概率統(tǒng)計簡明教程課后習(xí)題的答案(非常詳細版)

...wd......wd......wd...習(xí)題一解答1.用集合的形式寫出以下隨機試驗的樣本空間與隨機事件：(1)拋一枚硬幣兩次，觀察出現(xiàn)的面，事件；(2)記錄某總機一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，事件一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過次}；(3)從一批燈泡中隨機抽取一只，測試其壽命，事件壽命在到小時之間}。解(1)，.(2)記為一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，那么，.(3)記為抽到的燈泡的壽命〔單位：小時〕，那么，.2.袋中有個球，分別編有號碼1至10，從中任取1球，設(shè){取得球的號碼是偶數(shù)}，{取得球的號碼是奇數(shù)}，{取得球的號碼小于5}，問以下運算表示什么事件：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).解(1)是必然事件；(2)是不可能事件；(3){取得球的號碼是2，4}；(4){取得球的號碼是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5){取得球的號碼為奇數(shù)，且不小于5}{取得球的號碼為5，7，9}；(6){取得球的號碼是不小于5的偶數(shù)}{取得球的號碼為6，8，10}；(7){取得球的號碼是不小于5的偶數(shù)}={取得球的號碼為6，8，10}3.在區(qū)間上任取一數(shù)，記，，求以下事件的表達式：(1)；(2)；(3)；(4).解(1);(2);(3)因為，所以；(4)4.用事件的運算關(guān)系式表示以下事件：(1)出現(xiàn)，都不出現(xiàn)〔記為〕；(2)都出現(xiàn)，不出現(xiàn)〔記為〕；(3)所有三個事件都出現(xiàn)〔記為〕；(4)三個事件中至少有一個出現(xiàn)〔記為〕；(5)三個事件都不出現(xiàn)〔記為〕；(6)不多于一個事件出現(xiàn)〔記為〕；(7)不多于兩個事件出現(xiàn)〔記為〕；(8)三個事件中至少有兩個出現(xiàn)〔記為〕。解(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).5.一批產(chǎn)品中有合格品和廢品，從中有放回地抽取三次，每次取一件，設(shè)表示事件“第次抽到廢品〞，，試用表示以下事件：(1)第一次、第二次中至少有一次抽到廢品；(2)只有第一次抽到廢品；(3)三次都抽到廢品；(4)至少有一次抽到合格品；只有兩次抽到廢品。解(1)；(2)；(3)；(4)；(5).6.接連進展三次射擊，設(shè)={第次射擊命中}，，{三次射擊恰好命中二次}，{三次射擊至少命中二次}；試用表示和。解習(xí)題二解答1．從一批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求其中恰有1件次品的概率。解這是不放回抽取，樣本點總數(shù)，記求概率的事件為，那么有利于的樣本點數(shù).于是2．一口袋中有5個紅球及2個白球，從這袋中任取一球，看過它的顏色后放回袋中，然后，再從這袋中任取一球，設(shè)每次取球時袋中各個球被取到的可能性一樣。求(1)第一次、第二次都取到紅球的概率；(2)第一次取到紅球，第二次取到白球的概率；(3)二次取得的球為紅、白各一的概率；(4)第二次取到紅球的概率。解此題是有放回抽取模式，樣本點總數(shù).記(1)(2)(3)(4)題求概率的事件分別為.(ⅰ)有利于的樣本點數(shù)，故(ⅱ)有利于的樣本點數(shù)，故(ⅲ)有利于的樣本點數(shù)，故(ⅳ)有利于的樣本點數(shù)，故.3．一個口袋中裝有6只球，分別編上號碼1至6，隨機地從這個口袋中取2只球，試求：(1)最小號碼是3的概率；(2)最大號碼是3的概率。解此題是無放回模式，樣本點總數(shù).(ⅰ)最小號碼為3，只能從編號為3，4，5，6這四個球中取2只，且有一次抽到3，因而有利樣本點數(shù)為，所求概率為.(ⅱ)最大號碼為3，只能從1，2，3號球中取，且有一次取到3，于是有利樣本點數(shù)為，所求概率為.4．一個盒子中裝有6只晶體管，其中有2只是不合格品，現(xiàn)在作不放回抽樣，接連取2次，每次取1只，試求以下事件的概率：(1)2只都合格；(2)1只合格，1只不合格；(3)至少有1只合格。解分別記題(1)、(2)、(3)涉及的事件為，那么注意到，且與互斥，因而由概率的可加性知5．擲兩顆骰子，求以下事件的概率：(1)點數(shù)之和為7；(2)點數(shù)之和不超過5；(3)點數(shù)之和為偶數(shù)。解分別記題(1)、(2)、(3)的事件為,樣本點總數(shù)(ⅰ)含樣本點,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)(ⅱ)含樣本點(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)(ⅲ)含樣本點(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6),一共18個樣本點。6．把甲、乙、丙三名學(xué)生隨機地分配到5間空置的宿舍中去，假設(shè)每間宿舍最多可住8人，試求這三名學(xué)生住不同宿舍的概率。解記求概率的事件為，樣本點總數(shù)為，而有利的樣本點數(shù)為，所以.7．總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英語，今偶遇其中的三位，求以下事件的概率：(1)事件：“其中恰有一位精通英語〞；(2)事件：“其中恰有二位精通英語〞；(3)事件：“其中有人精通英語〞。解樣本點總數(shù)為(1)；(2)；(3)因，且與互斥，因而.8．設(shè)一質(zhì)點一定落在平面內(nèi)由軸、軸及直線所圍成的三角形內(nèi)，而落在這三角形內(nèi)各點處的可能性相等，計算這質(zhì)點落在直線的左邊的概率。解記求概率的事件為，那么為圖中陰影局部，而，最后由幾何概型的概率計算公式可得111/3圖2.3.111/3圖2.39．〔見前面問答題2.3〕10．，，，求(1),；(2)；(3)；(4)；(5).解(1)，；(2)；(3)；(4),;(5)11．設(shè)是兩個事件，，，，試求及解注意到，因而.于是，；.習(xí)題三解答1．隨機事件的概率，隨機事件的概率，條件概率，試求及.解2．一批零件共100個，次品率為10%，從中不放回取三次〔每次取一個〕，求第三次才取得正品的概率。解.3．某人有一筆資金，他投入基金的概率為0.58，購置股票的概率為0.28，兩項投資都做的概率為0.19(1)他已投入基金，再購置股票的概率是多少(2)他已購置股票，再投入基金的概率是多少解記{基金}，{股票}，那么(1)(2).4．給定，，，驗證下面四個等式：，解5．有朋自遠方來，他坐火車、船、汽車和飛機的概率分別為0.3，0.2，0.1，0.4，假設(shè)坐火車，遲到的概率是0.25，假設(shè)坐船，遲到的概率是0.3，假設(shè)坐汽車，遲到的概率是0.1，假設(shè)坐飛機那么不會遲到。求他最后可能遲到的概率。解{遲到}，{坐火車}，{坐船}，{坐汽車}，{乘飛機}，那么，且按題意，，，.由全概率公式有：6．甲袋中有6只紅球，4只白球；乙袋中有8只紅球，6只白球。求以下事件的概率：(1)隨機取一只袋，再從該袋中隨機取一球，該球是紅球；(2)合并兩只袋，從中隨機取一球，該球是紅球。解(1)記{該球是紅球}，{取自甲袋}，{取自乙袋}，，，所以(2)7．某工廠有甲、乙、丙三個車間，生產(chǎn)同一產(chǎn)品，每個車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%，35%，40%，各車間產(chǎn)品的次品率分別為5%，4%，2%，求該廠產(chǎn)品的次品率。解8．發(fā)報臺分別以概率0.6，0.4發(fā)出和，由于通信受到干擾，當發(fā)出時，分別以概率0.8和0.2收到和，同樣，當發(fā)出信號時，分別以0.9和0.1的概率收到和。求(1)收到信號的概率；(2)當收到時，發(fā)出的概率。解記{收到信號}，{發(fā)出信號}(1)(2).9．設(shè)某工廠有三個車間，生產(chǎn)同一螺釘，各個車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%，35%，40%，各個車間成品中次品的百分比分別為5%，4%，2%，如從該廠產(chǎn)品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是車間生產(chǎn)的概率。解為方便計，記事件為車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，事件{次品}，因此10．設(shè)與獨立，且，求以下事件的概率：，，.解11．獨立，且，求.解因，由獨立性有從而導(dǎo)致再由，有所以。最后得到12．甲、乙、丙三人同時獨立地向同一目標各射擊一次，命中率分別為1/3，1/2，2/3，求目標被命中的概率。解記{命中目標}，{甲命中}，{乙命中}，{丙命中}，那么，因而13．設(shè)六個一樣的元件，如以以下列圖所示那樣安置在線路中，設(shè)每個元件不通達的概率為，求這個裝置通達的概率。假定各個元件通達與否是相互獨立的。21解記{通達}，2143{元件通達}，4365那么，所以65圖3.1圖3.114．假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時全天停頓工作，假設(shè)一周五個工作日里每天是否發(fā)生故障相互獨立，試求一周五個工作日里發(fā)生3次故障的概率。解.15．燈泡耐用時間在1000小時以上的概率為0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率。解.16．設(shè)在三次獨立試驗中，事件出現(xiàn)的概率相等，假設(shè)至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27，求事件在每次試驗中出現(xiàn)的概率.解記{在第次試驗中出現(xiàn)}，依假設(shè)所以，，此即.17．加工一零件共需經(jīng)過3道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為2%、3%、5%.假設(shè)各道工序是互不影響的，求加工出來的零件的次品率。解注意到，加工零件為次品，當且僅當1-3道工序中至少有一道出現(xiàn)次品。記{第道工序為次品}，那么次品率18．三個人獨立破譯一密碼，他們能獨立譯出的概率分別為0.25，0.35，0.4.求此密碼被譯出的概率。解記{譯出密碼}，{第人譯出}，那么19．將一枚均勻硬幣連續(xù)獨立拋擲10次，恰有5次出現(xiàn)正面的概率是多少有4次至6次出現(xiàn)正面的概率是多少解(1)；(2).20．某賓館大樓有4部電梯，通過調(diào)查，知道在某時刻，各電梯正在運行的概率均為0.75，求：(1)在此時刻至少有1臺電梯在運行的概率；(2)在此時刻恰好有一半電梯在運行的概率；(3)在此時刻所有電梯都在運行的概率。解(1)(2)(3)習(xí)題四解答1.以下給出的數(shù)列，哪些是隨機變量的分布律，并說明理由?！?〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。解要說明題中給出的數(shù)列，是否是隨機變量的分布律，只要驗證是否滿足以下二個條件：其一條件為，其二條件為。依據(jù)上面的說明可得〔1〕中的數(shù)列為隨機變量的分布律；〔2〕中的數(shù)列不是隨機變量的分布律，因為；〔3〕中的數(shù)列為隨機變量的分布律；〔4〕中的數(shù)列不是隨機變量的分布律，這是因為。2.試確定常數(shù)，使成為某個隨機變量X的分布律，并求：；。解要使成為某個隨機變量的分布律，必須有，由此解得；〔2〕〔3〕。3.一口袋中有6個球，在這6個球上分別標有-3，-3，1，1，1，2這樣的數(shù)字。從這袋中任取一球，設(shè)各個球被取到的可能性一樣，求取得的球上標明的數(shù)字X的分布律與分布函數(shù)。解X可能取的值為-3，1，2，且，即X的分布律為X-312概率X的分布函數(shù)0=14.一袋中有5個乒乓球，編號分別為1，2，3，4，5，從中隨機地取3個，以X表示取出的3個球中最大號碼，寫出X的分布律和分布函數(shù)。解依題意X可能取到的值為3，4，5，事件表示隨機取出的3個球的最大號碼為3，那么另兩個球的只能為1號，2號，即；事件表示隨機取出的3個球的最大號碼為4，因此另外2個球可在1、2、3號球中任選，此時；同理可得。X的分布律為X345概率X的分布函數(shù)為015.在一樣條件下獨立地進展5次射擊，每次射擊時擊中目標的概率為0.6，求擊中目標的次數(shù)X的分布律。解依題意X服從參數(shù)的二項分布，因此，其分布律，具體計算后可得X012345概率6.從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品中一件一件的抽取。設(shè)每次抽取時，各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等。在以下三種情形下，分別求出直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布律。每次取出的產(chǎn)品立即放回這批產(chǎn)品中再取下一件產(chǎn)品；每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中；每次取出一件產(chǎn)品后總是放回一件正品。解〔1〕設(shè)事件表示第次抽到的產(chǎn)品為正品，依題意，相互獨立，且而即X服從參數(shù)的幾何分布?！?〕由于每次取出的產(chǎn)品不再放回，因此，X可能取到的值為1，2，3，4，X的分布律為X1234概率〔3〕X可能取到的值為1，2，3，4，所求X的分布律為X1234概率由于三種抽樣方式不同，導(dǎo)致X的分布律也不一樣，請仔細體會它們的不同處。7.設(shè)隨機變量，，求與的值。解由于，因此。由此可算得即解得；此時，。8.擲一枚均勻的硬幣4次，設(shè)隨機變量X表示出現(xiàn)國徽的次數(shù)，求X的分布函數(shù)。解一枚均勻硬幣在每次拋擲中出現(xiàn)國徽的概率為，因此X服從的二項分布，即由此可得X的分布函數(shù)0，，，，，1，9.某商店出售某種物品，根據(jù)以往的經(jīng)歷，每月銷售量X服從參數(shù)的泊松分布，問在月初進貨時，要進多少才能以99%的概率充分滿足顧客的需要解設(shè)至少要進件物品，由題意應(yīng)滿足即查泊松分布表可求得。10.有一汽車站有大量汽車通過，每輛汽車在一天某段時間出事故的概率為0.0001，在某天該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過，求事故次數(shù)不少于2的概率。解設(shè)X為1000輛汽車中出事故的次數(shù)，依題意，X服從的二項分布，即，由于較大，較小，因此也可以近似地認為X服從的泊松分布，即，所求概率為11.某試驗的成功概率為0.75，失敗概率為0.25，假設(shè)以X表示試驗者獲得首次成功所進展的試驗次數(shù)，寫出X的分布律。解設(shè)事件表示第次試驗成功，那么，且相互獨立。隨機變量X取意味著前次試驗未成功，但第次試驗成功，因此有所求的分布律為X12……概率0.75……12.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為，0，其他，試求：〔1〕常數(shù)；〔2〕X的分布函數(shù)。解〔1〕成為某個隨機變量的密度函數(shù)必須滿足二個條件，其一為；其二為，因此有，解得，其中舍去，即取?！?〕分布函數(shù)==13.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為，求：〔1〕系數(shù)；〔2〕；〔3〕X的分布函數(shù)。解〔1〕系數(shù)必須滿足，由于為偶函數(shù)，所以解得；〔2〕；〔3〕====14.證明：函數(shù)〔為正的常數(shù)〕為某個隨機變量X的密度函數(shù)。證由于，且，因此滿足密度函數(shù)的二個條件，由此可得為某個隨機變量的密度函數(shù)。15.求出與密度函數(shù)對應(yīng)的分布函數(shù)的表達式。解當時，當時，當時，綜合有16.設(shè)隨機變量X在上服從均勻分布，求方程有實根的概率。解X的密度函數(shù)為；其他.方程有實根的充分必要條件為，即，因此所求得概率為。17.設(shè)某藥品的有效期X以天計，其概率密度為;0，其他.求：(1)X的分布函數(shù)；(2)至少有200天有效期的概率。解(1)==(2)。18.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為求X的密度函數(shù)，并計算和。解由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系，可得在的一切連續(xù)點處有，因此所求概率；。19.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為，求(1)常數(shù)；(2)；(3)隨機變量X的密度函數(shù)。解：(1)要使成為隨機變量X的分布函數(shù)，必須滿足，即計算后得解得另外，可驗證當時，也滿足分布函數(shù)其余的幾條性質(zhì)?！?〕〔3〕X的密度函數(shù)。20.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間〔單位：min〕服從的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為，某顧客在窗口等待服務(wù)，假設(shè)超過10min，他就離開。〔1〕設(shè)某顧客某天去銀行，求他未等到服務(wù)就離開的概率；〔2〕設(shè)某顧客一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務(wù)的概率。解〔1〕設(shè)隨機變量X表示某顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間，依題意X服從的指數(shù)分布，且顧客等待時間超過10min就離開，因此，顧客未等到服務(wù)就離開的概率為；〔2〕設(shè)Y表示某顧客五次去銀行未等到服務(wù)的次數(shù)，那么Y服從的二項分布，所求概率為21.設(shè)X服從，借助于標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕。解查正態(tài)分布表可得〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕〔5〕。22.設(shè)X服從，借助于標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕。解當時，，借助于該性質(zhì)，再查標準正態(tài)分布函數(shù)表可求得〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕。23.某廠生產(chǎn)的滾珠直徑服從正態(tài)分布，合格品的規(guī)格規(guī)定為，求該廠滾珠的合格率。解所求得概率為24.某人上班所需的時間〔單位：min〕上班時間為8：30，他每天7：50出門，求：〔1〕某天遲到的概率；〔2〕一周〔以5天計〕最多遲到一次的概率。解〔1〕由題意知某人路上所花時間超過40分鐘，他就遲到了，因此所求概率為；〔2〕記Y為5天中某人遲到的次數(shù)，那么Y服從的二項分布，5天中最多遲到一次的概率為。習(xí)題五解答1.二維隨機變量只能取以下數(shù)組中的值：，且取這些組值的概率依次為，求這二維隨機變量的分布律。解由題意可得的聯(lián)合分布律為X\Y01-100002002.一口袋中有四個球，它們依次標有數(shù)字。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再從袋中任取一球。設(shè)每次取球時，袋中每個球被取到的可能性一樣。以X、Y分別記第一、二次取到的球上標有的數(shù)字，求的分布律及。解X可能的取值為，Y可能的取值為，相應(yīng)的，其概率為或?qū)懗蒟\Y12310230。3.箱子中裝有10件產(chǎn)品，其中2件為次品，每次從箱子中任取一件產(chǎn)品，共取2次，定義隨機變量X、Y如下：X=0，假設(shè)第一次取出正品；Y=0，假設(shè)第二次取出正品；1，假設(shè)第一次取出次品；1，假設(shè)第二次取出次品。分別就下面兩種情況求出二維隨機變量的聯(lián)合分布律：〔1〕放回抽樣；〔2〕不放回抽樣。解〔1〕在放回抽樣時，X可能取的值為，Y可能取的值也為，且或?qū)懗蒟\Y0101〔2〕在無放回情形下，X、Y可能取的值也為0或1，但取相應(yīng)值的概率與有放回情形下不一樣，具體為或?qū)懗蒟\Y01014.對于第1題中的二維隨機變量的分布，寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣分布律。解把第1題中的聯(lián)合分布律按行相加得X的邊緣分布律為X-102概率按列相加得Y的邊緣分布律為Y01概率5.對于第3題中的二維隨機變量的分布律，分別在有放回和無放回兩種情況下，寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣分布律。解在有放回情況下X的邊緣分布律為X01概率Y的邊緣分布律為Y01概率在無放回情況下X的邊緣分布律為X01概率Y的邊緣分布律為Y01概率6.求在D上服從均勻分布的隨機變量的密度函數(shù)及分布函數(shù)，其中D為x軸、y軸及直線圍成的三角形區(qū)域。解區(qū)域D見圖5.2。易算得D的面積為，所以的密度函數(shù)y1-101xy1-101x的分布函數(shù)當或時，；圖5.2當時,；圖5.2當時，；當時，；當時，綜合有7.對于第6題中的二維隨機變量的分布，寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。解X的邊緣密度函數(shù)為==Y的邊緣密度函數(shù)為==8.在第3題的兩種情況下，X與Y是否獨立，為什么解在有放回情況下，由于，而，即；容易驗證，由獨立性定義知X與Y相互獨立。在無放回情況下，由于，而，易見，所以X與Y不相互獨立。9.在第6題中，X與Y是否獨立，為什么解，而，易見，所以X與Y不相互獨立。10.設(shè)X、Y相互獨立且分別具有以下的分布律：X-2-100.5Y-0.513概率概率寫出表示的分布律的表格。解由于X與Y相互獨立，因此例如其余的聯(lián)合概率可同樣算得，具體結(jié)果為X\Y-0.513-2-100.511.設(shè)X與Y是相互獨立的隨機變量，X服從上的均勻分布，Y服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，求的聯(lián)合密度函數(shù)及。解.由均勻分布的定義知由指數(shù)分布的定義知因為X與Y獨立，易得的聯(lián)合密度函數(shù)y0.2x圖5.3概率，y0.2x圖5.3其中區(qū)域見圖5.3，經(jīng)計算有。12.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求：〔1〕系數(shù)；〔2〕；〔3〕證明X與Y相互獨立。解〔1〕必須滿足，即，經(jīng)計算得；〔2〕；〔3〕關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)=同理可求得Y的邊緣密度函數(shù)為易見，因此X與Y相互獨立。13.二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為〔1〕求常數(shù)；〔2〕分別求關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)；〔3〕X與Y是否獨立解〔1〕滿足，即解得；〔2〕X的邊緣密度函數(shù)=Y的邊緣密度函數(shù)為=〔3〕，而，易見，因此X與Y不相互獨立。14.設(shè)隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為X\Y01012且，〔1〕求常數(shù)的值；〔2〕當取〔1〕中的值時，X與Y是否獨立為什么解〔1〕必須滿足，即，可推出，另外由條件概率定義及的條件得由此解得，結(jié)合可得到，即〔2〕當時，可求得，易見因此，X與Y不獨立。15.對于第2題中的二維隨機變量的分布，求當時X的條件分布律。解易知，因此時X的條件分布律為X|Y=2123概率16.對于第6題中的二維隨機變量的分布，求當時Y的條件密度函數(shù)。解X的邊緣密度函數(shù)為〔由第7題所求得〕由條件密度函數(shù)的定義知當時Y的條件密度函數(shù)為=習(xí)題六解答1.設(shè)X的分布律為X-2-0.5024概率求出：以下隨機變量的分布律?！?〕；〔2〕；〔3〕。解由X的分布律可列出下表概率-2-0.502401.524631.51-1-340.250416由此表可定出〔1〕的分布律為0246概率〔2〕的分布律為-3-113概率〔3〕的分布律為0416概率其中。2.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)的泊松分布，記隨機變量試求隨機變量Y的分布律。解由于X服從參數(shù)的泊松分布，因此而；。即Y的分布律為Y01概率3.設(shè)X的密度函數(shù)為求以下隨機變量的密度函數(shù)：〔1〕；〔2〕；〔3〕。解求連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的密度函數(shù)可通過先求其分布函數(shù)，然后再求密度函數(shù)。如果為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，那么也可利用性質(zhì)求得?！?〕解法一：設(shè)，那么Y的分布函數(shù)==解法二：，，而，那么==〔2〕設(shè)，那么，Y的密度函數(shù)=〔3〕設(shè)，由于X只取中的值，所以也為單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)，因此Y的密度函數(shù)為=4.對圓片直徑進展測量，測量值X服從上的均勻分布，求圓面積Y的概率密度。解圓面積，由于X均勻取中的值，所以X的密度函數(shù)且為單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)，Y的密度函數(shù)為=5.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布，試求隨機變量的函數(shù)的密度函數(shù)。解，所以，此時不為單調(diào)函數(shù)不能直接利用性質(zhì)求出。須先求Y的分布函數(shù)。.=6.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求隨機變量的函數(shù)的密度函數(shù)。解的反函數(shù)，因此所求的Y的密度函數(shù)為=7.設(shè)X服從，證明服從,其中為兩個常數(shù)且。證明由于,所以，記，那么當時，為單增函數(shù)，其反函數(shù),因此Y的密度函數(shù)為，即證明了。8.設(shè)隨機變量X在區(qū)間上服從均勻分布，隨機變量試求隨機變量函數(shù)Y的分布律。解，那么而；；。因此所求分布律為Y-101概率09.設(shè)二維隨機變量的分布律X\Y１２３１２００３０求以下隨機變量的分布律：〔１〕；〔２〕；〔３〕；〔４〕。解概率０００２３４３４５４５６０-１-210-1210123246369從而得到〔1〕２３４５概率〔２〕-２-1012概率〔３〕從聯(lián)合分布律可求得Ｘ的邊緣分布律為Ｘ１２３概率由此得的分布律為Ｘ２４６概率〔４〕1236概率１０.設(shè)隨機變量Ｘ、Ｙ相互獨立，,記隨機變量，求的分布律；記隨機變量，求的分布律。從而證實：即使Ｘ、Ｙ服從同樣的分布，與的分布并不一定一樣，直觀地解釋這一結(jié)論。解〔１〕由于，且Ｘ與Ｙ獨立，由分布可加性知，即,經(jīng)計算有０１２概率〔２〕由于０１概率因此０２概率易見與的分布并不一樣。直觀的解釋是的與的取值并不一樣，這是因為與并不一定同時取同一值，因而導(dǎo)致它們的分布也不同。１１.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布律為X\Y１２３１００２０３求的分布律；求的分布律。解〔１〕隨機變量可能取到的值為１，２，３中的一個，且綜合有１２３概率〔２〕隨機變量可能取到的值為１，２，３中的一個，且同理可求得綜合有１２３概率１２.設(shè)二維隨機變量服從在Ｄ上的均勻分布，其中Ｄ為直線，所圍成的區(qū)域，求的分布函數(shù)及密度函數(shù)。解的聯(lián)合密度函數(shù)為-202x圖6.2y2設(shè)，那么-202x圖6.2y2其中區(qū)域，當時，積分區(qū)域見圖6.2，此時-202xy-202xy2當時，積分區(qū)域見圖6.3，此時-202xy2-202xy2圖6.4圖6.3其中是區(qū)域限在中的那局部。當時，積分區(qū)域見圖6.4，此時-202xy-202xy2圖6.5其中是區(qū)域限在中的那局部。當時，積分區(qū)域見圖6.5，此時。綜合有的密度函數(shù)13.設(shè)的密度函數(shù)為，用函數(shù)表達隨機變量的密度函數(shù)。解設(shè),那么的分布函數(shù)。對積分變量作變換，得到于是，交換積分變量的次序得從而，的密度函數(shù)為，把與的地位對換，同樣可得到的密度函數(shù)的另一種形式。習(xí)題七解答1.設(shè)的分布律為，X-1012概率求〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕。解由隨機變量X的分布律，得X-1012-X+1210-1X21014P所以另外，也可根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得：2.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且，求的值。解3.設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標的次數(shù)，每次命中目標的概率為0.4，試求的數(shù)學(xué)期望。解所以故4.國際市場每年對我國某種出口商品的需求量X是一個隨機變量，它在[2000，4000]〔單位：噸〕上服從均勻分布。假設(shè)每售出一噸，可得外匯3萬美元，假設(shè)銷售不出而積壓，那么每噸需保養(yǎng)費1萬美元。問應(yīng)組織多少貨源，才能使平均收益最大解設(shè)隨機變量Y表示平均收益〔單位：萬元〕，進貨量為噸Y=那么要使得平均收益最大，所以得〔噸〕5.一臺設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1，0.2，0.3，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望和方差。解X的可能取值為0，1，2，3，有所以X的分布律為X0123Pr0.5040.3980.0920.0066.設(shè)X的密度函數(shù)為，求〔1〕；〔2〕。解〔1〕〔2〕注：求解〔1〕時利用被積函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，求解〔2〕時化簡為可以看成為是服從參數(shù)為1的指數(shù)分布隨機變量的二階原點矩。7.某商店經(jīng)銷商品的利潤率的密度函數(shù)為，求,。解〔1〕〔2〕故8.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為0求、、、。解9.設(shè)隨機變量的聯(lián)合分布律為X\Y0100.30.210.40.1求、、、、、、、。解關(guān)于X與Y的邊緣分布律分別為：X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.310.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，它們的密度函數(shù)分別為求。解，所以，，所以，X,Y相互獨立，所以。11.設(shè)服從在A上的均勻分布，其中A為x軸、y軸及直線所圍成的區(qū)域，求〔1〕；〔2〕；〔3〕的值。y0x解y0x-1x-1xAy-1-1-yAy-1-1-y20其他0其他0其他12.設(shè)隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為0其他求。y101x解先畫出區(qū)域的圖y101xGG0其他0其他13.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且，求。解14.設(shè)，求〔1〕；〔2〕。解：〔1〕〔2〕15.設(shè)隨機變量相互獨立，，，求。解16.驗證：當為二維連續(xù)型隨機變量時，按公式及按公式算得的值相等。這里，、依次表示的分布密度。證明17.設(shè)的方差為2.5，利用契比曉夫不等式估計的值。解18.設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5，根據(jù)切比雪夫不等式估計的值。解所以21.在人壽保險公司里有3000個同齡的人參加人壽保險。在1年內(nèi)每人的死亡率為0.1%，參加保險的人在1年的第一天交付保險費10元，死亡時家屬可以從保險公司領(lǐng)取2000元。試用中心極限定理求保險公司賠本的概率。解設(shè)死亡人數(shù)為，保險公司賠本當且僅當，即。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司賠本的概率為習(xí)題九解答1.設(shè)是來自服從參數(shù)為的泊松分布的樣本，試寫出樣本的聯(lián)合分布律。解2.設(shè)是來自上的均勻分布的樣本，未知〔1〕寫出樣本的聯(lián)合密度函數(shù)；〔2〕指出以下樣本函數(shù)中哪些是統(tǒng)計量，哪些不是為什么〔3〕設(shè)樣本的一組觀察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,寫出樣本均值、樣本方差和標準差。解〔1〕0其他〔2〕和是，和不是。因為和中不含總體中的唯一未知參數(shù)，而和中含有未知參數(shù)?！?〕樣本均值樣本方差樣本標準差。3.查表求，，，。解，，，。4.設(shè)，求常數(shù)，使。解由t分布關(guān)于縱軸對稱，所以即為。由附表5.6可查得，所以。5.設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，試證：〔1〕；〔2〕。證明：〔1〕獨立同分布于，由分布的定義，，即?！?〕易見，，即，由分布的定義，，即。6.設(shè)是獨立且服從一樣分布的隨機變量，且每一個都服從?！?〕試給出常數(shù)，使得服從分布，并指出它的自由度；〔2〕試給出常數(shù)，使得服從t分布，并指出它的自由度。解〔1〕易見，即為二個獨立的服從的隨機變量平方和，服從分布，即；自由度為2。〔2〕由于，那么。又，與相互獨立，那么即即，自由度為3。7.設(shè)是取自總體的一個樣本，在以下三種情況下，分別求：〔1〕；〔2〕；〔3〕，其中。解〔1〕〔2〕〔3〕，其中8.某市有100000個年滿18歲的居民，他們中10%年收入超過1萬，20%受過高等教育。今從中抽取1600人的隨機樣本，求：〔1〕樣本中不少于11%的人年收入超過1萬的概率；〔2〕樣本中19%和21%之間的人受過高等教育的概率。解〔1〕引入新變量：1，第個樣本居民年收入超過1萬0，第個樣本居民年收入沒超過1萬其中易見：又因，故可以近似看成有放回抽樣，相互獨立。樣本中年收入超過1萬的比例即為，由于較大，可以使用漸近分布求解，即，所求概率即為〔2〕同〔1〕解法引入新變量：1，第個樣本居民受過高等教育0，第個樣本居民未受過高等教育其中答：〔1〕樣本中不少于11%的人年收入超過1萬的概率為0.0918；〔2〕樣本中19%和21%之間的人受過高等教育的概率為0.6826。習(xí)題十解答1.設(shè)是取自總體X的一個樣本，在以下情形下，試求總體參數(shù)的矩估計與最大似然估計：〔1〕，其中未知，；〔2〕，其中未知，。解〔1〕，故的矩估計量有。另，X的分布律為，故似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為：令解得的最大似然估計量?？梢钥闯龅木毓烙嬃颗c最大似然估計量是一樣的?！?〕，令，故的矩估計量。另，X的密度函數(shù)為故似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計量?？梢钥闯龅木毓烙嬃颗c最大似然估計量是一樣的。2.設(shè)是取自總體X的一個樣本，其中X服從參數(shù)為的泊松分布，其中未知，，求的矩估計與最大似然估計，如得到一組樣本觀測值X01234頻數(shù)17201021求的矩估計值與最大似然估計值。解，故的矩估計量。由樣本觀測值可算得另，X的分布律為故似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計量，故的最大似然估計值。3.設(shè)是取自總體X的一個樣本，其中X服從區(qū)間的均勻分布，其中未知，求的矩估計。解，令，故的矩估計量。4.設(shè)是取自總體X的一個樣本，X的密度函數(shù)為其中未知，求的矩估計。解，令，故的矩估計量為。5.設(shè)是取自總體X的一個樣本，X的密度函數(shù)為其中未知，求的矩估計和最大似然估計。解，令，故的矩估計量為，另，似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計量為。6.設(shè)是取自總體X的一個樣本，總體X服從參數(shù)為的幾何分布，即，其中未知，，求的最大似然估計。解似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)解得的最大似然估計量為。7.某路口車輛經(jīng)過的時間間隔服從指數(shù)分布，其中未知，現(xiàn)在觀測到六個時間間隔數(shù)據(jù)〔單位：s〕：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，試求該路口車輛經(jīng)過的平均時間間隔的矩估計值與最大似然估計值。解根據(jù)習(xí)題1的結(jié)果，的矩估計和最大似然估計量都為，故平均時間間隔的矩估計和最大似然估計都為，即為。由樣本觀測值可算得。8.設(shè)總體X的密度函數(shù)為，其中未知，設(shè)是取自這個總體的一個樣本，試求的最大似然估計