函數(shù)的極值教案

xx教

案編號：1號課程名稱：高等數(shù)學(xué)授課章節(jié)§函數(shù)極值及其求法

編寫時間：目的要求重點難點

１、掌握函數(shù)極值的概念和函數(shù)極值存在的必要條件和兩個充分條件．、根據(jù)相關(guān)知識點會求某些函數(shù)的極值．、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生領(lǐng)悟局部與整體的辯證關(guān)系．極值的必要、充分條件．函數(shù)極值的求法的理解與掌握．一復(fù)導(dǎo)上節(jié)課我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究了函數(shù)的單調(diào)性，知道了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的聯(lián)系．即設(shè)函數(shù)（1）如果（2）如果觀察下面函數(shù)的圖像：

主內(nèi)與時間（約極值的概念10分極值的必要條件分第一充分條件分第二充分條件分極值求法應(yīng)用舉例分

X

1

X2

o

X3

X4

X5

小結(jié)、鞏固圖1

練習(xí)分函數(shù)值

x

附近的函數(shù)值進(jìn)行比較，會有1什么結(jié)論呢？那么，在

、

、

與

點處的情況如何呢？2

3

4

5參書1xxxxxxxx00x0xxxxxxxx00x0x0二探新（一、數(shù)極值定義定義1設(shè)函數(shù)的某一鄰U0

0

內(nèi)有定義，如果

1高等數(shù)學(xué)》遼寧省師范院校初等教育專業(yè)對于去心鄰U

內(nèi)的任一x，都有

教材．則稱函數(shù)值f

0f0或極小值0

高等數(shù)學(xué)》同濟(jì)大學(xué)第五版．函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點．對極值義的理解：函數(shù)的極大值、極小值概念是局部性的概念．函數(shù)的極大值不一定比極小值大．函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部．（二、數(shù)存在值的必要條觀察圖1極值點處的切線有什么特點？結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們能否得到什么樣的結(jié)論？定理﹙極值的必要條件﹚設(shè)函數(shù)f可導(dǎo)，且在x處取得極值，則一定有

．

0

0分

0析：我們知道函數(shù)的極值就是局部的最值，而證明極值點處的導(dǎo)數(shù)為零只要在極值點的某一鄰域內(nèi)考慮即可，那么就是證明這一鄰域內(nèi)的最值處導(dǎo)數(shù)為零，而這實際上就是費馬（）引理的內(nèi)容．證

明：設(shè)f類似證明根據(jù)極值的定義，對于Uff當(dāng)x，lim000ff當(dāng)，00lim0．0x0x2x，xx，xx從而，f

．0（三、數(shù)存在值的充分條定義

使導(dǎo)數(shù)

點（穩(wěn)定點定理1明：可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是駐點。討

論1、函數(shù)的駐點一定是極值點嗎？函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點可能是極值點嗎？觀察1，極大值點與極小值點左右兩側(cè)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號如何變化？注

意駐點不一定是極值點如函數(shù)f

的駐點x不是極值點定理1表明對可導(dǎo)函數(shù)而言求極值點應(yīng)先找出駐點，然后對駐點進(jìn)行判斷，哪些是極值點哪些不是極值點．根據(jù)極值的定義及函數(shù)單調(diào)性的判定法不難知道：如果在駐點兩側(cè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號相反，則駐點必然是使函數(shù)單調(diào)性改變的點，從而一定是函數(shù)的極值點．由此我們得到下面的定理定理2（值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)f處連續(xù)，且在0點

的某一鄰U

（點

可除外具有導(dǎo)數(shù)于U

0（1）若

x

00時，

x

，

0是函數(shù)

0（2）若

時，f

，

0是函數(shù)

0

0（3）在

兩側(cè)，f

0

0值．分

析：顯然）與）的證明是類似的．由于證明極值是比較0

處的函數(shù)值與其鄰域內(nèi)的其它點處的函數(shù)值，而拉格朗日（Lagrange）中值定理就是討論函數(shù)值之差與自變量之差之間的關(guān)系的，因此應(yīng)用拉格朗日（Lagrange）中值定理可證明．3xxxxx．xxxxxx．xxx證

明：僅證⑴，設(shè)U

內(nèi)任意一點，根據(jù)拉格朗日0（Lagrange）中值定理得f

之間．0由（1）的條件可知：

0

0當(dāng)

時，ffff

0；當(dāng)x0

0

，

000對0，都有

．根據(jù)極值的定義知f

00（2的證明是類似的，建議學(xué)生出．定理2表明：如果在點x側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相反，x一定是0

0極值點，如果在點

x

兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相同，則

x

就一定不是極值

點．問題：根據(jù)定理2否尋求到求函數(shù)極值的方法？求極值步驟：求出導(dǎo)數(shù)f

求出f可導(dǎo)點；根據(jù)定理2確定這些點是不是極值點，如果是極值點，進(jìn)一步確定是極大值點還是極小值點；求出各極值點處的函數(shù)值,就得到函數(shù)f應(yīng)用舉：例1函數(shù)f

x

x的極值．解該函數(shù)的定義域f

3x

令

x

x

．駐點將定義域分成三部分，1

2現(xiàn)列表討論如下：4xxxxxxxxxx

-1

3

f

+

0

-

0

+f

↗

極大值

↘

極小值

↗數(shù)f為f取得

極小值，極小值為

f

．上述有關(guān)極值的充分條件和必要條件都是對可導(dǎo)函數(shù)而言的，在此條件下，極值點一定是駐點，因此只要求出函數(shù)的駐點，再由定理考察各個駐點是否為極值點就行了．但是如果函數(shù)有不可導(dǎo)點，就不能肯定極值點一定是駐點了，因為在導(dǎo)數(shù)不存在的點處，函數(shù)也可能取得極值。請看下例：例2求函數(shù)f

的極值．解該函數(shù)的定義域當(dāng)x2時，f

23

；當(dāng)x2時，f

當(dāng)x2，f

，f

處連續(xù)，所以x2是函數(shù)f極大值為注意：上是利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的極值，當(dāng)函數(shù)在駐點處的二階導(dǎo)數(shù)存在且不為零時，也可以利用下面的定理用二階導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)在駐點處是取得極大值還是極小值．定理3﹙極值的第二充分條件﹚設(shè)函數(shù)

處具有二階導(dǎo)數(shù)，且

，f

則

0（1）當(dāng)f

0

處取得極大值；00（2）當(dāng)f處取得極小值．0證明只證情形⑴，情形⑵的證明是類似的．由導(dǎo)數(shù)的定義及f

和f

，得f

0flimxx5

f0xxfxxxx3xfxxxx3x21xx2根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性定理，對于U

，有．0x因此，當(dāng)

時，f

，

f

00根據(jù)定理2，函數(shù)取得極大值．0x理3數(shù)f0定是函數(shù)f

數(shù)0注意：如果f

0，就不能用定理3來判斷

是否為極值0點．事實上，當(dāng)f000值，也可能有極小，也可沒有極．例如f，

三個函數(shù)就分別屬于這三情況。所以，當(dāng)函數(shù)在駐點處的二階導(dǎo)數(shù)為零時，只能用定理來判斷，即：由駐點左右兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷．應(yīng)舉：例3求函數(shù)f的極值．解：f

2

．令

x

x

．f

．

2

3因極小值，極小值為f又f

定理2來判斷．當(dāng)，f在沒有極值．同理，f有極值．三、鞏練習(xí)習(xí)題．1、求下列函數(shù)的極值（1）y2xx

（2）1x612a為何值時，函數(shù)fsin3x在