【全程復(fù)習(xí)方略】（廣東專用）年高考數(shù)學(xué) 第四章 第五節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課件 理 新人教A

第五節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做_____，b叫做_____.實(shí)部虛部(2)分類：滿足條件(a,b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a+bi為實(shí)數(shù)?____a+bi為虛數(shù)?_____a+bi為純虛數(shù)?b=0b≠0(3)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di?(a,b,c,d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?(a,b,c,d∈R).(5)模：向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作____或_______，即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).|z||a+bi|(3)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di?(a,b,c,d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?(a,b,c,d∈R).(5)模：向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作____或_______，即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面：建立___________來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.(2)實(shí)軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi),x軸叫做_____,y軸叫做_____，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示_____；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示_______.(3)復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)______平面向量.直角坐標(biāo)系實(shí)軸虛軸實(shí)數(shù)純虛數(shù)Z(a,b)3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算(1)運(yùn)算法則:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則運(yùn)算名稱符號(hào)表示語(yǔ)言敘述加減法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=_______________把實(shí)部、虛部分別相加減乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________按照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，并把i2換成-1(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i運(yùn)算名稱符號(hào)表示語(yǔ)言敘述除法=(c+di≠0)把分子、分母分別乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律:設(shè)z1,z2,z3∈C，則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算律:①交換律：z1+z2=_____；②結(jié)合律：(z1+z2)+z3=_________.z2+z1z1+(z2+z3)判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)方程x2+x+1=0沒(méi)有解.()(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中，虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(4)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.()【解解析析】】(1)錯(cuò)錯(cuò)誤誤.在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)范范圍圍內(nèi)內(nèi)，，方方程程x2+x+1=0沒(méi)沒(méi)有有實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解；；但在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)范范圍圍內(nèi)內(nèi)，，此此方方程程有有解解，，且且解解為為x=.故故不不正正確確.(2)錯(cuò)錯(cuò)誤誤.根根據(jù)據(jù)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的概概念念，，在在復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)z=a+bi(a,b∈∈R)中中，，虛虛部部應(yīng)應(yīng)為b.故故不不正正確確.(3)錯(cuò)錯(cuò)誤誤.只只有有當(dāng)當(dāng)兩兩個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)都都為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，，它它們們才才能能比比較較大大小小，，其其他情情況況不不能能比比較較大大小小.故故不不正正確確.(4)正正確確.原原點(diǎn)點(diǎn)在在實(shí)實(shí)軸軸上上，，也也在在虛虛軸軸上上.故故正正確確.(5)正正確確.根根據(jù)據(jù)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的幾幾何何意意義義可可知知此此結(jié)結(jié)論論正正確確.答案案:(1)××(2)××(3)××(4)√√(5)√√1.已已知知a∈∈R，，若若(1－－ai)(3＋＋2i)為為純純虛虛數(shù)數(shù)，，則則a的的值值為為()(A)-(B)(C)-(D)【解解析析】】選A.(1－－ai)(3＋＋2i)＝＝(3＋＋2a)＋＋(2－－3a)i為為純純虛虛數(shù)，，故故得得a＝＝－－.2.復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)(i是是虛虛數(shù)數(shù)單單位位)的的實(shí)實(shí)部部是是()(A)(B)-(C)(D)-【解解析析】】選A.，，實(shí)實(shí)部部為為.3.若若a，，b∈∈R，，i為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位，，且且(a＋＋i)i＝＝b＋＋i，，則則()(A)a＝＝1，，b＝＝1(B)a＝＝－－1，，b＝＝1(C)a＝＝1，，b＝＝－－1(D)a＝＝－－1，，b＝＝－－1【解解析析】】選C.由(a＋i)i＝＝b＋i，得得：－1＋ai＝b＋i，根據(jù)復(fù)數(shù)數(shù)相等得：a＝1，b＝＝－1.4.已知i為為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)z＝＝對(duì)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位位于()(A)第一象象限(B)第二象象限(C)第三象象限(D)第四象象限【解析】選C.z＝,故復(fù)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()，位位于第三象限限.5.設(shè)z1是復(fù)數(shù)，z2＝z1－i(其其中表示示z1的共軛復(fù)數(shù))，已知z2的實(shí)部是－1，則z2的虛部為_(kāi)______.【解析】設(shè)z1＝x＋yi(x，y∈R)，則z2＝x＋yi－－i(x－yi)＝(x－y)＋(y－x)i，故有有x－y＝－－1，則y－－x＝1.答案:1考向1復(fù)數(shù)的概念【典例1】(1)(2012·江西西高考)若復(fù)復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛虛數(shù)單位),是z的共軛復(fù)復(fù)數(shù)，則的的虛部為()(A)0(B)-1(C)1(D)-2(2)(2012·湖南南高考)已知知復(fù)數(shù)z=(3+i)2(i為虛數(shù)單單位)，則|z|=________.(3)(2012·江蘇蘇高考)設(shè)a,b∈R，，a+bi=(i為虛數(shù)數(shù)單位)，則a+b的值值為_(kāi)______.【思路點(diǎn)撥】】【規(guī)范解答】】(1)選A.因?yàn)閦=1+i，所所以=1-i，∴=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0，故虛虛部為0.(2)由條件件得z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i,∴|z|==10.答案:10(3)∵a+bi===5+3i，∴a=5,b=3,∴a+b=8.答案:8【互動(dòng)探究】】本例題(3)的條件不變變，結(jié)論改為為“則復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)數(shù)=_____”.結(jié)果如何？？【解析】由本例題(3)的解題過(guò)過(guò)程可得z=5+3i，，所以=5-3i.答案:5-3i【拓展提升】】解答復(fù)數(shù)概念念題的關(guān)注點(diǎn)點(diǎn)(1)復(fù)數(shù)的的分類及對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿滿足的條件問(wèn)問(wèn)題，解題時(shí)時(shí)只需把復(fù)數(shù)數(shù)化為代數(shù)形形式，確定出實(shí)實(shí)部、虛部即即可．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈∈R)的模|z|＝，，實(shí)際上就是是指復(fù)平面上的點(diǎn)點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離；|z1－z2|的幾何意義義是復(fù)平面上的點(diǎn)Z1,Z2之間的距離．．【變式備選】】(1)若復(fù)數(shù)數(shù)(a∈R，，i為虛數(shù)單單位)是純虛虛數(shù)，則實(shí)數(shù)數(shù)a的值為()(A)-2(B)4(C)-6(D)6【解析】選C.=.∵復(fù)數(shù)是是純虛虛數(shù),∴∴∴a=-6.(2)已知a∈R，復(fù)數(shù)數(shù)z1＝2＋ai，，z2＝1－2i，，若為純純虛數(shù)，則復(fù)復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)_____.【解析】.∵為純純虛數(shù)，∴∴∴a＝1,∴∴=1,故的虛虛部為1.答案:1考向2復(fù)數(shù)的幾何意意義【典例例2】】(1)在復(fù)復(fù)平面面內(nèi)，，向量量對(duì)對(duì)應(yīng)的的復(fù)數(shù)數(shù)是2＋＋i，，向量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的復(fù)復(fù)數(shù)是是－1－3i，，則向向量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的復(fù)復(fù)數(shù)是是()(A)1－－2i(B)－1＋2i(C)3＋＋4i(D)－3－4i(2)(2013··惠州州模擬擬)設(shè)設(shè)z1=3-4i,z2=-2+3i，，則z1+z2在復(fù)平平面內(nèi)對(duì)應(yīng)應(yīng)的點(diǎn)點(diǎn)位于于()(A)第一一象限限(B)第二二象限限(C)第三三象限限(D)第四四象限限(3)(2013··大同同模擬擬)已已知f(x)=x2,i是是虛數(shù)數(shù)單位位，則則在復(fù)復(fù)平面面內(nèi)復(fù)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的點(diǎn)點(diǎn)在()(A)第一一象限限(B)第二二象限限(C)第三三象限限(D)第第四象象限【思路路點(diǎn)撥撥】(1)根據(jù)據(jù)復(fù)數(shù)數(shù)加法法的幾幾何意意義求求解．．(2)求z1+z2，由實(shí)實(shí)部、、虛部部確定定點(diǎn)所所在象象限.(3)求出出復(fù)數(shù)數(shù)，，再再判斷斷對(duì)應(yīng)應(yīng)的點(diǎn)點(diǎn)所在在的象象限.【規(guī)范范解答答】(1)選D.向向量對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的復(fù)復(fù)數(shù)是是2＋＋i，，則對(duì)對(duì)應(yīng)的的復(fù)數(shù)數(shù)是－－2－－i，，∵，，∴對(duì)對(duì)應(yīng)的的復(fù)數(shù)數(shù)是(－1－3i)＋(－2－i)＝＝－3－4i.(2)選D.z1+z2=(3-2)+(-4+3)i=1-i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)為(1，，-1)，，∴在在第四四象限限.(3)選A.，，故復(fù)數(shù)數(shù)對(duì)應(yīng)應(yīng)的點(diǎn)點(diǎn)是()，，在第第一象象限.【拓展展提升升】對(duì)復(fù)數(shù)數(shù)幾何何意義義的理理解及及應(yīng)用用(1)復(fù)數(shù)數(shù)z、、復(fù)平平面上上的點(diǎn)點(diǎn)Z及及向量量相相互聯(lián)聯(lián)系，，即z＝a＋bi(a，，b∈∈R)?Z(a，b)??.(2)由于于復(fù)數(shù)數(shù)、點(diǎn)點(diǎn)、向向量之之間建建立了了一一一對(duì)應(yīng)應(yīng)的關(guān)關(guān)系，，因此此可把復(fù)數(shù)數(shù)、向向量與與解析析幾何何聯(lián)系系在一一起，，解題題時(shí)可可運(yùn)用用數(shù)形形結(jié)合合的方法法，使使問(wèn)題題的解解決更更加直直觀.【變式式訓(xùn)練練】(1)已知知i是是虛數(shù)數(shù)單位位，則則復(fù)數(shù)數(shù)z=i+2i2+3i3所對(duì)應(yīng)應(yīng)的點(diǎn)點(diǎn)落在在()(A)第一一象限限(B)第第二象象限(C)第三三象限限(D)第第四象象限【解析析】選C.z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i，對(duì)應(yīng)的的點(diǎn)是是(-2,-2)，，故選選C.(2)已知知復(fù)數(shù)數(shù)的的對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)在在復(fù)平平面的的第二二、四四象限限的角角平分線上上，則則實(shí)數(shù)數(shù)a=______.【解析析】已知復(fù)復(fù)數(shù)=-1-(a+1)i,由題意意知a+1=-1，，解得得a=-2.答案:－2考向3復(fù)數(shù)代代數(shù)形形式的的四則則運(yùn)算算【典例例3】】(1)(2012··遼寧寧高考考)復(fù)復(fù)數(shù)=()(A)(B)(C)(D)(2)(2012··安徽徽高考考)復(fù)復(fù)數(shù)z滿足足：(z-i)(2-i)=5,則z=()(A)-2-2i(B)-2+2i(C)2-2i(D)2+2i(3)若z=cosθθ+isinθθ(i為為虛數(shù)數(shù)單位位)，，則使使z2=1成成立的的θ值值可能是是()(A)(B)(C)(D)ππ【思路路點(diǎn)撥撥】(1)將復(fù)復(fù)數(shù)進(jìn)進(jìn)行分分母實(shí)實(shí)數(shù)化化，根根據(jù)復(fù)復(fù)數(shù)代代數(shù)形形式的四則則運(yùn)算算法則則計(jì)算算.(2)將等等式化化簡(jiǎn)，，根據(jù)據(jù)復(fù)數(shù)數(shù)代數(shù)數(shù)形式式的四四則運(yùn)運(yùn)算法法則進(jìn)進(jìn)行計(jì)計(jì)算.(3)先求求出z2，再根根據(jù)條條件得得到關(guān)關(guān)于θθ的三三角函函數(shù)關(guān)關(guān)系式式，驗(yàn)驗(yàn)證求解解即可可.【規(guī)范范解答答】(1)選A.(2)選D.(z-i)(2-i)=5??z-i=??z=i+=2+2i.(3)選D.z2=(cosθθ+isinθθ)2=cos2θ+isin2θ=1,∴cos2θ=1,sin2θθ=0,∴∴θ=kππ,k∈Z,經(jīng)經(jīng)驗(yàn)證證知選選項(xiàng)D成立立.【拓展展提升升】1.復(fù)復(fù)數(shù)四四則運(yùn)運(yùn)算的的解答答策略略復(fù)數(shù)的的加法法、減減法、、乘法法運(yùn)算算可以以類比比多項(xiàng)項(xiàng)式的的運(yùn)算算，除除法的的關(guān)鍵鍵是分分子分分母同同乘以以分母母的共共軛復(fù)復(fù)數(shù)，，解題題中要要注意意把i的冪冪寫成成最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形式式．2.幾個(gè)常常用結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)運(yùn)算時(shí)，記記住以下結(jié)結(jié)論，可提提高計(jì)算速速度.(1)(1±i)2=±2i;=i;=-i.(2)-b+ai=i(a+bi).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈∈N*.【變式訓(xùn)練練】(1)(2012··天津高考考)i是虛虛數(shù)單位，，復(fù)數(shù)=()(A)2+i(B)2-i(C)-2+i(D)-2-i【解析】選B.=2-i.(2)復(fù)數(shù)數(shù)z＝1＋＋i，為為z的共軛軛復(fù)數(shù)，則則z·－－z－1＝＝()(A)－2i(B)－i(C)i(D)2i【解析】選B.依題題意得z··－z－－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋＋i)－1＝－i，，選B.【創(chuàng)新體驗(yàn)驗(yàn)】復(fù)數(shù)中的新新定義問(wèn)題題【典例】(2013·廣州模模擬)在實(shí)實(shí)數(shù)集R中中，我們定定義的大小小關(guān)系“＞＞”為全體體實(shí)數(shù)排了了一個(gè)“序序”．類似似地，我們們?cè)趶?fù)數(shù)集集C上也可可以定義一一個(gè)稱為““序”的關(guān)關(guān)系，記為為“＞”．．定義如下下：對(duì)于任任意兩個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R)，z1＞z2當(dāng)且僅當(dāng)““a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．按上述定義義的關(guān)系““＞”，給給出如下四四個(gè)命題：：①若z1＞z2，則|z1|＞|z2|；②若z1＞z2，z2＞z3，則z1＞z3；③若z1＞z2，則對(duì)于任任意z∈C，z1+z＞z2+z；④對(duì)于復(fù)數(shù)數(shù)z＞0，，若z1＞z2，則zz1＞zz2.其中所有真真命題的個(gè)個(gè)數(shù)為()(A)1(B)2(C)3(D)4【思路點(diǎn)撥撥】【規(guī)范解答答】選B.對(duì)于于復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1-3i顯然滿足足z1＞z2，但|z1|=,|z2|=，，不滿滿足|z1|＞|z2|，故①不不正確；設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i，由z1＞z2,z2＞z3可得“a1＞a3”或“a1=a3且b1＞b3”，故②正正確；設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z=a+bi，，由z1＞z2可得“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．顯然然有“a1+a＞a2+a”或或“a1+a=a2+a且b1+b＞b2+b”，，從而z1+z＞z2+z.故故③正確確；對(duì)于復(fù)數(shù)數(shù)z1=2+i,z2=1-3i顯然然滿足z1＞z2，令z=1+i，則zz1=(1+i)(2+i)=1+3i，zz2=(1+i)(1-3i)=4-2i,顯然不滿滿足zz1＞zz2，故④錯(cuò)錯(cuò)誤.綜上②③③正確，，故選B.【思考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】1.方法法感悟:本題體現(xiàn)現(xiàn)了類比比方法的的運(yùn)用，，即通過(guò)過(guò)類比的的方式，，給出了了復(fù)數(shù)中中與實(shí)數(shù)數(shù)類似的的結(jié)論，，借以考考查閱讀讀理解和和應(yīng)用新新知識(shí)解解決問(wèn)題題的能力力.這種種類比的的方法在在數(shù)學(xué)中中可以幫幫助我們們得到一一些新的的結(jié)論.2.技巧巧提升:利用復(fù)數(shù)數(shù)與實(shí)數(shù)數(shù)的類比比來(lái)命題題是一個(gè)個(gè)新的考考查方向向，主要要以給出出新概念念或新運(yùn)運(yùn)算為主主，用來(lái)來(lái)考查學(xué)學(xué)生的閱閱讀理解解、應(yīng)用用新知識(shí)識(shí)解決問(wèn)問(wèn)題的能能力.從從實(shí)質(zhì)上上看，此此類問(wèn)題題考查的的還是基基礎(chǔ)知識(shí)識(shí)和基本本技能，，解題的的關(guān)鍵是是抓住新新概念或或新運(yùn)算算的特征征，對(duì)所所給的新新信息進(jìn)進(jìn)行分析析，并且且將所給給信息與與所學(xué)知知識(shí)相結(jié)結(jié)合.1.(2013·湛江江模擬)已知a是實(shí)數(shù)數(shù),i是是虛數(shù)單單位，若若是是純純虛數(shù)，，則a=()(A)1(B)-1(C)(D)-【解析】】選A.，，由題題意知是純虛數(shù)