【公開課課件】選修2-1-第三章 3.2 第1課時(shí)

第三章

§3.2立體幾何中的向量方法第1課時(shí)用空間向量解決立體幾何中的平行問題問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一直線的方向向量與平面的法向量(1)用向量表示直線的位置條件直線l上一點(diǎn)A表示直線l方向的向量a(即直線的

)形式作用定位置點(diǎn)A和向量a可以確定直線的_____定點(diǎn)可以具體表示出l上的任意_____位置一點(diǎn)方向向量(2)用向量表示平面的位置①通過平面α上的一個(gè)定點(diǎn)O和兩個(gè)向量a和b來確定：條件平面α內(nèi)兩條相交直線的方向向量a，b和交點(diǎn)O形式②通過平面α上的一個(gè)定點(diǎn)A和法向量來確定：平面的法向量直線l⊥α，直線l的

，叫做平面α的法向量確定平面位置過點(diǎn)A，以向量a為法向量的平面是完全確定的方向向量(3)直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量能平移到直線上的

向量a，叫做直線l的一個(gè)方向向量平面的法向量直線l⊥α，取直線l的

，叫做平面α的法向量方向向量n非零知識(shí)點(diǎn)二平面的法向量及其求法在空間直角坐標(biāo)系下，求平面的法向量的一般步驟：(1)設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)

的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，不共線(4)解方程組，取其中的

，即得平面的一個(gè)法向量.一組解知識(shí)點(diǎn)三用空間向量處理平行關(guān)系設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則線線平行l(wèi)∥m?

?a＝kb(k∈R)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?_______面面平行α∥β?μ∥v?_____________a∥ba·μ＝0μ＝kv(k∈R)[思考辨析判斷正誤](1)若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反.(

)(2)兩直線的方向向量平行，則兩直線平行；兩直線的方向向量垂直，則兩直線垂直.(

)(3)若向量n1，n2為平面的法向量，則以這兩個(gè)向量為方向向量的直線一定平行.(

)(4)若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行.(

)(5)若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，則l1⊥l2.(

)√√××√題型探究例1已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，試求出平面ABC的一個(gè)法向量.類型一求平面的法向量解

設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z).解答故平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(3,3,1).跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝

，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面SCD與平面SBA的一個(gè)法向量.解答解

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)n＝(x，y，z)為平面SDC的一個(gè)法向量，取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一個(gè)法向量為(2，－1,1).證明類型二利用空間向量證明平行問題例2已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：(1)FC1∥平面ADE；證明

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)，設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，令z1＝2，則y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2).又因?yàn)镕C1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.證明(2)平面ADE∥平面B1C1F.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因?yàn)閚1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.解答跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝求出E點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.解

存在點(diǎn)E使CE∥平面PAB.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，∴存在E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時(shí)，CE∥平面PAB.達(dá)標(biāo)檢測答案解析123451.已知l1的方向向量為v1＝(1,2,3)，l2的方向向量為v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，則λ等于A.1 B.2 C.3 D.4√答案2.已知直線l1，l2的方向向量分別為a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，則λ與μ的值可以分別是12345√解析答案解析3.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)12345√答案解析A.－4 B.－6 C.－8 D.812345√5.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1的一個(gè)法向量為_________________.12345(1,1,1)(答案不唯一)答案解析解析

不妨設(shè)正方體的棱長為1，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量a＝(x，y，z)，則a＝(1,1,1).(注：答案不唯一，只要與所給答案共線都對)123451.應(yīng)用向量法證明線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線.(3)證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任兩個(gè)不共線的向量表示.即用平面向量基本