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文檔簡介
圖形的相似本章內(nèi)容第3章
比例線段本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.1子目內(nèi)容3.1.2成比例線段我們知道線段既有形狀又有大小,這節(jié)課我們主要研究線段之間的數(shù)量關(guān)系,并由數(shù)量關(guān)系帶給我們對圖形形狀的思考!動腦筋引入做一做如圖3-1,在方格紙上(設(shè)小方格邊長為單位1)有△ABC和△A′B′C′,它們的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.試求出線段AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的長度,并計(jì)算AB與A′B′,BC與B′C′,AC與A′C′的長度的比值.說一說問題1:(1)請問圖3-1中,AB與A′B′,BC與B′C′,AC與A′C′三對線段的長度的比值有什么關(guān)系?
(2)再觀察圖3-1中的△ABC
和△A′B′C′,說一說它們的形狀有什么關(guān)系?定義1:一般地,如果選用同一長度單位量得兩條線段AB,A′B′的長度分別為m,n,那么把它們的長度的比叫作這兩條線段AB與A′B′的比(ratio),記作或AB∶A′B′=m∶n
;如果的比值為k,那么上述式子也可寫成或AB
=k·A′B′.結(jié)論動腦筋問題2:圖3-1中的△ABC
和△A′B′C′中AB、BC、A′B′
、B′C′這四條線段有什么樣的數(shù)量關(guān)系
?△ABC
和△A′B′C′中還有其它的四條線段也具有同樣的數(shù)量關(guān)系嗎?結(jié)論定義2:在四條線段中,如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比,那么這四條線段叫作成比例線段,簡稱為比例線段(proportionalsegments).舉例例3(1)已知線段a,b,c,d
的長度分別為0.8cm,2cm,1.2cm,3cm,問a,b,c,d是比例線段嗎?解(一)
∵
∴,即a,b,c,d是比例線段.解(二)
∵
∴,即a,b,c,d是比例線段.舉例例3(2)已知線段a,b,c,d是比例線段,其中a,b,c的長度分別為0.8cm,2cm,1.2cm,求d.解∵線段a,b,c,d是比例線段,∴或或;當(dāng)時,代入已知數(shù),解得d=3cm;當(dāng)時,代入已知數(shù),解得,d=0.48cm;當(dāng)時,代入已知數(shù),解得,d=
cm.
動腦筋問題3:你能畫出成比例線段嗎?思路(1).由例3的啟發(fā),畫長度分別是1cm、2cm、3cm、6cm的四條線段,這樣的四條線段是成比例線段;當(dāng)然長度分別為1cm、2cm、2cm、4cm的四條線段是成比例線段。思路(2).如圖,平行四邊形ABCD中的
四條線段是成比例線段解∵平行四邊形ABCD,
∴AB=CD,BC=AD;
∴或;∴AB、BC、CD、DA四條線段是成比例線段.當(dāng)然矩形、正方形、菱形中的四條線段也分別都是成比例線段.動腦筋問題4:古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家歐多克索斯(約400—約前347)曾經(jīng)提出一個問題:能否將一條線段AB分成不相等的兩部分,使較短線段CB與較長線段AC的比等于線段AC與原線段AB的比?即,使得成立?小知識解決方法:先把問題特殊化,設(shè)線段AB的長度為1個單位,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),且AC的長度為x個單位,則CB的長度為(1-x)個單位.由等式,得解得(舍去).因此小知識小結(jié):借助方程的知識,我們知道在一個單位長度的線段上存在一點(diǎn)將其分成不相等的兩部分,其中較短的線段與較長的線段的比等于較長線段與原線段的比,而且比值等于.問題5:對于任意長度的線段是否存在一點(diǎn)將其分成不相等的兩部分,其中較短的線段與較長的線段的比等于較長線段與原線段的比嗎?動腦筋如果能的話,這個比值會是嗎?解決方法:參考特殊方法,把特殊值1變成任意值a。動腦筋設(shè)線段AB的長度為a
個單位,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),且AC的長度為x個單位,則CB的長度為(a-x)個單位.由等式,得因此,.
解得(舍去).小知識小結(jié):借助方程的知識,我們知道在任意長度的線段上也存在一點(diǎn)將其分成不相等的兩部分,其中較短的線段與較長的線段的比等于較長線段與原線段的比,而且比值也等于結(jié)論定義3:如果能將一條線段AB分成不相等的兩部分,使較短線段CB與較長線段AC的比等于線段AC與原線段AB的比,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割(goldensection),點(diǎn)C叫作線段AB的黃金分割點(diǎn),較長線段AC與原線段AB的比叫作黃金分割比.
問題6:我們知道任意線段都有黃金分割點(diǎn),那如何找到它呢?動腦筋
對于一條給定的線段AB,找出它的黃金分割點(diǎn)的作法如下:(1)過點(diǎn)B作AB的垂線,并在垂線上取BC=AB;(2)連接AC,以點(diǎn)C為圓心,CB為半徑畫弧,交AC于點(diǎn)E;(3)以點(diǎn)A為圓心,AE為半徑畫弧,交AB于點(diǎn)P.則點(diǎn)P為所求作的線段AB的黃金分割點(diǎn).欣賞:我們知道黃金分割比是個確定數(shù),這個數(shù)可是
享譽(yù)全世界的,因?yàn)楸戎凳撬木€段
圍成的圖形是最美麗的圖形.小知識小知識古希臘的巴臺農(nóng)神廟正面高度與底部寬度之比約為黃金分割比.小知識印度泰姬陵正面高度與底部寬度之比約為黃金分割比.小知識意大利著名畫家達(dá)·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中,人物的臉的寬度與高度的比就是一個黃金分割比.習(xí)題3.11.求下列各式中x的值.(1)5∶7=15∶x
;(2)144∶5=x∶25;(3)52∶x=26∶8;(4)x∶13=65∶78.答:(1)x=21;(2)x=720;
(3)x=16;(4)
x=.2.已知a,b,c,d是比例線段.(1)若a=2,b=3,c=4,求d;(2)若a=1.5,c=2.5,d=4.5,求b;(3)若a=1.1,b=2.2,d=4.4,求c.答:(1)
d=6或或;答:(2)
b=
7.5或2.7或;答:(3)
c=8.8或2.2或0.55
.
3、甲、乙兩地的實(shí)際距離為680km,在某地圖上量得這兩地的距離為17cm,求該地圖的比例尺.答:因?yàn)?80km=68000000cm,所以該地圖的比例尺=68000000:17=4000000:1.
4、如圖,節(jié)目主持人在主持節(jié)目時,站在舞臺的黃金分割點(diǎn)處最自然得體.若舞臺AB長為20m,則主持人站在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處最自然得體?(結(jié)果精確到0.1m)解:設(shè)AB的黃金分割點(diǎn)為C,則AC≈0.618AB或BC
≈0.618AB,解得AC≈12.5m或AC
≈7.6m.答:所以主持人站在離A點(diǎn)12.5m或7.6m遠(yuǎn)處最自然得體.
小結(jié)與復(fù)習(xí)1、請問同學(xué)們這節(jié)課你學(xué)習(xí)了關(guān)于線段的什么知識?線段之間的一種數(shù)量關(guān)系:四條線段成比例
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