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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知菱形的邊長為2,,則()A.4 B.6 C. D.2.將函數(shù)圖象向右平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象關于直線對稱,則函數(shù)在上的值域是()A. B. C. D.3.函數(shù)在上單調遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)4.已知復數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.5.記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間,設函數(shù),則不等式的解集為()A.2階區(qū)間 B.3階區(qū)間 C.4階區(qū)間 D.5階區(qū)間6.在棱長均相等的正三棱柱中,為的中點,在上,且,則下述結論:①;②;③平面平面:④異面直線與所成角為其中正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.47.若復數(shù)()是純虛數(shù),則復數(shù)在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是()A. B. C. D.9.三國時代吳國數(shù)學家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用,化簡,得.設勾股形中勾股比為,若向弦圖內隨機拋擲顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內的圖釘數(shù)大約為()A. B. C. D.10.如圖,已知平面,,、是直線上的兩點,、是平面內的兩點,且,,,,.是平面上的一動點,且直線,與平面所成角相等,則二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.11.數(shù)列滿足:,,,為其前n項和,則()A.0 B.1 C.3 D.412.若為虛數(shù)單位,則復數(shù)在復平面上對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,已知,則的最小值是________.14.已知復數(shù)z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中i是虛數(shù)單位,a∈R),若z1?z2是純虛數(shù),則a的值為_____.15.函數(shù)的定義域為____.16.已知盒中有2個紅球,2個黃球,且每種顏色的兩個球均按,編號,現(xiàn)從中摸出2個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好同時包含字母,的概率為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的焦點在軸上,且順次連接四個頂點恰好構成了一個邊長為且面積為的菱形.(1)求橢圓的方程;(2)設,過橢圓右焦點的直線交于、兩點,若對滿足條件的任意直線,不等式恒成立,求的最小值.18.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸,垂足為,與拋物線交于不同的兩點,且過的直線與橢圓交于兩點,設且.(1)求點的坐標;(2)求的取值范圍.19.(12分)某大型公司為了切實保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關要求,決定在全公司范圍內舉行一次普查,為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗,由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①:將每個人的血分別化驗,這時需要驗1000次.方案②:按個人一組進行隨機分組,把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗,如果每個人的血均為陰性,則驗出的結果呈陰性,這個人的血只需檢驗一次(這時認為每個人的血化驗次);否則,若呈陽性,則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗,這樣,該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為,且這些人之間的試驗反應相互獨立.(1)設方案②中,某組個人的每個人的血化驗次數(shù)為,求的分布列;(2)設,試比較方案②中,分別取2,3,4時,各需化驗的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案①,化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結果四舍五入保留整數(shù))20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),試討論的單調性;(2)若,,求的取值范圍.21.(12分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點.(1)證明:平面;(2)求幾何體的體積.22.(10分)已知集合,集合.(1)求集合;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
根據(jù)菱形中的邊角關系,利用余弦定理和數(shù)量積公式,即可求出結果.【詳解】如圖所示,菱形形的邊長為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應用問題,屬于基礎題..2.D【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,余弦函數(shù)的值域,求得結果.【詳解】解:把函數(shù)圖象向右平移個單位長度后,可得的圖象;再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關于直線對稱,,,,函數(shù).在上,,,故,即的值域是,故選:D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對稱性,余弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.3.B【解析】
根據(jù)題意分析的圖像關于直線對稱,即可得到的單調區(qū)間,利用對稱性以及單調性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關于直線對稱,若函數(shù)在上單調遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的性質,以及函數(shù)單調性的應用,有一定綜合性,屬于中檔題。4.A【解析】
對復數(shù)進行乘法運算,并計算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因為,所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算及虛部的概念,計算過程要注意.5.D【解析】
可判斷函數(shù)為奇函數(shù),先討論當且時的導數(shù)情況,再畫出函數(shù)大致圖形,將所求區(qū)間端點值分別看作對應常函數(shù),再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時,.令得.可得和的變化情況如下表:令,則原不等式變?yōu)?,由圖像知的解集為,再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成,所以解集為5階區(qū)間.故選:D【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性,單調性求解對應自變量范圍,導數(shù)法研究函數(shù)增減性,數(shù)形結合思想,轉化與化歸思想,屬于難題6.B【解析】
設出棱長,通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行,推出①的正誤;判斷是的中點推出②正的誤;利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤;建立空間直角坐標系求出異面直線與所成角判斷④的正誤.【詳解】解:不妨設棱長為:2,對于①連結,則,即與不垂直,又,①不正確;對于②,連結,,在中,,而,是的中點,所以,②正確;對于③由②可知,在中,,連結,易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正確;以為坐標原點,平面上過點垂直于的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標系;,,,,,;,;異面直線與所成角為,,故.④不正確.故選:.【點睛】本題考查命題的真假的判斷,棱錐的結構特征,直線與平面垂直,直線與直線的位置關系的應用,考查空間想象能力以及邏輯推理能力.7.B【解析】
化簡復數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對應的點的坐標.【詳解】是純虛數(shù),則,,,對應點為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查復數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎題.8.C【解析】
利用基本初等函數(shù)的單調性判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間上的單調性,進而可得出結果.【詳解】對于A選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對于B選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對于C選項,函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);對于D選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調性的判斷,熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調性是判斷的關鍵,屬于基礎題.9.A【解析】分析:設三角形的直角邊分別為1,,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內的概率即可得出結論.解析:設三角形的直角邊分別為1,,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內的概率為.落在黃色圖形內的圖釘數(shù)大約為.故選:A.點睛:應用幾何概型求概率的方法建立相應的幾何概型,將試驗構成的總區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉化為幾何圖形,并加以度量.(1)一般地,一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型,只需把這個變量放在數(shù)軸上即可;(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述,則可用這兩個變量的有序實數(shù)對來表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型;(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述,則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件,利用空間直角坐標系即可建立與體積有關的幾何概型.10.B【解析】
為所求的二面角的平面角,由得出,求出在內的軌跡,根據(jù)軌跡的特點求出的最大值對應的余弦值【詳解】,,,,同理為直線與平面所成的角,為直線與平面所成的角,又,在平面內,以為軸,以的中垂線為軸建立平面直角坐標系則,設,整理可得:在內的軌跡為為圓心,以為半徑的上半圓平面平面,,為二面角的平面角,當與圓相切時,最大,取得最小值此時故選【點睛】本題主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依據(jù)題目選擇方法求出結果.11.D【解析】
用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.12.D【解析】
根據(jù)復數(shù)的運算,化簡得到,再結合復數(shù)的表示,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)復數(shù)的運算,可得,所對應的點為位于第四象限.故選D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算,以及復數(shù)的幾何意義,其中解答中熟記復數(shù)的運算法則,準確化簡復數(shù)為代數(shù)形式是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】分析:可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為:,然后再結合余弦定理整理為,再由cosC的余弦定理得到a,b的關系式,最后利用基本不等式求解即可.詳解:已知,可得,將角A,B,C的余弦定理代入得,由,當a=b時取到等號,故cosC的最小值為.點睛:考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運用,能正確轉化是解題關鍵.屬于中檔題.14.-1【解析】
由題意,令即可得解.【詳解】∵z1=1﹣2i,z2=a+2i,∴,又z1?z2是純虛數(shù),∴,解得:a=﹣1.故答案為:﹣1.【點睛】本題考查了復數(shù)的概念和運算,屬于基礎題.15.【解析】由題意得,解得定義域為.16.【解析】
根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個球顏色不相同的情況數(shù),讓兩個球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.【詳解】從袋中任意地同時摸出兩個球共種情況,其中有種情況是兩個球顏色不相同;故其概率是故答案為:.【點睛】本題主要考查了求事件概率,解題關鍵是掌握概率的基礎知識和組合數(shù)計算公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)由已知條件列出關于和的方程,并計算出和的值,jike得到橢圓的方程.(2)設出點和點坐標,運用點坐標計算出,分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,求解出的最小值.【詳解】(1)由己知得:,解得,所以,橢圓的方程(2)設,.當直線垂直于軸時,,且此時,,當直線不垂直于軸時,設直線由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值為【點睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系,求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況,并運用根與系數(shù)的關系轉化為只含一個變量的表達式進行求解,需要掌握解題方法,并且有一定的計算量.18.(1);(2).【解析】
(1)設出的坐標,代入,結合在拋物線上,求得兩點的橫坐標,進而求得點的坐標.(2)設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,結合,求得的表達式,結合二次函數(shù)的性質求得的取值范圍.【詳解】(1)可知,設則,又,所以解得所以.(2)據(jù)題意,直線的斜率必不為所以設將直線方程代入橢圓的方程中,整理得,設則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又,所以令,則所以【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查直線和橢圓的位置關系,考查向量數(shù)量積的坐標運算,考查向量模的坐標運算,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,考查運算求解能力,屬于難題.19.(1)分布列見解析;(2)406.【解析】
(1)計算個人的血混合后呈陰性反應的概率為,呈陽性反應的概率為,得到分布列.(2)計算,代入數(shù)據(jù)計算比較大小得到答案.【詳解】(1)設每個人的血呈陰性反應的概率為,則.所以個人的血混合后呈陰性反應的概率為,呈陽性反應的概率為.依題意可知,,所以的分布列為:(2)方案②中.結合(1)知每個人的平均化驗次數(shù)為:時,,此時1000人需要化驗的總次數(shù)為690次,時,,此時1000人需要化驗的總次數(shù)為604次,時,,此時1000人需要化驗的次數(shù)總為594次,即時化驗次數(shù)最多,時次數(shù)居中,時化驗次數(shù)最少,而采用方案①則需化驗1000次,故在這三種分組情況下,相比方案①,當時化驗次數(shù)最多可以平均減少次.【點睛】本題考查了分布列,數(shù)學期望,意在考查學生的計算能力和應用能力.20.(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】
(1)由于函數(shù),得出,分類討論當和時,的正負,進而得出的單調性;(2)求出,令,得,設,通過導函數(shù),可得出在上的單調性和值域,再分類討論和時,的單調性,再結合,恒成立,即可求出的取值范圍.【詳解】解:(1)因為,所以,①當時,,在上單調遞減.②當時,令,則;令
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