切線長(zhǎng)定理上課

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系3··oo′p1.連結(jié)OP2.以O(shè)P為直徑作⊙O′，與⊙O交于A、B兩點(diǎn)。AB即直線PA、PB為⊙O的切線如圖，已知⊙O外一點(diǎn)P，你能用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線嗎？通過(guò)作圖你能發(fā)現(xiàn)什么呢？1.過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線可以作兩條2.點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線OP對(duì)稱經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。切線長(zhǎng)是一條線段實(shí)驗(yàn)觀察說(shuō)明·opAB如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)。如果連結(jié)OA、OB、OP，圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？探究∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點(diǎn)∴OA⊥PA，OB⊥PB又∵OA＝OB，OP＝OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO結(jié)論切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角?！pAB符號(hào)語(yǔ)言∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點(diǎn)∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO猜想如圖，若連接AB，則OP與AB有什么關(guān)系？分析∵PA、PB是⊙O的切線，

A、B為切點(diǎn)∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分ABCD歸納從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線垂直平分切點(diǎn)所成的弦；平分切點(diǎn)所成的弧。AD與BD相等嗎？⌒⌒例1已知，如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).直線OP交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）寫出圖中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半徑OA的長(zhǎng).AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)設(shè)OA=xcm,則PO=PD+x=2+x(cm)

在Rt△OAP

中，由勾股定理，得

PA2+OA2=OP2

即42+x2=(x+2)2

解得x=3cm

所以，半徑OA的長(zhǎng)為3cm.利用切線長(zhǎng)定理進(jìn)行計(jì)算·P·OABc如圖，P為⊙O

外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，OP交⊙O于C，若PA＝6，PC＝2，求⊙O的半徑OA及兩切線PA、PB的夾角。解：連接OA、AC，則OA⊥AP在Rt△AOP中，設(shè)OA＝x則OP＝x＋2∴OA2＋PA2＝OP2即x2＋62＝（x＋2）2解得x＝2，即OA＝OC＝2∴OP＝4

在Rt△AOP中，OP＝2OA∴∠APO＝30°∵PA、PB是⊙O的切線∴∠APB＝2∠APO＝60°∴⊙O的半徑為2，兩切線的夾角為60°練習(xí)解得x＝2，即OA＝OC＝2·思考如圖所示是一張三角形的鐵皮，如何在它上面剪下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大呢？·ABCABCMDNI結(jié)論與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓；三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做三角形的內(nèi)心；這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。明確1.一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓；2.一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；3.三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；4.三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的長(zhǎng).解:設(shè)AF=x(cm),BD=y(cm),CE＝z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵

⊙O與△ABC的三邊都相切∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD則有x＋y＝9y＋z＝14x＋z＝13解得x＝4y＝5z＝9基礎(chǔ)題：1.既有外接圓,又內(nèi)切圓的平行四邊形是______.2.直角三角形的外接圓半徑為5cm,內(nèi)切圓半徑為1cm,

則此三角形的