【數(shù)學(xué)】13空間幾何體的表面積與體積課件（人教版A必修2）5

1.3空間幾何體的表面積與體積第一章空間幾何體復(fù)習(xí)回顧上面提到的物體的幾何結(jié)構(gòu)特征大致有以下幾類(lèi)：多面體旋轉(zhuǎn)體柱體錐體臺(tái)體球問(wèn)題:1.長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖與其表面積有何關(guān)系？水立方的長(zhǎng)，寬，高分別為177m×177m×30m試求它的表面積思考1：(1)矩形面積公式：__________。(2)三角形面積公式：_________。

(3)圓面積面積公式：_________。(4)圓周長(zhǎng)公式：_________。(5)扇形面積公式：__________。(6)梯形面積公式：__________。知識(shí)回顧如何用展開(kāi)圖來(lái)計(jì)算棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積？側(cè)面展開(kāi)圖的構(gòu)成幾何體的展開(kāi)圖表面積=側(cè)面積+底面積一組平行四邊形一組梯形一組三角形探究：例1已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積．D分析：四面體的展開(kāi)圖是由四個(gè)全等的正三角形組成。因?yàn)镾B=a，所以：

因此，四面體S-ABC的表面積

．交BC于點(diǎn)D．解：先求的面積，過(guò)點(diǎn)S作BCASa典型例題例2.下圖是一個(gè)幾何體的三視圖(單位:cm)想象對(duì)應(yīng)的幾何體，并求出它的表面積12解：直觀(guān)圖是四棱臺(tái),側(cè)面是四個(gè)全等的梯形,上下底面為不同的正方形如何根據(jù)圓柱、圓錐、的幾何結(jié)構(gòu)特征求它們的表面積.表面積側(cè)面積側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題1圓臺(tái)呢？圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別和矩形、三角形、梯形的面積有什么相似的地方？梯形三角形矩形平面圖形面積空間體的側(cè)面積空間體側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式有什么聯(lián)系？

側(cè)面積側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題31.看圖回答問(wèn)題做一做

3.以直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為_(kāi)___________._________.

2.一個(gè)圓柱形鍋爐的底面半徑為,側(cè)面展開(kāi)圖為正方形，則它的表面積為21

4.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，這個(gè)圓錐的底面直徑____________.15cm10cm7.5cm例2如下圖,一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20cm,盆底直徑為15cm,底部滲水圓孔直徑為1.5cm,盆壁長(zhǎng)15cm.為了美化花盆的外觀(guān),需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100個(gè)這樣的花盆需要多少油漆(取3.14,結(jié)果精確到1毫升)分析(1)花盆外壁的面積=花盆的側(cè)面積+底面積-底面圓孔面積23(2)涂100個(gè)需漆:y=0.1×100×100=1000(毫升)

答:每個(gè)涂漆面積0.1,100個(gè)需涂漆1000毫升.24解:(1)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和小結(jié)：展開(kāi)圖

圓臺(tái)圓柱圓錐一、基本知識(shí)二、思想方法由特殊到一般類(lèi)比、歸納、猜想轉(zhuǎn)化的思想1.若一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是（）A.

B.

C.

D.

A練習(xí)A.3cmD.6cmB.4cmC.5cm2.已知圓臺(tái)的上下底面的半徑分別為2cm和4cm,它的表面積為,則它的母線(xiàn)長(zhǎng)為()A3.若一個(gè)棱臺(tái)的上、下底分別是邊長(zhǎng)為1cm和3cm的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)為2cm,則棱臺(tái)的側(cè)面積為()A.B.C.D.D4.一個(gè)直角三角形的直角邊分別為12與5,以較長(zhǎng)的直角邊為軸,旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積為()A.B.C.D.C8.已知圓錐表面積為,且側(cè)面展開(kāi)圖形為扇形,扇形的圓心角為,則圓錐底面半徑為_(kāi)____.16.已知圓錐的表面積為,且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,求這個(gè)圓錐的底面直徑____.5.五棱臺(tái)的上、下底面均是正五邊形,邊長(zhǎng)分別是8cm和18cm,側(cè)面是全等的等腰梯形,側(cè)棱長(zhǎng)是13cm,求它的側(cè)面面積______.7.已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積展開(kāi)圖----扇形的圓心角為_(kāi)___度1807802．柱體、錐體、臺(tái)體的體積幾何體體積公式柱體V＝____(S為底面面積，h為柱體的高)錐體V＝_____(S為底面面積，h為錐體的高)臺(tái)體V＝__________________(S，S′分別為上、下底面積，h為臺(tái)體的高)Sh小結(jié)本節(jié)課主要介紹了求幾何體的表面積的方法：將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，利用平面圖形求面積的方法求立體圖形的表面積.三者之間關(guān)系圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和小結(jié)：展開(kāi)圖

圓臺(tái)圓柱圓錐一、基本知識(shí)二、思想方法由特殊到一般類(lèi)比、歸納、猜想轉(zhuǎn)化的思想直棱柱：側(cè)棱和底面垂直的棱柱側(cè)面展開(kāi)斜高h(yuǎn)’正棱錐：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面的中心，則稱(chēng)這樣的棱錐為正棱錐。側(cè)面展開(kāi)正棱臺(tái)正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái)練習(xí)5.已知圓錐的底面半徑為2cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為3cm。它的展開(kāi)圖的形狀為_(kāi)_______。該圖形的弧長(zhǎng)為_(kāi)____cm，半徑為_(kāi)_____cm，所以圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_____cm2。扇形6π34π扇形面積公式學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來(lái)．所以我們先來(lái)回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法．球的體積我們把一個(gè)半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來(lái)，把一個(gè)圓近似的看成是邊長(zhǎng)分別是當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來(lái)越高；當(dāng)份數(shù)無(wú)窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式．即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮n變?yōu)闊o(wú)窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積．球的體積分割求近似和化為準(zhǔn)確和球的體積問(wèn)題:已知球的半徑為R,用R表示球的體積.AOB2C2AOOROA球的體積球的體積2)若每小塊表面看作一個(gè)平面,將每小塊平面作為底面,球心作為頂點(diǎn)便得到n個(gè)棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)n越大,越接近于球的體積,當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)就精確到等于球的體積.1)球的表面是曲面,不是平面,但如果將表面平均分割成n個(gè)小塊,每小塊表面可近似看作一個(gè)平面,這n小塊平面面積之和可近似看作球的表面積.當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí),這n小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積.球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積公式呢?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,是否也可借助于這種極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式呢?

下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式．球的表面積球的表面積第一步：分割球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：OO球的表面積第二步：求近似和由第一步得：OO球的表面積第三步：化為準(zhǔn)確和

如果網(wǎng)格分的越細(xì),則:“小錐體”就越接近小棱錐O球的表面積例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)【質(zhì)量=密度ｘ體積】例題講解(變式1)一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是7.9g/cm2)解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計(jì)算器算得:例題講解(變式2)把鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時(shí),球與正方體有什么位置關(guān)系?球內(nèi)切于正方體側(cè)棱長(zhǎng)為5cm例題講解例2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問(wèn)球O的表面積。· ·································································· ABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱(chēng)圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線(xiàn)與球的直徑相等。ABCDD1C1B1A1O例題講解OABC例３已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，表面積．解：如圖，設(shè)球O半徑為R，截面⊙O′的半徑為r，例題講解重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的2/3三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)邊的中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn)。重心定理：重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線(xiàn)長(zhǎng)的2/3三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)邊的中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中線(xiàn)。OABC例３.已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，表面積．例題講解4.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.練習(xí)二1.若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的___倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的___倍.3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______.課堂練習(xí)7.將半徑為1和2的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么這個(gè)大鉛球的表面積是______.5.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面積分別為，則它的外接球的表面積為_(kāi)____.6.若兩球表面積之差為48π,它們大圓周長(zhǎng)之和為12π,則兩球的直徑之差為_(kāi)_____.練習(xí)二課堂練習(xí)了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割→求近似和→化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法—極限思想，它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分“定積分”內(nèi)容的一個(gè)應(yīng)用；熟練掌握球的體積、表面積公式：課堂小結(jié)2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)是4cm,這個(gè)球的體積為＿＿＿cm3.83.有三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比_________.1.球的直徑伸