子的比荷q/m。xyopθvθθvθ入射速度與邊界夾角=出射速度與邊界夾角

①速度較小時(shí)，作半圓運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)后從另一邊界飛出SBPSSQPQQ①速度較小時(shí)，作圓周運(yùn)動(dòng)通過射入點(diǎn)；②速度增加為某臨界值時(shí)，粒子作圓周運(yùn)動(dòng)其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時(shí)粒子作部分圓周運(yùn)動(dòng)后從另一邊界飛出圓心在過入射點(diǎn)跟速度方向垂直的直線上圓心在過入射點(diǎn)跟邊界垂直的直線上圓心在磁場(chǎng)原邊界上量變積累到確定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)．平行直線邊界磁場(chǎng)D例題．如圖所示，在邊長(zhǎng)為2a的等邊三角形△ABC內(nèi)存在垂直紙面對(duì)里磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有一帶電量為q、質(zhì)量為m的粒子從距A點(diǎn)的D點(diǎn)垂直于AB方向進(jìn)入磁場(chǎng)。若粒子能從AC間離開磁場(chǎng)，求粒子速率應(yīng)滿足什么條件及粒子從AC間什么范圍內(nèi)射出？答案：要粒子能從ＡＣ間離開磁場(chǎng)，粒子速率應(yīng)滿足粒子從距Ａ點(diǎn)的間射出帶電粒子在三角形區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)BvO邊界圓從平面幾何的角度看，是粒子軌跡圓與磁場(chǎng)邊界圓的兩圓相交問題。帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)特殊情形：軌跡圓O′αθθ有用規(guī)律二在圓形磁場(chǎng)內(nèi),入射速度沿徑向,出射速度也必沿徑向.θ+α=

π從平面幾何的角度看，是粒子軌跡圓與磁場(chǎng)邊界圓的兩圓相交問題。帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一般情形：有用規(guī)律三：兩圓心連線OO′與兩個(gè)交點(diǎn)的連線公共弦AB垂直平分。BO邊界圓軌跡圓BCAO＇O1Rθ2例如圖虛線所圍圓形區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B。電子束沿圓形區(qū)域的直徑方向以速度v射入磁場(chǎng)，經(jīng)過磁場(chǎng)區(qū)后，電子束運(yùn)動(dòng)的方向與原入射方向成θ角。設(shè)電子質(zhì)量為m，電荷量為e，不計(jì)電子之間的相互作用力及所受的重力。求：（1）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑R；（2）電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；（3）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑r。vBOrvθ解：（1）（2）由幾何學(xué)問得：圓心角：α=

θ（3）由如圖所示幾何關(guān)系可知，所以：BvOBqT=2m2t=θT練、如圖虛線所示區(qū)域內(nèi)有方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一束速度大小各不相同的質(zhì)子正對(duì)該區(qū)域的圓心O射入這個(gè)磁場(chǎng)；結(jié)果，這些質(zhì)子在該磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間有的較長(zhǎng)，有的較短，其中運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)的粒子（）A．射入時(shí)的速度確定較大B．在該磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程確定較長(zhǎng)C．在該磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度確定較大D．從該磁場(chǎng)中飛出的速度確定較小θ1R1s1θ2R2s2BqmvR=CD練、某離子速度選擇器的原理圖如圖，在半徑為R=10cm的圓形筒內(nèi)有B=1×10－4T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向平行于軸線。在圓柱形筒上某始終徑兩端開有小孔a、b?，F(xiàn)有一束比荷為q/m=2×1011C/kg的正離子，以不同角度α入射，其中入射角α=30o，且不經(jīng)碰撞而干脆從出射孔射出的離子的速度v大小是（）A．4×105m/sB．2×105m/sC．4×106m/sD．2×106m/s解：rmv2qvB=αaObO′rr作入射速度的垂線與ab的垂直平分線交于O′點(diǎn)，O′點(diǎn)即為軌跡圓的圓心。畫出離子在磁場(chǎng)中的軌跡如圖示：∠a

O′b=2=60o，則r=2R=0.2mC練、一磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面，分布在以O(shè)為中心的圓形區(qū)域內(nèi)。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)O起先運(yùn)動(dòng)，初速為v，方向沿x正方向。粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30o，P到O的距離為L(zhǎng)。不計(jì)重力。求磁感強(qiáng)度B和磁場(chǎng)區(qū)域的半徑R?；舅悸罚築yxvOPLv30°Rr解析：2）找出有關(guān)半徑的幾何關(guān)系：1）作出運(yùn)動(dòng)軌跡；L=3r3）結(jié)合半徑、周期公式解。qvB=Rmv2qLmvB3=LR33=我們學(xué)了什么1.帶電粒子進(jìn)入有界磁場(chǎng),運(yùn)動(dòng)軌跡為一段弧線.3.留意圓周運(yùn)動(dòng)中的對(duì)稱性:(1)粒子進(jìn)入單邊磁場(chǎng)時(shí),入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角,并且兩個(gè)速度移到共點(diǎn)時(shí)，具有軸對(duì)稱性。(2)在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi),沿徑向射入的粒子,必沿徑向射出.2.解題的基本步驟為：找圓心——畫軌跡——定半徑4、解題閱歷：運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑R往往跟線速度V聯(lián)系在一起，進(jìn)而跟磁感應(yīng)強(qiáng)度B、質(zhì)荷比q/ml有關(guān)。運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ往往跟運(yùn)動(dòng)時(shí)間t有關(guān)?？偠灾簬缀瘟坑脦缀畏椒ㄇ?。幾何量與物理量有關(guān)。多解問題1.電性不確定引起的分類探討問題。2.入射點(diǎn)不確定引起的多解問題。3.出射點(diǎn)不確定引起的多解問題。4.入射速度方向確定、大小不確定，從而使得軌跡多樣，并且出射點(diǎn)不確定，引起的多解問題。5.入射速度大小確定，方向不確定，從而引起的多解問題OyxBv60o例、如圖，在第I象限范圍內(nèi)有垂直xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B。質(zhì)量為m、電量大小為q的帶電粒子(不計(jì)重力)，在xOy平面里經(jīng)原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)中，初速度為v0，且與x軸成60o角，試分析計(jì)算：（1）穿越磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角多大？（2）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間多長(zhǎng)？如粒子帶正電，則：如粒子帶負(fù)電，則：一、電性不確定引起的分類探討60o120o例如下圖所示，兩塊長(zhǎng)度均為5d的金屬板相距d，平行放置，下板接地，兩極間有垂直只面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一束寬為d的電子束從兩板左側(cè)垂直磁場(chǎng)方向射入兩極間，設(shè)電子的質(zhì)量為m，電量為e，入射速度為v0，要使電子不會(huì)從兩極間射出，求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件。5dv0d二、入射點(diǎn)不確定引起的多解問題v0思索:1.假設(shè)磁場(chǎng)是無界的,各電子的運(yùn)動(dòng)軌跡怎樣?2.磁場(chǎng)較小時(shí)，軌跡半徑較大。哪個(gè)電子最有可能從右側(cè)飛出?半徑相等的圓全部運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在一條直線上最上面的電子3.當(dāng)磁場(chǎng)很大,運(yùn)動(dòng)半徑較小，哪個(gè)電子最有可能從左側(cè)飛出?照舊是最上面的電子綜上所述，不管B取什么值，在同一磁場(chǎng)中的電子的運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑都是一樣的，只是運(yùn)動(dòng)軌跡的位置不同，而且只要最上面的電子不飛出，其他電子都不會(huì)飛出。O1O2R1R2①B較大時(shí)，R較小，電子恰好從左側(cè)飛出有:②B較小時(shí)，R較大，電子恰好從右側(cè)飛出,有:5dd例、如圖，長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平不帶電極板間有垂直紙面對(duì)內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，板間距離也為L(zhǎng)，現(xiàn)有質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子（不計(jì)重力），從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁場(chǎng)以速度v平行極板射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，則入射速度v應(yīng)滿足什么條件？+q,mvLBLO三、出射點(diǎn)不確定引起的多解問題四、速度方向確定，大小不確定引起的多解問題例、如圖，若電子的電量e，質(zhì)量m，斜向上與邊界成60o射入磁感應(yīng)強(qiáng)度B，寬度d的磁場(chǎng)，若要求電子不從右邊界穿出，則初速度v0應(yīng)滿足什么條件？斜向下與邊界成60o射入時(shí)，初速度又應(yīng)當(dāng)滿足什么條件？deBv0r+rcos60o

=ddeBv0r－rcos60o

=dqaOdbcBv0R1例、如圖，一端無限伸長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。從邊ad中點(diǎn)O射入一速率v0、方向與Od夾角θ=30o的正電粒子，粒子質(zhì)量為m，重力不計(jì)，帶電量為q，已知ad=L。（1）要使粒子能從ab邊射出磁場(chǎng)，求v0的取值范圍。（2）取不同v0值，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的范圍？（3）從ab邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的范圍。R1+R1sin30o=L/2解：（1）得R1=L/3R2R2－R2cos60o=L/2得：R2=L。（1）≥v0≥例、如圖，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于紙面對(duì)里，PQ為該磁場(chǎng)的右邊界線，磁場(chǎng)中有一點(diǎn)O到PQ的距離為r?，F(xiàn)從點(diǎn)O以同一速率將相同的帶負(fù)電粒子向紙面內(nèi)各個(gè)不同的方向射出，它們均做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求帶電粒子打在邊界PQ上的范圍（粒子的重力不計(jì)）。O2rPQPQOrO2rrQPMN五、速度大小確定，方向不確定引起的多解問題2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.MNBOA例、如圖，水平放置的平板MN上方有方向垂直于紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，很多質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R=mv/qB，哪個(gè)圖是正確的？（）……以速率v沿紙面各個(gè)方向由小孔O射入磁場(chǎng)2RR2RO2RR2RO2R2R2ROR2R2ROD.A.B.C.總結(jié):粒子以相同大小，不同方向的速度進(jìn)入磁場(chǎng)之后的運(yùn)動(dòng)軌跡如何?它們的圓心位置有什么特點(diǎn)?①當(dāng)同種粒子的射入速度大小確定，而方向不確定時(shí)，全部軌跡圓是一樣的，半徑都為R，只是位置不同。②全部軌跡圓繞入射點(diǎn)，向粒子運(yùn)動(dòng)方向旋轉(zhuǎn)。③軌跡分布在一個(gè)半徑為2R的圓形區(qū)域內(nèi)。④全部軌跡圓的圓心在一個(gè)半徑為R的圓上。解題閱歷1、臨界問題，常常是運(yùn)動(dòng)軌跡圓與磁場(chǎng)邊界相切時(shí)為臨界狀態(tài)。2.細(xì)致審題，當(dāng)電荷的正負(fù)不確定、或磁場(chǎng)的方向不確定時(shí)，會(huì)有兩個(gè)解。3.留意磁偏轉(zhuǎn)與電偏轉(zhuǎn)的不同。電偏轉(zhuǎn)是拋物線，一去不復(fù)返，但是磁偏轉(zhuǎn)是圓，可以向前，也可以回頭。特殊是在矩形磁場(chǎng)中，既可以從左邊飛出，也可以從右邊飛出，也就是有兩個(gè)臨界狀態(tài)。4.對(duì)于有多個(gè)粒子，或者相當(dāng)于有多個(gè)粒子（如速度大小確定，方向不確定的題型），射入同一磁場(chǎng)時(shí)，有界磁場(chǎng)要先假設(shè)成無界磁場(chǎng)來探討，這樣會(huì)得到更多靈感。也就是說，在畫運(yùn)動(dòng)軌跡圓草圖時(shí)，必需畫完整的圓。O2r模型1：速度方向確定，大小不確定模型2：速度大小確定，方向不確定三種重要的模型Vv0模型3：速度大小、方向確定，入射點(diǎn)不確定極值問題

dm-qA一條船在靜水中的速度為v，河水的流速為V，河寬為d。問船頭方向與河岸的夾角為多少時(shí)，過河的時(shí)間最短？dA題2vxvy河寬確定，欲使過河時(shí)間最短，須使vx有最大值。當(dāng)vx=v時(shí)，有過河的最短時(shí)間：vdt=v一個(gè)垂直紙面對(duì)里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)形態(tài)如圖所示，磁場(chǎng)寬度為d。在垂直B的平面內(nèi)的A點(diǎn)，有一個(gè)電量為－q、質(zhì)量為m、速度為v的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，請(qǐng)問其速度方向與磁場(chǎng)邊界的夾角為多少時(shí)粒子穿過磁場(chǎng)的時(shí)間最短？（已知mv/Bq>d）題1dm-qAvOαRd帶電粒子的速度方向垂直于邊界進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)間最短mvdBqRd=sin=BqmvdBqm

arcsin=vmvdBqR

arcsin=v/R=t=一個(gè)垂直紙面對(duì)里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)形態(tài)如圖所示，磁場(chǎng)寬度為d。在垂直B的平面內(nèi)的A點(diǎn)，有一個(gè)電量為－q、質(zhì)量為m、速度為v的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，請(qǐng)問其速度方向與磁場(chǎng)邊界的夾角為多少時(shí)粒子穿過磁場(chǎng)的時(shí)間最短？（已知mv/Bq>d）題1——模型識(shí)別錯(cuò)誤?。。m-qAvOαRd對(duì)象模型：質(zhì)點(diǎn)過程模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律：牛頓其次定律+圓周運(yùn)動(dòng)公式條件：要求時(shí)間最短wa==vst

速度v不變，欲使穿過磁場(chǎng)時(shí)間最短，須使s有最小值，則要求弦最短。一個(gè)垂直紙面對(duì)里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)形態(tài)如圖所示，磁場(chǎng)寬度為d。在垂直B的平面內(nèi)的A點(diǎn)，有一個(gè)電量為－q、質(zhì)量為m、速度為v的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，請(qǐng)問其速度方向與磁場(chǎng)邊界的夾角為多少時(shí)粒子穿過磁場(chǎng)的時(shí)間最短？（已知mv/Bq>d）題1dm-qAvθO中垂線θ與邊界的夾角為（90o－θ）BqmvdBqm2arcsinRvt===2qw2qmvdBqRd22/sin==q一個(gè)垂直紙面對(duì)里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)形態(tài)如圖所示，磁場(chǎng)寬度為d。在垂直B的平面內(nèi)的A點(diǎn)，有一個(gè)電量為－q、質(zhì)量為m、速度為v的帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，請(qǐng)問其速度方向與磁場(chǎng)邊界的夾角為多少時(shí)粒子穿過磁場(chǎng)的時(shí)間最短？（已知mv/Bq>d）題1啟示：要正確識(shí)別物理模型例、如圖，半徑為r=3×10－2m的圓形區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)B=0.2T，一帶正電粒子以速度v0=106m/s的從a點(diǎn)處射入磁場(chǎng)，該粒子荷質(zhì)比為q/m=108C/kg，不計(jì)重力。若要使粒子飛離磁場(chǎng)時(shí)有最大的偏轉(zhuǎn)角，其入射時(shí)粒子的方向應(yīng)如何（以v0與ao的夾角表示）？最大偏轉(zhuǎn)角多大？

R=mv/Bq=5×10－2m>rOaBv0bααRr說明：1.本題中，由于是兩圓相交，兩個(gè)交點(diǎn)的連線同時(shí)是兩個(gè)圓的弦。2.軌道圓半徑確定時(shí)，弦線越長(zhǎng)，通過的弧越長(zhǎng)，偏轉(zhuǎn)角度也越大。R=mv/Bq=5×10－2m>r解析：OaBv0bααRr得=37o，sin=r/R最大偏轉(zhuǎn)角為2=74o。例、如圖，半徑為r=3×10－2m的圓形區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)B=0.2T，一帶正電粒子以速度v0=106m/s的從a點(diǎn)處射入磁場(chǎng)，該粒子荷質(zhì)比為q/m=108C/kg，不計(jì)重力。若要使粒子飛離磁場(chǎng)時(shí)有最大的偏轉(zhuǎn)角，其入射時(shí)粒子的方向應(yīng)如何（以v0與ao的夾角表示）？最大偏轉(zhuǎn)角多大？

例、如圖，帶電質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。重力忽視不計(jì)。yOaxbv02RBOrrMN解：質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r=mv/Bq。質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道是1/4圓周，如圖中M、N兩點(diǎn)間的圓弧。在通過M、N兩點(diǎn)的不同的圓中，最小的一個(gè)是以MN連線為直徑的圓周。圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑qBmvMNR221==例、如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。有多數(shù)帶有同樣電荷、具有同樣質(zhì)量的粒子在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以同樣的速率通過P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)。這些粒子射出邊界的位置均處于邊界的某一段弧上，這段圓弧的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的1/3。將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小從原來的B1變?yōu)锽2，結(jié)果相應(yīng)的弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼囊话?，則B2/B1等于多少？PP3例、如圖，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成的中空區(qū)域內(nèi)有自由運(yùn)動(dòng)的帶電粒子，但由于環(huán)狀磁場(chǎng)的束縛，只要速度不很大，都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣。設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑為R1=0.5m，外半徑為R2=1.0m，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，若被縛的帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4×107C/kg，中空區(qū)域中帶電粒子具有各個(gè)方向的速度。試計(jì)算：（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。（2）全部粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。OBR2R1R2rvv答案：（1）1.5×107m/s，（2）1.0×107m/s。磁約束核聚變探討裝置30°OPAv0變式：如圖，傾角30o的斜面OA的左側(cè)有一豎直檔板，其上有小孔P，質(zhì)量m=4×10－20kg，帶電量q=+2×10－14C的粒子，從小孔以速度v0=3×104m/s水平射向磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T、方向垂直紙面對(duì)里的一正三角形區(qū)域。該粒子在運(yùn)動(dòng)過程中始終不碰及豎直檔板，且在飛出磁場(chǎng)區(qū)域后能垂直打在OA面上，粒子重力不計(jì)。求：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（3）正三角形磁場(chǎng)區(qū)域的最小邊長(zhǎng)。abco160°egf解：（1）由得：30°OPAv0abco160°egf（2）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，可知（3）由數(shù)學(xué)學(xué)問可得：得：例、如圖，質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以速度v從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面對(duì)外，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為30o，同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)強(qiáng)為E、方向沿與與x軸負(fù)方向成60o角斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，通過了b點(diǎn)正下方的C點(diǎn)。不計(jì)重力，試求：（1）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；（2）C點(diǎn)到b點(diǎn)的距離h。vyxEbO30°60°vhAO2O1vyxEbO30°60°vhAO2O1解：(1)反向延長(zhǎng)vb交y軸于O2點(diǎn)，作∠bO2

O的角平分線交x軸于O1，O1即為圓形軌道的圓心，半徑為R=OO1=mv/qB，畫出圓形軌跡交bO2于A點(diǎn)，如圖虛線所示。最小的圓形磁場(chǎng)區(qū)域是以O(shè)A為直徑的圓，如圖示：Smin=r23m2v24q2B2=OA=2rqBmv3=hsin30o=vthcos30o=21qEm·t2(2)b到C受電場(chǎng)力作用，做類平拋運(yùn)動(dòng)得t=2mv/qE·tan30o例.如圖所示，一個(gè)帶電量為正的粒子，從A點(diǎn)正對(duì)著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次并繞筒一圈后仍從A點(diǎn)射出，求正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t.設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無能量和電量損失，不計(jì)粒子的重力。OABv分析與解：設(shè)粒子與圓筒碰（n-1）次有：n（π－θ）＝2πθ＝π－2π/n由幾何關(guān)系得:tan(θ/2)=R/r正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=n(rθ/v)∴t=(n-2)πRtan(π/n)/v（ｎ≥３）O1θrROABv再變：若將上題中的“并繞筒一圈”五字去掉呢？n（π－θ）＝2kπθ＝π－2kπ/n（0＜θ＜π）tan(θ/2)=R/rt=n(rθ/v)t=(n-2k)πRtan(kπ/n)/v(ｎ＞2kk=1，2，3……）還能變嗎？1、筒變成正三角形、矩形？2、原題中的v方向可以變嗎？如：不沿半徑方向呢？……OABv

ABCPαaObBCDE4．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的正離子，在小孔S處正對(duì)著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面對(duì)里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次后仍從A點(diǎn)射出，求正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t.設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無能量和電量損失，不計(jì)粒子的重力。OB·RS．解:粒子經(jīng)過與圓筒發(fā)生n（n=2,3,4……）次與圓筒碰撞從原孔射出，其在圓筒磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡為n+1段對(duì)稱分布的圓弧，每段圓弧的圓心角為正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間O’rrOB·RS．5．如圖所示，在半徑為R的圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)量為m、帶電量為q的正離子在小孔S處，以速度v0向著圓心射入，施加的磁感應(yīng)強(qiáng)度為多大，此粒子才能在最短的時(shí)間內(nèi)從原孔射出？（設(shè)相碰時(shí)電量和動(dòng)能均無損失）O’rrOB·RS．解:粒子經(jīng)過n=2,3,4……次與圓筒碰撞從原孔射出，其運(yùn)動(dòng)軌跡具有對(duì)稱性．當(dāng)發(fā)生最少碰撞次數(shù)n=2時(shí)OB·RS．O’rr當(dāng)發(fā)生碰撞次數(shù)n=3時(shí)可見發(fā)生碰撞次數(shù)越多，所用時(shí)間越長(zhǎng)，故當(dāng)n=2時(shí)所用時(shí)間最短O’rrOB·RS．思索：求碰撞次數(shù)n=2時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．當(dāng)帶電粒子從同一邊界入射出射時(shí)速度與邊界夾角相同——對(duì)稱性帶電粒子在直邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)變式：如圖所示，一帶負(fù)電荷的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，帶電量為q，從M板旁邊由靜止起先被電場(chǎng)加速，又從N板的小孔a水平射出，垂直進(jìn)入半徑為R的圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，入射速度方向與OP成45°角，要使質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中飛過的距離最大，則兩板間的電勢(shì)差U為多少？結(jié)論1：對(duì)準(zhǔn)圓心射入,必定沿著圓心射出帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的四個(gè)結(jié)論結(jié)論3：運(yùn)動(dòng)半徑相同(v相同)時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)對(duì)應(yīng)時(shí)間越長(zhǎng)。結(jié)論2：對(duì)準(zhǔn)圓心射入，速度越大，偏轉(zhuǎn)角和圓心角都越小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短。結(jié)論4：磁場(chǎng)圓的半徑與軌跡圓的半徑相同時(shí),

“磁會(huì)聚”與“磁擴(kuò)散”假如帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑等于圓形磁場(chǎng)半徑，則依據(jù)幾何學(xué)問可以證明：隨意方向射入的粒子出射速度方向與過入射點(diǎn)O圓形磁場(chǎng)邊界的切線平行O磁聚焦概括：平行會(huì)聚于一點(diǎn)一點(diǎn)發(fā)散成平行RRrr區(qū)域半徑R與運(yùn)動(dòng)半徑r相等遷移與逆向、對(duì)稱的物理思想！例、如圖，在xOy平面內(nèi)與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在圓的左邊放置一帶電微粒放射裝置，它沿x軸正方向放射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q＞0)和初速度v的帶電微粒。放射時(shí)，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。（1）從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向。（2）請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由。（3）在這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?v，那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由。xyRO/Ov帶點(diǎn)微粒發(fā)射裝置CxyRO/Ov帶點(diǎn)微粒發(fā)射裝置CPQr圖(c)xyRO/OvCAxyRO/vQPORθ圖(a)圖(b)【答案】（1）；方向垂直于紙面對(duì)外（2）數(shù)學(xué)方法（3）與x同相交的區(qū)域范圍是x>0.【解析】略【關(guān)鍵】圖示練.在平面內(nèi)有很多電子（質(zhì)量為m、電量為e），從坐標(biāo)O不斷以相同速率v沿不同方向射入第一象限，現(xiàn)加一個(gè)垂直于平面對(duì)內(nèi)、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過磁場(chǎng)后都能平行于軸向正方向運(yùn)動(dòng)，求該條件勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積。xyOv0O1O2O3O4O5On解2:設(shè)P(x，y)為磁場(chǎng)下邊界上的一點(diǎn)，經(jīng)過該點(diǎn)的電子初速度與x軸夾角為，則由圖可知：x=rsin，y=r－rcos，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為(0，r)的圓弧應(yīng)是磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。磁場(chǎng)上邊界如圖線1所示。xyOv01θP(x,y)Orr兩邊界之間圖形的面積即為所求。圖中的陰影區(qū)域面積，即為磁場(chǎng)區(qū)域面積：全部電子的軌跡圓半徑相等，且均過O點(diǎn)。這些軌跡圓的圓心都在以O(shè)為圓心，半徑為r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圓周上，如圖所示。

電子由O點(diǎn)射入第Ⅰ象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)解1:xyOv0O1O2O3O4O5On即全部出射點(diǎn)均在以坐標(biāo)(0，r)為圓心的圓弧abO上，明顯，磁場(chǎng)分布的最小面積應(yīng)是實(shí)線1和圓弧abO所圍的面積，由幾何關(guān)系得由圖可知，a、b、c、d等點(diǎn)就是各電子離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)，均應(yīng)滿足方程x2+(r－y)2=r2。3．如右圖所示，紙面內(nèi)有寬為L(zhǎng)水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m，電荷量為－q，速率為v0，不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒子都匯聚到一點(diǎn)，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，則磁場(chǎng)區(qū)域的形態(tài)及對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以是(其中，A、C、D選項(xiàng)中曲線均為半徑是L的1/4圓弧，B選項(xiàng)中曲線為半徑是L/2的圓)()AA1A3A4A230o60oⅠⅡ2、如圖所示，在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)方向相反且都垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在以直徑A2A4為邊界的兩個(gè)半圓形區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4與A1A3的夾角為60o。一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以某一速度從Ⅰ區(qū)的邊緣點(diǎn)A1處沿與A1A3成30o角的方向射入磁場(chǎng)，隨后該粒子以垂直于A2A4的方向經(jīng)過圓心O進(jìn)入Ⅱ區(qū)，最終再從A4處射出磁場(chǎng)。已知該粒子從射入到射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為t，求Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小（忽視粒子重力）。A1A3A4A230o60oⅠⅡv解析：設(shè)粒子的入射速度為v，已知粒子帶正電，故他在磁場(chǎng)中先順時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，再逆時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，最終從A4射出，如圖2所示。用B1、B2、R1、R2、T1、T2分別表示在磁場(chǎng)Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度、軌道半徑和周期，

設(shè)圓形區(qū)域的半徑為r，已知帶電粒子過圓心且垂直于A2A4進(jìn)入Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)。連接A1A2，為等邊三角形，A2為帶電粒子在Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，其軌跡的半徑圓心角，帶電粒子在Ⅰ區(qū)中運(yùn)動(dòng)