實際應(yīng)用問題專題講座

實際應(yīng)用問題專題講座主講：史曉輝新的《課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習(xí)必不可少的工具.”為了全面推進(jìn)新課程改革，和新的教育理念接軌，聯(lián)系實際，貼近生活的數(shù)學(xué)應(yīng)用題已經(jīng)走入各省市的中考試卷。它引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識和生活經(jīng)驗出發(fā)，使其在解決問題的過程中體會數(shù)學(xué)與自然以及人類社會的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價值，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。應(yīng)用性問題的常見模型有：

方程模型不等式模型函數(shù)模型幾何模型統(tǒng)計模型

方程（組）型應(yīng)用題（1）審：未知量、已知量、相等關(guān)系；（2）設(shè)：用字母表示未知數(shù)(寫明單位)；（3）列：列出方程（組）；（4）解：解所列方程（組）；（5）驗：檢驗答案是否符合方程、符合題意（6）答：寫出答案。一般步驟：例1．某牛奶加工廠現(xiàn)有鮮奶9噸，若在市場上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元；制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤1200元；制成奶片銷售，每噸可獲取利潤2000元．該工廠的生產(chǎn)能力是：如制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片，每天可加工1噸．受人員限制，兩種加工方式不可同時進(jìn)行，受氣溫條件限制，這批牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢，為此，該廠設(shè)計了兩種可行方案：方案一：盡可能多的制成奶片，其余直接銷售牛奶；方案二：將一部分制成奶片，其余制成酸奶銷售，并恰好4天完成．你認(rèn)為哪種方案獲利最多，為什么？解：

方案一，總利潤為4×2000＋（9－4）×500＝10500（元）

方案二，設(shè)加工奶片x噸，則

9－xx＋x＝4解得，x＝1．5

總利潤為1.5×2000＋7.5×1200＝12000（元）10500＜12000所以方案二獲利較多

例2．5.12汶川大地震發(fā)生以后，全國人民眾志成城．首長到帳篷廠視察，布置賑災(zāi)生產(chǎn)任務(wù)，下面是首長與廠長的一段對話：首長：為了支援災(zāi)區(qū)人民，組織上要求你們完成12000頂帳篷的生產(chǎn)任務(wù)．廠長：為了盡快支援災(zāi)區(qū)人民，我們準(zhǔn)備每天的生產(chǎn)量比原來多一半．首長：這樣能提前幾天完成任務(wù)？廠長：請首長放心！保證提前4天完成任務(wù)！根據(jù)兩人對話，問該廠原來每天生產(chǎn)多少頂帳篷？解：設(shè)：原來每天生產(chǎn)ｘ頂帳篷。根據(jù)題意，得

：解這個方程的：經(jīng)檢驗：x＝1000是原方程的根，且符合題意。

答：該廠原來每天生產(chǎn)1000頂帳篷。例3．長沙市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后，購房者持幣觀望．為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4050元的均價開盤銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）某人準(zhǔn)備以開盤均價購買一套100平方米的房子．開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費，物業(yè)管理費是每平方米每月1.5元，請問哪種方案更優(yōu)惠？解：

（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，根據(jù)題意，得:所以平均每次下調(diào)的百分率為0.1（2）方案①購房少花4050×100×0.02＝8100（元）

需要交兩年的物業(yè)管理費1.5×100×12×2＝3600（元）

實際得到的優(yōu)惠是8100－3600＝4500（元）

方案②省兩年物業(yè)管理費1.5×100×12×2＝3600（元）

因此方案①更優(yōu)惠

解得，（不合題意舍去）

219x10=例4．如圖，是上海世博園內(nèi)的一個矩形花園，花園的長為100米，寬為50米，在它的四角各建一個同樣大小的正方形觀光休息亭，四周建有與觀光休息亭等寬的觀光大道，其余部分（圖內(nèi)陰影部分）種植的是不同花草．已知種植花草部分的面積為3600米2，那么花園各角處的正方形觀光休息亭的邊長為多少米？設(shè)正方形觀光休息亭的邊長為x米．根據(jù)題意，得:解：（100－2x）（50－2x）=3600．

整理，得x2－75x+350=0

解得x1=5，x2=70

∵x=70>50，不合題意，舍去，∴x=5．答：矩形花園各角處的正方形觀光休息亭的邊長為5米．例5．某旅游景點為了吸引游客，推出的團體票收費標(biāo)準(zhǔn)如下：如果團體人數(shù)不超過25人，每張票價150元，如果超過25人，每增加1人，每張票價降低2元，但每張票價不得低于100元，陽光旅行社共支付團體票價4800元，則陽光旅行社共購買多少張團體票？解：

∵150×25＝3750<4800∴購買的團體票超過25張.設(shè)共購買了x張團體票，根據(jù)題意列方程得：

即x2－100x＋2400＝0當(dāng)x1＝60時，不符題意，舍去x2＝40符合題意∴x＝40答：共購買了40張團體票.不等式（組）型應(yīng)用題

現(xiàn)實世界中不等關(guān)系是普遍存在的，有關(guān)最佳決策、合理調(diào)配、統(tǒng)籌安排等最優(yōu)化問題，一般可通過對給出的一些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化、建立不等式模型，再求在約束條件下的不等式的解集．不等式（組）型應(yīng)用題（1）審：未知量、已知量、不等關(guān)系；（2）設(shè)：用字母表示未知數(shù)(寫明單位)；（3）列：列出不等式（組）；（4）解：解所列不等式（組）；（5）驗：檢驗答案是否符合不等式、符合題意（6）答：寫出答案.例1．某公司為了擴大經(jīng)營，決定購進(jìn)6臺機器用于生產(chǎn)某種活塞．現(xiàn)有甲、乙兩種機器供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示．經(jīng)過預(yù)算，本次購買機器所耗資金不能超過34萬元．60100每臺日產(chǎn)量（個）57價格（萬元/臺）乙甲（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？（2）若該公司購進(jìn)的6臺機器的日生產(chǎn)能力不能低于380個，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種方案？（1）設(shè)購買甲種機器x臺，則購買乙種機器（6－x）臺．根據(jù)題意，得：解：解這個不等式，得即x可以取0、1、2三個值所以，該公司按要求可以有以下三種購買方案：方案一：不購買甲種機器，購買乙種機器6臺；方案二：購買甲種機器1臺，購買乙種機器5臺；方案三：購買甲種機器2臺，購買乙種機器4臺；方案一：不購買甲種機器，購買乙種機器6臺；方案二：購買甲種機器1臺，購買乙種機器5臺；方案三：購買甲種機器2臺，購買乙種機器4臺；（2）按方案一購買機器，所耗資金為30萬元，新購買機器日生產(chǎn)量為360個；

按方案二購買機器，所耗資金為1×7＋5×5＝32萬元；，新購買機器日生產(chǎn)量為1×100＋5×60＝400個；

按方案三購買機器，所耗資金為2×7＋4×5＝34萬元；新購買機器日生產(chǎn)量為2×100＋4×60＝440個

因此，選擇方案二既能達(dá)到生產(chǎn)能力不低于380個的要求，又比方案三節(jié)約2萬元資金，故應(yīng)選擇方案二．例2．今年6月份，我市某果農(nóng)收獲荔枝30噸，香蕉13噸，現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共10輛將這批水果全部運往深圳，已知甲種貨車可裝荔枝4噸和香蕉1噸，乙種貨車可裝荔枝香蕉各2噸；(1)．該果農(nóng)安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案？請你幫助設(shè)計出來．(2)．若甲種貨車每輛要付運輸費2000元，乙種貨車每輛要付運輸費1300元，則該果農(nóng)應(yīng)選擇哪種方案？使運費最少？最少運費是多少元？（1）設(shè)安排甲種貨車x輛，則安排乙種貨車（10－x）輛，依題意，得解：解這個不等式組，得

安排甲、乙兩種貨車有三種方案：①甲種貨車5輛，乙種貨車5輛；②甲種貨車6輛，乙種貨車4輛；③甲種貨車7輛，乙種貨車3輛；是整數(shù)，x可取5、6、7，

∵x方法一：由于甲種貨車的運費高于乙種貨車的運費，兩種貨車共10輛，所以當(dāng)甲種貨車的數(shù)量越少時，總運費就越少，故該果農(nóng)應(yīng)選擇①運費最少，最少運費是16500元；方法二：方案①需要運費2000×5+1300×5=16500（元）方案②需要運費2000×6+1300×4=17200（元）方案③需要運費2000×7+1300×3=17900（元）∴該果農(nóng)應(yīng)選擇①運費最少，最少運費是16500元．例3．2011年8月上旬，我市受臺風(fēng)“梅花”的影響后，部分街道路面積水比較嚴(yán)重．為了改善這一狀況，市政公司決定將一總長為1200m的排水工程承包給甲、乙兩工程隊來施工．已知甲、乙兩隊合做需12天完成此項工程；若甲隊先做了8天后，剩下的由乙隊單獨做還需18天才能完工．問甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需多少天？又已知甲隊每施工一天需要費用2萬元，乙隊每施工一天需要費用1萬元，要使完成該工程所需費用不超過35萬元，則乙工程隊至少要施工多少天？設(shè)甲、乙兩隊單獨完成此項工程分別需要x天,y天．依題意得

：解：經(jīng)檢驗知它們適合方程組和題意

則甲隊每天施工1200÷20=60m，乙隊每天施工1200÷30=40m.

解之得設(shè)甲、乙兩隊實際完成此項工程分別需要a天，b天.依題意得

解得b≥15

答：甲、乙兩隊單獨完成此項工程分別需要20天，30天；要使完成該工程所需費用不超過35萬元，則乙工程隊至少要施工15天．函數(shù)型應(yīng)用問題

函數(shù)及其圖象是初中數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容之一，也是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)相聯(lián)系的紐帶;它與代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等知識有著密切聯(lián)系，在實際問題中，有關(guān)用料最省、造價最低、利潤最大等問題可以通過分析、聯(lián)想，建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.函數(shù)型應(yīng)用問題（1）審：常量、變量、相等關(guān)系；（2）設(shè)：用兩個字母分別表示自變量、因變量；（3）列：列出函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）（4）解：解決函數(shù)問題；（5）驗：檢驗答案是否符合函數(shù)關(guān)系、符合題意（6）答：寫出答案.例1．小聰和小明沿同一條路同時從學(xué)校出發(fā)到寧波天一閣查閱資料，學(xué)校與天一閣的路程是4千米.小聰騎自行車，小明步行，當(dāng)小聰從原路回到學(xué)校時，小明剛好到達(dá)天一閣.圖中折線O-A-B-C和線段OD分別表示兩人離學(xué)校的路程s(千米)與所經(jīng)過的時間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系，請根據(jù)圖象回答下列問題：(1)小聰在天一閣查閱資料的時間為

分鐘，小聰返回學(xué)校的速度為

千米/分鐘；(2)請你求出小明離開學(xué)校的路程s(千米)與所經(jīng)過的時間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)小聰與小明迎面相遇時，他們離學(xué)校的路程是多少千米?D2O4t(分鐘)s(千米)154530小聰小明ABC15(2)由圖象可知，s是t的正比例函數(shù)設(shè)所求函數(shù)的解析式為:代入(45，4)得:

解得:∴s與t的函數(shù)關(guān)系式為

()(3)由圖象可知，小聰在的時段內(nèi)s是t的一次函數(shù)，設(shè)函數(shù)解析式為:代入(30，4)，(45，0)得:

解得:

∴

令，解得

當(dāng)時，

答:當(dāng)小聰與小明迎面相遇時，他們離學(xué)校的路程是3千米.

例2．某化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)了一種化工原料共7000千克，購進(jìn)價格為每千克30元。物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克。在銷售過程中，每天還要支出其它費用500元（天數(shù)不足一天時，按整天計算）。設(shè)銷售單價為x元，日均獲利為y元。（1）求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；（2）單價定為多少元時日均獲得最多，是多少？（3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價最高這兩種銷售方式，哪一種獲總利較多，多多少？（1）若銷售單價為x元，根據(jù)題意得

：

解：（30≤x≤70）

（2）

當(dāng)單價定為65元時，日均獲利最多，是1950元。

（3）列式計算得，當(dāng)日均獲利最多時，可獲總利195000元；當(dāng)銷售單價最高時，可獲總利221500元。故當(dāng)銷售單價最高時獲總利較多，且多獲利221500-195000=26500元。例3．如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN=4dm，拋物線頂點處到邊MN的距離是4dm，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線上，問這樣截下去的矩形鐵皮的周長能否等于8dm？解：

以MN所在的直線為x軸，點M為原點建立直角坐標(biāo)系。設(shè)拋物線的頂點為P，則M（0，0），N（4，0），P（2，4）

用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為

設(shè)A點坐標(biāo)為（x，y），則AD=BC=2x-4，AB=CD=y

x的取值范圍是0<x<4（x≠2）

若l=8，則，即。解得。而0<x<4（x≠2）。故l的值不可能取8，即截下的矩形周長不可能等于8dm。解直角三角形型應(yīng)用問題掌握銳角三角函數(shù)和解直角三角形是進(jìn)行三角運算解決應(yīng)用問題和進(jìn)一步研究任意角三角函數(shù)的重要基礎(chǔ)。因此，解直角三角形既是各地中考的必考內(nèi)容，更是熱點內(nèi)容。幾乎每份試卷都有一道實際應(yīng)用題出現(xiàn)。

例1.如圖，點A是一個半徑為300米的圓形森林公園的中心，在森林公園附近有B、C兩個村莊，現(xiàn)要在B、C兩村莊之間修一條長為1000米的筆直公路將兩村連通，經(jīng)測得∠ABC=45o，∠ACB=30o，問此公路是否會穿過該森林公園？請通過計算進(jìn)行說明。解：

A

B

H

C例2.

永樂橋摩天輪是天津市的標(biāo)志性景觀之一．某校數(shù)學(xué)興趣小組要測量摩天輪的高度．如圖，他們在C處測得摩天輪的最高點A的仰角為45°，再往摩天輪的方向前進(jìn)50m至D處，測得最高點A的仰角為60°．求該興趣小組測得的摩天輪的高度AB（，結(jié)果保留整數(shù)）．解：根據(jù)題意，可知根據(jù)題意，可知∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，DC＝50解：在Rt△ABC中，由∠BCA＝∠BAC＝45°,得BC＝AB.在Rt△ABD中，由得

又∵

∴

，即∴

答：該興趣小組測得的摩天輪的高度約為118m.

ABCD45°60°ADNM北東15°60°PB例3.一艘輪船向正東方向航行，在A處測得燈塔P在A的北偏東60°方向上，航行40海里到達(dá)B處，此時測得燈塔P在B的北偏東15°方向.（1）求燈塔P到輪船航線的距離PD是多少海里（結(jié)果保留根號）？（2）當(dāng)輪船從B處繼續(xù)向東航行時，一艘快艇從燈塔P處同時前往D處，盡管快艇速度是輪船速度的2倍，但快艇還是比輪船晚15分鐘到達(dá)D處，求輪船每小時航行多少海里？（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）解：

（1）過點B作BC⊥AP于點C

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°

∴BC=AB=20，AC=AB·cos30°=20∵∠PBD=90°-15°=75°，

∠ABC=90°-30°=60°∴∠CBP=180°-75°-60°=45°∴PC=BC·tan45°=20∴AP=AC+PC=（20+20）海里∵PD⊥AD，∠PAD=30°∴PD=AP=10+10

答：燈塔P到輪船航線的距離PD是（10+10）海里.

（2）設(shè)輪船每小時航行x海里，在Rt△ADP中，

AD=AP·cos30°=（20+20）=（30+10）海里∴BD=AD-AB=30+10-40=（10-10）海里

+=經(jīng)檢驗，是原方程的解

x=60-20∴≈60-20×1.73=25.4≈25

x=60-20答：輪船每小時航行約25海里

.

x=60-20∴

幾何型應(yīng)用問題常常以現(xiàn)實生活情景為背景，考查學(xué)生識別圖形、動手操作圖形、運用幾何知識解決實際問題以及探索、發(fā)現(xiàn)問題等能力，同時也對學(xué)生觀察、想像、分析、綜合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查．

幾何型應(yīng)用問題踏板長榫頭圖2圖1例1．王大伯要做一張如圖1的梯子，梯子共有8級互相平行的踏板，每相鄰兩級踏板之間的距離都相等．已知梯子最上面一級踏板的長度A1B1＝0.5m，最下面一級踏板的長度A8B8＝0.8m．木工師傅在制作這些踏板時，截取的木板要比踏板長，以保證在每級踏板的兩個外端各做出一個長為4cm的榫頭（如圖2所示），以此來固定踏板．現(xiàn)市場上有長度為2.1m的木板可以用來制作梯子的踏板（木板的寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），請問：制作這些踏板，王大伯最少需要買幾塊這樣的木板？請說明理由．（不考慮鋸縫的損耗）設(shè)要制作A1B1，A2B2，…，A8B8這些踏板需用木板的長度分別為a1cm,a2cm,，…，a8cm，則a1

＝50＋8＝58，解：

如圖，設(shè)自上往下第2，3，4，5，6，7級踏板的長依次為A2B2，A3B3，…，A7B7，過A1作B1B8的平行線分別交A2B2，A3B3，…，A8B8于點C2，C3

，…，C8。A1B1A2B2C2A8B8C8∵每兩級踏板之間的距離相等，∴C8B8＝C7B7

＝…＝C2B2

＝A1B1

＝50cm，A8C8

＝80－50＝30cm，∵A2C2∥A8C8，∴∠A1A2C2

＝

∠A1A8C8，∠A1C2A2

＝

∠A1C8A8，∴△A1A2C2∽△A1A8C8，∴A2C2∶A8C8

＝1∶7∴A2C2

＝730∴王大伯買的木板肯定不能少于3塊．

又∵∴王大伯最少買3塊這樣的木板就行了．

統(tǒng)計型應(yīng)用問題

統(tǒng)計的內(nèi)容有著非常豐富的實際背景，其實際應(yīng)用性特別強，與統(tǒng)計有關(guān)的實際問題可建立統(tǒng)計模型，并利用統(tǒng)計的知識加以解決。例1.根據(jù)北京市水務(wù)局公布的2009年、2010年北京市水資源和用水情況的相關(guān)數(shù)據(jù)，繪制如圖1統(tǒng)計圖表：2010年北京市水資源分布圖（單位：億m3）2009年北京市用水量統(tǒng)計圖6.783.226.882.793.51潮白河水系永定河水系薊運河水系北運河水系永定河水系大清河水系農(nóng)業(yè)用水生活用水工業(yè)用水環(huán)境用水2％37％39％22％012345678水系2.796.786.883.22永定河水系潮白河水系北運河水系薊運河水系大清河水系水資源量2010年北京市水資源統(tǒng)計圖（單位：億m3）2010年北京市用水情況統(tǒng)計表38.3％19.7％3.2％38.8％占全年總用水量的比例13.226.8013.38用水量（單位：億m3）農(nóng)業(yè)用水工業(yè)用水環(huán)境用水生活用水（1）北京市水資源全部由永定河水系、潮白河水系、北運河水系、薊運河水系、大清河水系提供.請你根據(jù)以上信息補全2010年北京市水資源統(tǒng)計圖，并計算2010年全市的水資源總量（單位：億m3）；（2）在2010年北京市用水情況統(tǒng)計表中，若工業(yè)用水量比環(huán)境用水量的6倍多0.2億m3，請你先計算環(huán)境用水量（單位：億m3），再計算2010年北京市用水總量（單位：億m3）；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你計算2010年北京市的缺水量（單位：億m3）；（4）結(jié)合2009年及2010年北京市的用水情況，談?wù)勀愕目捶?（1）由于從2010年北京市水資源分布圖中知道大清河水系的水資源量為3.51億m3，所以補全2010年北京市水資源統(tǒng)計圖見如圖2；由此可以計算出水資源總量為23.18億m3.012345678水系2.796.786.883.22永定河水系湖白河水系北運河