《十字相乘法》設計2

《十字相乘》教學設計（1）教學目標1．使學生掌握通過換元的方法，把可以轉化為形如x2＋px＋q的某些多項式分解因式，滲透化歸和整體思想方法；2．掌握某些二次齊次式的因式分解方法．教學重點和難點重點：運用換元法，對可轉化為形如x2＋px＋q的某些多項式進行因式分解．難點：理解二次三項式x2＋px＋q中的x即可以是單項式，也可以是多項式；對于p和q，不僅可以是單項式（包括數(shù)），也可以是多項式．教學過程設計一、復習1．把下列各式分解因式：（1）x2＋5x＋4；（2）y2＋4y－5；（3）m2－6m＋8；（4）p2－5p－36．答：（1）（x＋1）（x＋4）；（2）（y＋5）（y－1）；（3）（m－2）（m－4）；（4）（p＋4）（p－9）．2．問：在二次三項式x2＋px＋q中，p和q各滿足什么條件時，可以因式分解?答：把常數(shù)q分解因數(shù)，選擇其中的兩個因數(shù)，使它們的代數(shù)和等于p，此時，二次三項式x2＋px＋q可以分解因式．二、新課二次三項式x2＋px＋q中的x，不僅可以是單項式，也可以是多項式．同樣，P和q不僅可以是單項式（包括數(shù)），也可以是多項式．對于這樣的多項式怎樣分解因式呢?例1把x4＋6x2＋8分解因式．分析：這個多項式不是關于x的二次三項式，如果把x2設為y，那么這個多項式就可轉化為y2＋6y＋8，這是關于y的二次三項式，我們就可以運用上一節(jié)課所學的方法分解因式了．這里，設y＝x2，把y稱為輔助元，這種方法叫做換元法解設x2＝y(tǒng)，則多項式變?yōu)閥2＋6y＋8，把它分解因式，得y2＋6y＋8＝（y＋2）（y＋4）．再把y換成x2，得x4＋6x2＋8＝（x2）2＋6x2＋8＝（x2＋2）（x2＋4）．指出：通過設輔助元，把所給的多項式轉化為形如x2＋px＋q的二次三項式，在解題中，代換的步驟可以省略．例2把（a＋b）2－4（a＋b）＋3分解因式．分析：如果把（a＋b）看作一個整體，這樣原多項式可看成關于（a＋b）的二次三項式，就可以進行因式分解了．解（a＋b）2－4（a＋b）＋3＝（a＋b－1）（a＋b－3）．指出：把（a＋b）看作二次三項式x2＋px＋q中的字母x的方法稱為“換元法”，這種“整體”思想方法是代數(shù)中的主要思想方法，它能起到化難為易，化繁為簡的作用．例3把（x2－3x＋2）（x2－3x－4）－72因式分解．分析：這個多項式較復雜，若能注意題目中的各項的特點，把某些項看作一個整體，運用代換法，即通過設輔助元，把原多項式轉化為形如x2＋px＋q的二次三項式，就可以進行因式分解了．問：運用整體思想和換元法，可以有幾種不同的分解因式的方法?（不要求寫出設輔助元的代換過程．）解方法1把x2－3x看作一個整體．原式＝[（x2－3x）＋2][（x2－3x）－4]－72＝（x2－3x）2－2（x2－3x）－80＝（x2－3x－10）（x2－3x＋8）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．方法2把x2－3x＋2看作一個整體．原式＝（x2－3x＋2）[（x2－3x＋2）－6]－72＝（x2－3x＋2）2－6（x2－3x＋2）－72＝[（x2－3x＋2）－12][（x2－3x＋2）＋6]＝（x2－3x－10）（x2－3x＋8）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．方法3把x2－3x－4看作一個整體．原式＝[（x2－3x－4）＋6]（x2－3x－4）－72＝（x2－3x－4）2＋6（x2－3x－4）－72＝（x2－3x－4＋12）（x2－3x－4－6）＝（x2-3x＋8）（x2-3x-10）＝（x2－3x＋8）（x－5）（x＋2）．指出；通過例3可以看到，如果把二次三項式（x2－3x＋2）與二次三項式（x2－3x－4）相乘，將得到一個四次多項式，這時再分解因式就困難了．如果把其中的某些項看作一個整體（即把它看作一個新的輔助元），這就把問題轉化為我們熟悉的關于新輔助元的二次三項式，就可以用學過的方法分解因式了．例4把x2－3xy＋2y2分解因式．問：所給的多項式的結構特點是什么?答：多項式中的x和y的最高次項都是2次，中間項x與y的乘積項，次數(shù)也是2次，因此這個多項式既可以看作是關于x的二次三項式，也可以看作是關于y的二次三項式．問：如果把它看作是關于x的二次三項式，怎樣分解因式?答：這時，2y2就相當于常數(shù)項，可以把它分解為－y與－2y的積，那么－y＋（－2y）＝－3y恰好等于一次項x的系數(shù)．解x2－3xy＋2y2＝x2－3yx＋2y2＝（x－y）（x－2y）．指出：由例4可以看到，當二次三項式x2＋px＋q中的p和q是一個單項式時，如果q可以分觖成兩個因式之積，而這兩個因式之和正好等于一次項系數(shù)p時，這樣的二次三項式就可以分解因式．三、課堂練習把下列各式分解因式：1．x4－15x2＋26；2．（x＋y）2－（x＋y）－2；3．y4－26y2＋25；4．（a－b）2＋6（b－a）＋5；5．（x2－2x）2－7（x2－2x）－8；6．x2－2xy－8y2；7．x2＋（a＋b）x＋ab；8．x4－7x2y2＋6y4；9．（a＋b）2＋m（a＋b）－12m2．答案：1．（x2－13）（x2-2）；2．（x＋y＋1）（x＋y－2）；3．（y＋5）（y－5）（y＋1）（y－1）；4．（a－b－1）（a－b－5）；5．（x－4）（x＋2）（x－1）2；6．（x＋2y）（x－4y）；7．（x＋a）（x＋b）；8．（x＋y）（x－y）（x2－6y2）；9．（a＋b＋4m）（a＋b－3m）．四、小結本節(jié)課所討論的四個例題都可以通過換元方法，即整體思想方法把原問題轉化為形如x2＋px＋q的二次三項式的因式分解問題．學會具體解題方法固然重要，但通過解數(shù)學題掌握數(shù)學思想方法更為重要．五、作業(yè)把下列各式分解因式：1．（1）x4＋7x2－18；（2）x6＋8x3＋15；（3）m2x2－8mx＋12；（4）x2y2－7xy＋10；2．（1）x2－7xy＋12y2；（2）a2＋2ab－15b2；（3）m2＋4mn－12n2；（4）p2＋9pq＋18q2．3．（1）（m＋n）2－（m＋n）－30；（2）（x－y）2－3（x－y）－40；（3）（2m＋n）2－4r（2m＋n）＋3r2；（4）（a－b）2－12（a－b）－45．4．（1）（x2－4x）2－（x2－4x）－20；（2）（a2＋5a＋3）（a2＋5a－2）－6．答案：1．（1）（x2－2）（x2＋9）；（2）（x2＋3）（x3＋5）；（3）（mx－2）（mx－6）；（4）（xy－2）（xy－5）．2．（1）（x－3y）（x－4y）；（2）（a＋5b）（a－3b）；（3）（m－2n）（m＋6n）；（4）（p＋3q）（p＋6q）．3．（1）（m＋n－6）（m＋n＋5）；（2）（x－y＋5）（x－y－8）；（3）（2m＋n－r）（2m＋n－3r）；（4）（a－b－15）（a－b＋3）．4．（1）（x＋1）（x－5）（x－2）2；（2）（a2＋5a＋3）（a2＋5a－4）－6＝[（a2＋5a）＋3][（a2＋5a）－2]－6＝（a2＋5a）2＋（a2＋5a）－12＝（a2＋5a＋4）（a2＋5a－3）＝（a＋1）（a＋4））（a2＋5a－3）．課堂教學設計說明通過例1～例3的討論，向學生介紹換元法，滲透整體思想和化歸的思想方法，關于換元法和整體思想方法，在教科書中沒有向學生提出，但是，對于幫助學生理解和掌握如例1～例3類型的問題，讓學生學習換元法和整體思想方法是有重要作用的．通過換元法把可化歸為形如x2＋px＋q的某些多項式分解因式，使學生體會到，學習新知就說好比“