的立體幾何知識點和例題

的立體幾何知識點和例題問題(1)是否存在三條直線兩兩互相垂直？若存在，請舉出實際例子。CADB①兩直線沒有公共點，則它們平行；(2)請判斷下列命題是否正確：②垂直于同一條直線的兩條直線平行。21、平面圖形與立體圖形的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：從集合論的角度看，兩者都是點的集合；區(qū)別：②平面圖形由點、線構成，而立體圖形是由點、

線、面構成。①平面圖形的點都在一個平面內，而立體圖形的點不全在一個平面內；32、立體圖形的研究方法①考慮問題時，要著眼于整個空間，而不是局限于某一個平面；②立體圖形的問題常常轉化為平面圖形問題來解決。43、學習要點

①搞清平面圖形和立體圖形的聯(lián)系與區(qū)別；

②發(fā)展空間想像能力；

③提高推理論證能力。54、立體幾何的主要思想方法①類比法：要善于與平面幾何做比較，認識其相同點，發(fā)現(xiàn)其不同點，這種思想方法稱之為類比思想。②轉化法：把空間圖形的問題轉化為平面圖形問題去解決，這是學習立體幾何的很重要的數(shù)學思想方法。③展開法：將可展的空間圖形展開為平面圖形，來處理問題的思想方法稱為展開思想。614.1(1)平面的基本性質7一、平面③一個平面把空間分成兩部分。一條直線把平面分成兩部分。2、平面的特征：①無厚度、無邊界、無長度、無寬度(不能度量)；②無限延展的；1、平面的概念：不定義的原始概念83、平面的畫法：通常用平行四邊形來表示平面。4、平面的表示方法：②垂直放置①水平放置②平面M③平面ABCDM①平面③傾斜放置95、相交平面的畫法：注意：必須畫出其交線，被遮部分的線段畫成虛線或者不畫。10lBABABAl11二、點與線、點與面的位置關系（集合語言表示法）點P在(不在)直線l上，點A在(不在)平面

上，12三、線與面的位置關系（集合語言表示法）(1)直線l在平面上(或平面經過直線l)：直線l上的所有點都在平面上。13(2)直線l在平面外①直線l與在平面相交:直線l與平面只有一個公共點。Pl14②直線l與在平面平行:直線l與平面沒有公共點。15直線與平面的位置關系（集合語言表示法）(1)直線l在平面上(或平面經過直線l)：(2)直線l在平面外①直線l與在平面相交P:②直線l與在平面平行:16四、面與面的位置關系（集合語言表示法）(1)平面與平面相交：空間不同的兩個平面有公共點P。17(2)平面與平面平行：兩個平面沒有公共點。18平面與平面的位置關系（集合語言表示法）(1)平面與平面相交于直線l：(2)平面與平面平行：19公理1如果直線l上有兩個點在一個平面上，那么直線l在平面上。

集合語言表述20例1、判斷題②如果一條直線上所有的點都在某一個面內，那么這個面一定是平面；③一個平面一定可以把空間分成兩部分。①直線l與平面的公共點的個數(shù)為0、1、2；？兩個平面可以把空間分成幾部分，三個平面呢？21公理2如果不同的兩個平面

有一個公共點

P，那么的交集是過點P的直線l。22例2、試用集合符號表示下列各語句，并畫出圖形：①點A在平面上，但不在平面上；②直線l經過不屬于平面的點A；③平面與平面相交于直線l且經過點P。23PQ24Q25ABCDEP例5、已知D、E分別是ΔABC的邊AC、BC上的點，平面經過D、E兩點（如圖所示）求作：直線AB與平面的交點P26例1、判斷題②如果一條直線上所有的點都在某一個面內，那么這個面一定是平面；③如果一條直線在一個面上無論怎樣放置，都與這個面有無數(shù)個公共點，那么這個面一定是平面；④一個平面一定可以把空間分成兩部分。①直線l與平面的公共點的個數(shù)為0、1、2；2714.2(2)平面的基本性質公理3

不在同一直線上的三點確定一個平面。

①“有且只有”、“存在且唯一”、“確定一個”表示同一個意思；說明：

②平面與平面有三個不共線的公共點，那么與重合。推論1、一條直線和直線外的一點確定一個平面。

PBC推論2、

兩條相交直線確定一個平面。

PAB推論3、兩條平行直線確定一個平面。

A例1、回答下列問題①三條直線相交于一點，可以確定多少個平面？②兩兩平行的三條直線，可以確定多少個平面？③三點可以確定多少個平面？④四點可以確定多少個平面？1或31或31或不確定1或4或不確定⑤三個平面將空間分成的部分可能有幾種？4或6或7或8例2、判斷下列命題的真假，真的打“√”，假的打“×”(1)空間三點可以確定一個平面(2)兩條直線可以確定一個平面(3)兩條相交直線可以確定一個平面(4)一條直線和一個點可以確定一個平面(5)三條平行直線可以確定三個平面(6)兩兩相交的三條直線確定一個平面(7)兩個平面若有不同的三個公共點，則兩個平面重合(8)若四點不共面，那么每三個點一定不共線

××××××√√例3、已知不共點的三條直線兩兩相交，求證：這三條直線共面。ABC例4、已知：一條直線和兩條平行線都相交，求證：這三條直線共面。BAabl證明直線共面的常用方法：1、①先由這些直線中的某些直線確定一個平面；②然后證明其他直線都在這個平面上。2、①先證明這些直線分別在兩個（或幾個）平面上；②然后證明這兩個（或幾個）平面重合。14.2(1)空間直線與直線的位置關系公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行

平行線的傳遞性。abced觀察：將一張紙如圖進行折疊，則各折痕及邊

a,b,c,d,e,…之間有何關系？a∥b∥c∥d∥e∥…例1、已知在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。AB

DEFGHC如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?菱形空間四邊形：順次連結不共面的四點A、B、C、D所組成的四邊形叫空間四邊形，相對頂點的連線AC、BD叫空間四邊形的對角線。例2、已知在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，且EFGH是平面四邊形，EH不平行FG。求證：直線EH、FG、BD共點。ABCDEHFGP證明若干條直線共點的常用方法：①先確定兩條直線的交點；②然后證明其他直線也經過此點。在平面內,我們知道“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”?？臻g中這一結論是否仍然成立呢？定理1(等角定理)：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。P1Q1PQOabO1a1b1特征：方向相同OabO1a1b1等角定理從平面幾何推廣到立體幾何C'D'B'CDABA'14.2(2)空間直線與直線的位置關系問題：空間中的兩條直線有幾種位置關系？1、空間兩條直線的位置關系(不重合）⑴相交直線⑵平行直線⑶異面直線---有且僅有一個公共點---在同一平面內,沒有公共點①不存在任何一個平面；②沒有公共點---不能置于同一個平面內同在一個平面內相交直線平行直線

不同在任何一個平面內：異面直線

有一個公共點：相交直線無公共點平行直線異面直線按平面基本性質分按公共點個數(shù)分2、異面直線的畫法αabαβbaabαβ說明:畫異面直線時,為了體現(xiàn)它們不共面的特點。常借助一個或兩個平面來襯托.例1、已知：直線l與平面相交于點A，直線m

在平面上，且不經過點A，求證：直線l與直線

m是異面直線3、證明異面直線的方法--反證法和定義法αab例2、已知A、B、C、D是不在同一平面內的空間四點，求證：AB與CD、BD與AC、AD與BC是異面直線。練習1、選擇題⑴兩條直線a、b分別和異面直線c、d都相交，則直線

a、b的位置關系是()A、一定是異面直線 B、一定是相交直線C、可能是平行直線 D、可能是異面直線，也可能是相交直線 ⑵一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是()A、平行 B、相交 C、異面 D、相交或異面練習2、已知長方體中平行相交異面②BD和FH是

直線①EC和BH是

直線③BH和DC是

直線BACDEFHG(2)與棱AB所在直線異面的棱共有

條?4分別是：CG、HD、GF、HE思考題：這個長方體的棱中共有多少對異面直線?(1)說出以下各對線段的位置關系?2414.2(3)空間直線與直線的位置關系1、異面直線所成的角：對于異面直線a和b，在空間任取一點P，過P分別作a和b的平行線a′和b′，我們把

a′與b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角。abPa′b′PPa′①異面直線所成角的取值范圍：②當兩條直線所成角為直角時，則a與b垂直。記作：a⊥b說明：當兩條直線所成角為零角時，則a與b平行或重合。例1(1)直線AA'與哪些棱所在的直線是互相垂直的異面直線？與C'D'，CD，B'C'，BC是互相垂直的異面直線。(2)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直呢？(3)垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？ABCDA′B′C′D′垂直平行、異面、相交2、求異面直線所成角的一般方法①找出異面直線所成的角θ②簡單說明理由③解含θ的三角形作、證、算①平移法（常用方法）②補形法3、定角一般方法正弦定理ABCbc余弦定理ABCbca預備知識例2、在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E、F分別是線段A1B1，BB1的中點，出下列各對線段所成的角。(1)AB與CC1(2)A1B1與AC(3)A1B與D1B1B1CC1ABDA1D1=90°=45°=60°(4)EF與D1B1

EF=60°(5)AD1與B1C=90°ABDCA1B1D1C1A1B和B1C所成角為60°在正方體AC1中，求異面直線A1B和B1C所成的角？ABDCA1B1D1C1MN在正方體AC1中，M,N分別是A1A和B1B的中點，求異面直線CM和D1N所成的角？例3、在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=a，E、F分別是線段A1B1、BB1的中點，求出下列各對線段所成角的大小。(1)EF與AD1(2)EF與B1C(3)EF與A1CEF(4)EF與AC1ABDCA1B1D1C1E在正方體AC1中，求異面直線D1B和B1C所成的角？ABCDEF例4、已知在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E、F分別是AB、CD上的中點，且EF=，求直線AD、BC所成角的大小。60°M思考題：已知正四面體ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點，求(1)直線EF、AC所成角的大小；(2)直線AE、CF所成角的大小。CBDAEFMPABCMN空間四邊形P-ABC中，M，N分別是PB，AC的中點，PA=BC=4，MN=3，求PA與BC所成的角？E14.3(1)空間直線與平面的位置關系68(1)直線在平面內（有無數(shù)個公共點）；線面位置關系：

(2)直線在平面外Pl（僅有一個公共點）（無公共點）69日常生活中的直線與平面垂直的例子701、線面垂直定義：

一般地，如果一條直線l與平面α上的任何直線都垂直，那么我們就說直線l與平面α垂直，記作：l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面，l與的交點P叫做垂足.lP畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。71線面垂直直觀圖的畫法：722、線面垂直的性質（公理）(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直；(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直。73例1、下列命題是否正確？為什么？(1)如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直。(2)如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內的無數(shù)條直線?！痢?4跨欄的支架753、線面垂直的判斷定理---定理2如果直線l與平面

上的兩條相交直線a、b都垂直，那么直線l與平面垂直。76lOabgP1PlABC77例2、求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。在上作兩條相交直線mnP78例3、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、

CC1的中點，判斷下列結論是否正確？

①AC⊥面CDD1C1

②AA1⊥面A1B1C1D1③AC⊥面BDD1B1

④EF⊥面BDD1B1

⑤AC⊥BD1⑥BD⊥A1F×√√√√√79例4、已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O

是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD。求證：PO⊥平面ABCDBDCPA80求證：平面上的一條直線，如果和這個平面的一條斜線在平面上的射影垂直，那么這條直線就和這條斜線垂直。逆命題是：平面上的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么這條直線就和這條斜線在平面上的射影垂直。CDE81小結1、線面垂直的定義2、線面垂直的判斷定理8214.3(2)空間直線與平面的位置關系83復習①線面垂直的定義②線面垂直的判斷定理84空間圖形中的有關距離：

1、點M和平面的距離設M是平面外一點，過點M作平面α的垂線，垂足為N，我們把點M到垂足N之間的距離叫做點M和平面的距離。852、直線l和平面的距離設直線l平行于平面，在直線l上任取一點M，我們把點M到平面的距離叫做直線l和平面的距離。863、平面和平面的距離設平面平行平面，在平面上任取一點M，我們把點M到平面的距離叫做平面和平面的距離。87在正方體中，觀察給出的三條棱所在直線的關系：884、異面直線a和b的距離設直線a和直線b是異面直線，當點M、N分別在a和b上，且直線MN既垂直于直線a，又垂直于直線b時，我們把直線MN叫做異面直線a和b的公垂線，垂足M、N之間的距離叫做異面直線a和b的距離。89說明：(1)異面直線間距離具有存在性、唯一性、最小性；(1)找出公垂線段；(2)異面直線間距離的求法：先“證”后“算”。5、異面直線距離的方法(2)轉化為線面距離。90例1、如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=

4cm、AB=5

cm、AD=

6cm。求(1)求點A和點C1的距離；(2)求點A到棱B1C1的距離；(3)求棱AB和平面A1B1C1D1的距離；(4)求異面直線AD和A1B1的距離。91例2、已知線段AB的兩端點A、B到平面的距離分別是30cm和50cm。求分線段為AP:PB=3:7的點P到平面的距離。36cm或6cmBAPP1A1B1BAB1A1PP192例3、AB是⊙O的直徑，C為圓上一點，AB＝2，AC＝1，P為⊙O所在平面外一點，且PA⊥⊙O，(1)證明：BC⊥平面PAC；(2)若∠PBA=45°，求點A到平面PBC的距離。93例4、正方體ABCD——A1B1C1D1中，P為AB中點，Q為BC中點，AA1=a,O為正方形ABCD的中心，求PQ與C1O間的距離。M94例4、如圖，已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都是1，D、E分別是OA、BC的中點，連結DE。(1)求證：DE是OA和BC的公垂線；(2)求OA和BC間的距離。OABCDE95小結(1)點面距離；(2)線面距離；(3)面面距離；(4)異面直線間的距離。96練、如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=

5AB=12，AD=

13。(1)求點B和點D1的距離；(2)求點C到棱A1B1的距離；(3)求棱CD和平面AA1B1B的距離；(4)求異面直線DD1和B1C1的距離。9714.3(3)(4)空間直線與平面的位置關系——直線與平面所成的角98線面關系直線與平面的位置關系：1.直線在平面內：2.直線與平面相交：3.直線與平面平行：有無數(shù)個公共點有且只有一個公共點沒有公共點a

a

Aa線面相交的特殊情況——線面垂直定義：定理2：如果一條直線l與平面上的任何直線都垂直如果直線l與平面

上的兩條相交直線a、b都垂直，那么直線l與平面

垂直?！裉煅芯烤€面相交的一般情況991、平面的斜線當直線l與平面

相交且不垂直時，叫做直線l與平面

斜交，直線l叫做平面α的斜線。斜線l與平面

的交點M叫做斜足，斜線上一點與斜足間的線段叫做這個點到平面的斜線段。

A1002、射影設直線l與平面

斜交于點M，過l上任意點A（異于點M），作平面

的垂線，垂足為O，我們把點O叫做點A在平面

上的射影，直線OM叫做直線l在平面

上的射影。斜線上一點與垂足間的線段叫做這個點到平面的垂線段。垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影。思考：直線l在平面上的射影與點A在l上的取法是否有關？101思考：直線l在平面上的射影與點A在l上的取法是否有關？A'O'假設在直線l上另取點A'（異于M），在面AMO內過A'作A'O'//AO交MO于點O'。因為AO⊥平面，所以A'O'⊥平面

。所以直線l在平面上的投影是直線MO'（即MO）直線l在平面上的射影與點A在l上的取法無關！即對于任意一條斜線在平面內的射影是唯一的！102例1、如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）線段AB1在面BB1D1D中的射影（2）線段AB1在面A1B1CD中的射影A1D1C1B1ADCBO線段B1O103A1D1C1B1ADCBE線段B1E例1、如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）線段AB1在面BB1D1D中的射影（2）線段AB1在面A1B1CD中的射影104思考一：通過觀察比薩斜塔，如果把斜塔看成斜線，地面看成面，如何用數(shù)學知識來描述斜塔的傾斜程度呢？如何求得呢？線面所成的角思考二：異面直線所成的角是如何定義的？思考三：那么斜線與平面所成角是否也可類比定義，轉化為兩相交直線所成的角？轉化為兩相交直線所成角來定義但經過斜足的直線有無數(shù)條，選取哪條直線與斜線所成的角來定義直線與平面所成的角呢？由于斜線在一個平面內的射影是確定的，而面內其它的直線卻具有不確定性！105AOBC探究：斜線與射影所成角和斜線與平面內任意一條直線的所成角之間的大小關系？斜線與射影所成角是斜線與平面內任意一條直線的所成角中的最小值！1063、直線和平面所成的角規(guī)定斜線l與其在平面

上的射影OM所成的銳角叫做直線l與平面

所成的角。規(guī)定：當直線l與平面

垂直時，它們所成的角等于90若直線l與平面

平行或直線l在平面

上時，它們所成的角為0。107說明：(1)直線和平面所成角的范圍是(2)斜線和平面所成角的范圍是108例2、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中的棱長為1，(1)求直線D1B1和平面A1B1BA所成的角；解：109(2)求直線D1B和平面ABCD所成的角。

解：110練習：如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB0o111練習：如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB90o112練習：如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角C45oA1D1C1B1ADB113練習：如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCBE30o114小結：求直線與平面所成的角方法(1)先判斷直線與平面的位置關系；(2)當直線與平面斜交時，常采用以下步驟：①作出(找出)斜線上的點到平面的垂線；②作出(找出)斜線在平面上的射影；③求出斜線段、射影、垂線段的長度；④解此直角三角形。其中關鍵是確定斜足和垂足115思考題：已知正六邊形ABCDEF的棱長為1，PA垂直于正六邊形ABCDEF所在的平面M，且PA=1。求點P與正六邊形各頂點連線和平面M所成的角；BEACDFP116(2)點P到正六邊形各邊的距離。BEACDFP117課后作業(yè)：P7（A）6、8P10（B）3、4P188、9.11堂堂練P1114.3（2）118觀察：從平面外一點引平面的垂線段和斜線段及其射影，你有何發(fā)現(xiàn)？119ACBO從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長（3）垂線段比任何一條斜線段都短垂線段和斜線段長定理120例2、點P是△ABC所在平面外一點，且P點到△ABC三個頂點距離相等，則P點在△ABC所在平面上的射影是△ABC的_______心。PCBAO外121回顧有關概念：MAM線段AM點OAO直線OM線段OM點A在平面α上的射影點A到平面α的垂線段平面α的一條斜線斜足斜線段斜線AM在平面α上的射影斜線段AM在平面α上的射影連連看122例2、點P是△ABC所在平面外一點，且P點到△ABC三邊所在直線的距離相等，則P點在△ABC所在平面上的射影O是△ABC的_______心。PCBAO內123PABCHD例3、正四面體P-ABC中，求側棱PA與底面ABC所成的角。124PABCHD例3、正四面體P-ABC中，求側棱PA與底面ABC所成的角。125SACBOFE例4、如圖ACB=90，S為平面ABC外一點，SCA=SCB=60，求SC與平面ACB所成的角。126AOBC例5、直線OA與平面所成的角為，平面內一條直線OC與OA的射影OB所成的角為1

，設∠AOC為2求證：cos2=cos1×cos127ABCDA1B1C1D1例6、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線B1C和平面D1AC所成的角。H12814.3(5)空間直線與平面的位置關系129(1)直線在平面內（有無數(shù)個公共點）；線面位置關系：(2)直線在平面外Pl（僅有一個公共點）（無公共點）130感受校園生活中線面平行的例子:天花板平面131

如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。ab已知：直線a不在平面

上，b，ab求證：a≠1、直線和平面平行的判定定理簡稱：線線平行線面平行132abP133用該定理判斷直線和平面是否平行時必須具備三個條件：①直線a在平面α外，

②直線b在平面α內，③兩條直線a、b平行這三個條件缺一不可.134

如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。簡稱：線面平行線線平行已知：a//，a，=b求證：a//b

≠2、直線和平面平行的性質定理ab135ab已知：a//，a，=b求證：a//b

≠136例1、判斷題(4)如果直線和平面平行，那么直線和平面內的所有直線平行。(3)如果直線和平面平行，那么直線和平面內的無數(shù)條直線平行；(2)如果一條直線和平面內的一條直線平行，那么直線和平面平行；(1)如果一條直線在平面外，那么直線和平面平行；√×××137說明：使用直線與平面平行的判定定理和性質定理時，必須都具備三個條件。(1)線線平行線面平行；(2)線面平行線線平行。138例2、正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1

上的點，過點P畫一條直線使之與截面A1BCD1

平行。A1AB1D1CBPC1D139例3、已知空間四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：BD∥平面MNPQ.ABCDMPNQ140例4、在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點。求證：AB1//平面DBC1PB1BC1CA1DA141例5、在正方體ABCD—A1B1C1D1中，試作出過AC且與直線D1B平行的截面，并說明理由。

OM142lα

β如果兩個相交平面分別經過兩條平行直線中的一條,那么它們的交線和這兩條直線平行。ab例6、求證：143小結：2、“線線平行”與“線面平行”在一定條件下可互相轉化，它們互為條件，互為結論；3、在解題過程中，常需將判定定理與性質定理相結合，得到需要的結論。1、判定定理和性質定理三要素；14414.4(1)空間平面與平面的位置關系145一、二面角1、半平面：平面的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做一個半平面。半平面半平面146

α∩β＝AB，由α、β的半平面及其交線AB所組成的空間圖形叫做二面角。記作：2、二面角的定義：交線AB叫做二面角的棱棱面面AB也記作：兩個半平面α、β叫做二面角的面。1473、二面角的畫法：(1)平臥式(2)直立式148二、二面角的平面角在二面角的棱AB上任取一點O，過O分別在面α和β上作棱AB的垂線OM和ON，射線OM和ON所成的角叫做二面角α-AB-β的平面角。如圖θ149說明：1、二面角的平面角的特點：(3)角的兩邊都要垂直于二面角的棱。(1)角的頂點在棱上；(2)角的兩邊分別在兩個半面內；lOABAOB1503、二面角的范圍：2、當二面角的平面角是n°時，就說這個二面角是

n°(0°≤n°

≤180°)；4、二面角的大小與點O在棱上選取的位置無關；5、平面角是直角的二面角叫做直二面角。151三、二面角的平面角定位(1)點P在棱上：

定義法AB152(2)點P在一個半平面上：垂線法PHB①②③過H向棱作垂線HB，交棱于B，∠PBH就是二面角的平面角。④連結PB。153(3)點P在二面角內：

垂面法PαβιABO通過做二面角的棱的垂面，兩條交線所成的角即為平面角。154(4)射影法：若多邊形的面積是S，它在一個平面上的射影圖形面積是S0，則二面角的大小為

ABCDO155156例1、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求(1)二面角D1-AB-D的大小；(2)二面角A1-AB-D的大小。157例2、已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求(1)二面角B1-AA1-C1的大小；(2)二面角B-AA1-D的大??；(3)二面角C1-BD-C的大小。158例3、在一個傾斜角為300的斜坡上，沿著與坡腳的水平線成600角的道路上山，行走100米，求這個人升高了多少米？ABHC100300600159PAOB例4、如圖，二面角的大小為，PA⊥于A點，PB⊥于B點，PA=4，PB=6，求點P到棱的距離.l160例4、在銳二面角中，，若Ａ到的距離是Ａ到的距離的倍，求二面角的大?。瓵B=2AO161例5、如圖，的斜邊在平面內，AC、BC與平面所成角為300和450，求所在平面與平面所成的銳二面角。162例7、如圖，二面角的平面角為,PA⊥于A點，PB⊥于B點，PA=a,PB=b,求點P到棱的距離.PAOBθπ－θ163例8、將邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角后，求B、D兩點間的距離。ACBDBACDM1642、二面角的平面角1、二面角3、求二面角的平面角方法①點P在棱上②點P在一個半平面上③點P在二面角內—定義法—垂線法—垂面法小結：④射影法16514.4(2)空間平面與平面的位置關系166例1、已知二面角的大小為，線段CD夾在二面角內，CA⊥l，DB⊥l，垂足分別為A、B，且AC=6，BD=8，AB=4，求CD的長.DABCE167例2、已知二面角的大小為，線段AB夾在二面角內，CA⊥l，DB⊥l，垂足分別為A、B，且AC=2，AB=10，求AB與平面所成的角。ACBDH168例3、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是中點，求截面A1ECF和底面ABCD所成的銳二面角的大小。EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C169EFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH170例4(1)已知P是平面ABC外一點，且PA=PB=PC，試判斷點P在底面ABC的射影的位置？OA=OB=OCO為三角形ABC的外心PABCO171(2)已知P是平面ABC外一點，且P到底面三角形ABC的三條邊的距離相等，試判斷點P在底面ABC的射影的位置？O為三角形ABC的內心PABCOEF172(3)已知P是平面ABC外一點，且PA、PB、PC兩兩垂直,試判斷點P在底面ABC的射影的位置？O為三角形ABC的垂心PABCDO1731、三條側棱相等2、側棱與底面所成的角相等3、側面與底面所成的角相等4、頂點P到ABC的三邊距離相等5、三條側棱兩兩垂直6、相對棱互相垂直7、三個側面兩兩垂直外心外心內心內心垂心垂心垂心在下列條件下，判斷三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC內的射影位置17414.4(3)空間平面與平面的位置關系1751、直線與平面平行的判定定理和性質定理(1)線線平行線面平行；(2)線面平行線線平行。復習1762、兩個平面的位置關系

沒有公共點有一條公共直線位置關系兩平面平行兩平面相交公共點符號表示圖形表示1773、兩個平面平行的畫法(2)不正確畫法178由兩個平面平行的定義得：1、如果兩個平面平行，那么在其中一個平面內的所有直線一定都和另一個平面平行；2、如果一個平面內的任意直線都和另一個平面平行,那么這兩個平面平行。兩個平面平行的問題可以轉化為線面平行的問題來解決，可是最少需要幾條線與面平行呢？179

若平面α內有兩條直線a、b都平行于平面β，能保證α∥β嗎？βαabβαab1801、平面平行的判定定理如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。已知：a在β平面上，b在β平面上，a∩b=P，

a∥α，b∥α求證：α∥βabP簡稱：線面平行面面平行181已知：a在β平面上，b在β平面上，a∩b=P，

a∥α，b∥α求證：α∥βbβαaPl182如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。2、兩個平面平行的性質定理簡稱：面面平行線線平行183例1、判斷題1.若平面α內有兩條直線平行于平面β,則α與β平行；2.若平面α內有無數(shù)條直線平行于平面β,則α與β平行；3.平行于同一條直線的兩個平面平行；4.兩個平面分別經過兩條平行直線,則這兩個平面平行?！痢痢痢?84例2、如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，求證：平面C

′DB∥平面AB′D′D'C'B'A'DCBA線線平行線面平行面面平行185例3、求證:夾在兩個平行平面間的平行線段相等.186例4、如圖,設AB、CD為夾在兩個平行平面、之間的線段，且直線AB、CD為異面直線，M、P分別為AB、CD的中點，求證：直線MP//平面.18715.1多面體的概念188一、基本概念由平面多邊形(或三角形)圍成的封閉體叫做多面體.構成多面體的各平面多邊形(或三角形)叫做多面體的面.多面體相鄰面的公共邊叫做多面體的棱.棱與棱的交點叫做多面體的頂點.189二、兩種簡單多面體1、棱柱如果一個多面體有兩個全等的多邊形的面相互平行，且不在這兩個面上的棱都相互平行，那么這個多面體叫做棱柱.棱柱的兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的側面，棱柱的側面都是平行四邊形.不在底面上的棱叫做棱柱的側棱.兩個底面間的距離叫做棱柱的高.多面體的面多面體的棱多面體的頂點190(1)側棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的側面都是矩形，且這些矩形高相等，直棱柱的高與側棱的長相等。191(2)底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱正棱柱的各側面是全等的矩形AA’BB’CC’正三棱柱A’B’C’ABCD’D正四棱柱ABCDFEA’B’C’D’F’E’正六棱柱正棱柱是同時滿足下列兩條的棱柱：192(3)特殊性質的棱柱底面是平行四邊形的棱柱有六個面，且六個面都是平行四邊形。這樣的棱柱叫做平行六面體.ABCDA’B’C’D’193底面是矩形的直棱柱叫做長方體A’B’C’ABCD’D所有棱長都相等的長方體叫做正方體A’B’C’ABCD’D194例1、下列幾何體哪些是棱柱？直棱柱？正棱柱？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）195例2、下列命題正確的是()A.有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱.B.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形幾何體叫棱柱.C.有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱.D.有兩個相鄰側面垂直于底面的棱柱是直棱柱.DABCA1B1C1196練：把四棱柱集合、平行六面體集合、直平行六面體集合、長方體集合、正四棱柱集合、正方體集合分別記作集合A、B、C、D、E、F，試考慮A、B、C、D、E、F之間的包含關系197例3、下列命題中的假命題是()A.直棱柱的側棱就是直棱柱的高.B.有一個側面是矩形的棱柱是直棱柱.C.直棱柱的側面是矩形.D.有一條側棱垂直于底面的棱柱是直棱柱.例4、棱柱成為直棱柱的一個充要條件是()A.棱柱有一條側棱與底面的兩邊垂直.B.棱柱有一個側面與底面的一條邊垂直.C.棱柱有一個側面是矩形，且它與底面垂直.D.棱柱的側面與底面都是矩形.

B

C198例5、判斷下列各說法是否正確：(1)有兩個全等的多邊形的面相互平行，其余各面是平行四邊形的多面體是棱柱；(2)棱柱的側棱彼此平行；(3)棱柱的高等于棱柱的側棱長；(4)有兩個側面垂直于底面的棱柱是直棱柱；×××√199(5)底面是正方形的棱柱是一種長方體。(6)所有棱長都相等的直棱柱是一種正方體。(7)底面是菱形的棱柱是一種平行六面體。(8)側面都是全等矩形的棱柱是一種正棱柱?！痢獭痢?00如果一個多面體有一個多邊形的面，且不在這個面上的棱都有一個公共點，那么這個多面體叫做棱錐.棱錐的多邊形的面叫做棱錐的底面，其他的面叫做棱錐的側面，棱錐的側面都是三角形.不在底面上的棱叫做棱錐的側棱側棱的公共點叫做棱錐的頂點頂點與底面之間的距離叫做棱錐的高2、棱錐201(1)棱錐的分類按底面多邊形的邊數(shù)分類可分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等等。ABCDEP五棱錐P-ABCDEPABCD四棱錐P-ABCD三棱錐P-ABCACPB202(2)特殊性質的棱錐如果棱錐的底面是正多邊形，且底面中心與頂點的連線垂直于底面，那么這個棱錐叫做正棱錐.PABCD正四棱錐ABCDFEP正六棱錐APBC正三棱錐正棱錐的各側棱長相等；正棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形；正棱錐的高與其頂點到底面中心的距離相等。203正棱錐是同時滿足下列條件的棱錐：2.頂點與底面中心的連線垂直于底面。204(4)棱錐的高可以是棱錐的一條側棱長；（

）例6、判斷下列各說法是否正確：(1)底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；（）(2)各側棱的長都相等的棱錐是正棱錐；（

）(3)各側面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；（

）(5)正四面體是一種正三棱錐。（

）×××√√20515.2(1)(2)多面體的直觀圖要在平面上畫出具有立體感的空間圖形的直觀圖，就要求畫圖方法符合透視的原理。平行透視點透視206“斜二測”畫圖法（Ⅰ）規(guī)定按圖所示的位置和夾角作三條軸分別表示鉛垂方向、左右方向以及前后方向的軸，依次把它們叫做z軸、y軸和x軸zyx135°（Ⅱ）規(guī)定z軸和y軸方向上線段與其表示的真實長度相等，而在x軸方向上，線段的長度是其表示的真實長度的二分之一有了以上規(guī)定之后，可在鉛垂方向、左右方向和前后方向分別測量空間圖形在對應方向上線段的長度，并計算出這些線段在x軸、y軸和z軸方向上相應的長度，從而畫出空間圖形的直觀圖用這種方法畫的空間圖形的直觀圖叫做斜二軸測圖207“斜二測”畫圖法有兩條重要性質：208

畫多面體的直觀圖，首先要畫出它的底面多邊形的直觀圖（通常稱為底面多邊形的水平放置圖）。

4cm4cm3cmABCDDCAB209

a的正六邊形的直觀圖GAFCBEDaFCG2a2aAEBDxxyy210

ABC3cmBC3cmMMA211

ABC-A’B’C’的直觀圖，使它的底面是邊長為2cm的正三角形，高為3cmABCA’B’C’z軸方向，作3cm線段AA’、BB’和CC’ABCA’B’、B’C’和C’A’212ABCA’B’C’ACBA’C’B’你能敘述出這兩個圖的畫圖過程嗎？213

例4.畫三棱錐的直觀圖，使它的底面是腰長為a的等腰直角三角形，過直角頂點的側棱長為a,且垂直于底面ABCD21415.2(3)多面體的直觀圖定義:當一個平面截多面體時，多面體的表面與平面的交線所圍成的平面圖形叫做平面截多面體的截面。例1、已知正方體ABCD-A1B1C1D1，1）畫出由點A1、C1、D確定的平面與正方體表面的交線。2)平面將正方體分割為怎樣的兩個多面體，畫出這兩個多面體的直觀圖ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1PMQ例2、1)已知P是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1的中點，過A、P、D1作一個平面，畫出此平面截正方體的截面。2)平面將正方體分割為兩個多面體，畫出這兩個多面體的直觀圖ABCDA1B1C1D1PQ例3、已知P、Q是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC的中點，過P、Q、D1作一個平面，畫出此平面截正方體的截面。例4、已知P、Q、M是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、A1D1的中點，過P、Q、M作一個平面，畫出此平面截正方體的截面。ABCDA1B1C1D1PQM例4(1)已知P是平面ABC外一點，且PA=PB=PC，試判斷點P在底面ABC的射影的位置？OA=OB=OCO為三角形ABC的外心PABCO(2)已知P是平面ABC外一點，且P到底面三角形ABC的三條邊的距離相等，試判斷點P在底面ABC的射影的位置？O為三角形ABC的內心PABCOEF(3)已知P是平面ABC外一點，且PA、PB、PC兩兩垂直,試判斷點P在底面ABC的射影的位置？O為三角形ABC的垂心PABCDO1、三條側棱相等2、側棱與底面所成的角相等3、側面與底面所成的角相等4、頂點P到ABC的三邊距離相等5、三條側棱兩兩垂直6、相對棱互相垂直7、三個側面兩兩垂直外心外心內心內心垂心垂心垂心在下列條件下，判斷三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC內的射影位置旋轉體15．3旋轉體的概念225生活中旋轉體的例子226我們把由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫做旋轉體.這條定直線叫做旋轉體的軸。227※圓柱的兩個底面間的距離（即AB的長度）叫做圓柱的高1．圓柱※如圖，將矩形ABCD（及其內部）繞其一條邊AB所在直線旋轉一周，所形成的幾何體叫做圓柱※

AB所在直線叫做圓柱的軸※線段AD和BC旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面※線段CD旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面※CD叫做圓柱側面的一條母線ABCD軸底面底面?zhèn)让婺妇€互相平行2282．圓錐※圓錐的頂點到底面間的距離（即AB的長度）叫做圓錐的高※將直角三角形ABC（及其內部）繞其一條直角邊AB所在直線旋轉一周，所形成的幾何體叫做圓錐※

AB所在直線叫做圓錐的軸，點A叫做圓錐的頂點※直角邊BC旋轉而成的圓面叫做圓錐的底面※斜邊AC旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面※斜邊AC叫做圓錐側面的一條母線頂點ABC軸側面底面母線與軸夾角相等229軸截面(過軸的截面)矩形等腰三角形230圓柱與圓錐的相同點：1.與軸垂直的邊旋轉形成的面叫做底面。2.底面都是圓面。3.不與軸垂直的邊旋轉形成的曲面叫做側面，無論旋轉到什么位置，這條邊都叫做圓柱側面的母線。4.平行于底面的截面都是圓面。不同點：1.圓柱有兩個底面；圓錐有一個底面。2.圓柱的所有母線互相平行;圓錐的所有母線交與一點231練習：3.平行于母線的平面截圓錐，截面是等腰三角形。1.直角三角形一邊為旋轉軸，旋轉所得的旋轉體是圓錐。4.過圓錐頂點的截面是等腰三角形?！痢獭?.圓柱是將矩形旋轉一周所得的幾何體。判斷下列命題×2323．球※將圓心為O的半圓（及其內部）繞其直徑AB所在的直線旋轉一周，所形成的幾何體叫做球，記作球OO※半圓的圓弧所形成的曲面叫做球面※點O到球面上任意點的距離都相等，把點O稱為球心B※把原半圓的半徑和直徑分別稱為球的半徑和球的直徑ACD233大圓小圓ABOCO1C1大圓所在的平面經過球心小圓所在的平面不經過球心234練習：1.過球面上的任意兩點作球的大圓,只可以作1個?！?.當平面到球心的距離小于球半徑時，球面與平面的交線總是一個圓?！?.球的任意兩個大圓的交點的連線是球的直徑?！?.過空間4點總能作一個球?！?35例1：如圖，設AB是球O的直徑，AB=10，O1是AB上的點，平面α通過點O1，且垂直于AB，截得圓O1，當O1滿足下列條件時，求O1的半徑r1。

(1)OO1=4；

ABOCO1解：(2)OO1=23236練習：1.圓柱的高為4cm，底面半徑為3cm，已知上底面一條半徑OA與下底面的一條半徑O′B′成60°角，求：（1）直線AB′與圓柱的軸OO′所成的角；（2）線段AB′的長。CAB′BOO′2372.過圓錐頂點S作截面SAB與底面成60°二面角，且分底面圓周為1：2兩段，已知截面面積為cm2。求底面圓的半徑。SABOCD答案：3cm解：2383.（1）過球半徑的中點，作一個垂直于這半徑的截面，那么這個截面的面積與球的大圓面積之比是______________。3：4（2）已知球的半徑為14的球面上有A，B，C三點，且AB=9，AC=15，∠BAC=120°，則球心O到A，B，C三點所確定的平面的距離是________。7（3）已知半徑為5的球的兩個平行截面的周長分別為，則兩平行截面間的距離為__________。1或7239小結：2.圓柱、圓錐、球的概念及性質240幾何體的表面積、體積和球面距離15.4幾何體的表面積常用的方法：將幾何體的側面展開成平面圖形，轉化為計算平面圖形的面積241242直柱體243h直棱柱的側面積：直棱柱的表面積：hc

244hh圓柱的表面積：圓柱的側面積：c245例1、已知底面為平行四邊形的直棱柱的側棱長為5cm，底面邊長分別為6cm和8cm，且兩邊長的夾角為30°，求此直棱柱的全面積。188cm2246例2、已知圓柱側面展開圖是一個正方形，它的側面積是兩底面面積和的多少倍？247248249hh’正棱錐的側面積：正棱錐的表面積：250圓錐的側面積：圓錐的表面積：251252直棱柱、圓柱的側面積公式：正棱錐、圓錐的側面積公式：h和c分別是直棱柱的高和底面周長。253圓錐也可以看作是正棱錐當?shù)酌嬲噙呅蔚倪厰?shù)趨向無窮大時的極限,由正棱錐側面積公式,推得圓錐的側面積公式:254例3、已知正三棱錐的底面邊長為2cm，高為1cm，求該三棱錐的側面積和表面積.ABCDOO′2552）10cm45°O256（其中r為球半徑）球的表面積是大圓面積的4倍257例5、已知球面上過三點A、B、C的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，求此球的表面積。258例6、已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其中有一個高為x的內接圓柱。H(1)求圓柱的側面積；(2)x為何值時，圓柱的側面積最大？259例7、如圖，PA，PB是圓錐PO的兩條母線，O是底面圓的圓心，底面圓的半徑為10，C是PB中點，∠AOB=60°，AC與底面所成角為45°，求圓錐的側面積。ABKPOC45°260例8、如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為的正三角形，側棱AA1長為，它和AB，AC所成的角均為60°，求三棱柱的側面積。ABCA1B1C1OEFE261練習：1.正六棱柱的高為5cm，最長的對角線長為13cm，則它的側面積為________cm2。1803.三棱錐的側面積為S，過棱錐的高的三等分點的兩個平行于底面的截面將棱錐分成三部分的側面積分別為____________。2.圓錐的底面半徑為3，高為4，側面展開圖的中心角為________。2622.（1）過球半徑的中點，作一個垂直于這半徑的截面，那么這個截面的面積與球的大圓面積之比是______________。3：4（2）已知球的半徑為14的球面上有A，B，C三點，且AB=9，AC=15，∠BAC=120°，則球心O到A，B，C三點所確定的平面的距離是________。7（3）已知半徑為5的球的兩個平行截面的周長分別為，則兩平行截面間的距離為__________。1或7263小結：1.直柱體的側面積公式：其中圓柱的側面積公式：2.錐體的側面積公式：其中圓錐的側面積公式：3.球的表面積公式：26415.5(1)柱體和錐體的體積幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積265aahhPQ平行四邊形與它等底等高的矩形面積相等S平行四邊形=ah2