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文檔簡介
7/7§6.2.4向量的數(shù)量積一、內容和內容解析內容:向量的數(shù)量積.內容解析:本節(jié)是高中數(shù)學人教A版必修2第六章第2節(jié)的第四課時內容.教材以物理中力作功為背景引入向量的數(shù)量積,與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣有明顯的幾何意義,用途廣泛,但與向量的線性運算不同的是,數(shù)量積的運算結果是數(shù)量而不是向量.會計算兩個向量的數(shù)量積,提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).通過探究投影向量的表達式,進而得到數(shù)量積的幾何意義,提升直觀想象,邏輯推理的核心素養(yǎng).二、目標和目標解析目標:(1)通過物理中“功”等實例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.(2)通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.(3)會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.目標解析:(1)能從物理中“功”的具體實例中,引出向量的數(shù)量積的概念,能依據數(shù)量積的概念計算平面向量的數(shù)量積,并能像了解實數(shù)的運算律一樣,通過具體實例了解向量數(shù)量積的性質.(2)能從圖形中判斷向量投影與投影向量,知道向量投影是一種正交變換,并能表示投影向量與原向量之間的關系,能借助向量投影與投影向量體會向量數(shù)量積的幾何意義.(3)知道兩個平面向量的垂直等價于其數(shù)量積為零,并能用這一結論進行向量運算.基于上述分析,本節(jié)課的教學重點定為:平面向量數(shù)量積的定義,平面向量數(shù)量積的運算.三、教學問題診斷分析1.教學問題一:兩個向量夾角的定義是指同一點出發(fā)的兩個向量所構成的較小的非負角,因此向量夾角定義理解不清而造成解題錯誤是一些常見的誤區(qū).同時利用向量的數(shù)量積,可以解決兩向量垂直問題,要深刻理解兩向量垂直的充要條件,應用的時候才能得心應手.解決方案:數(shù)形結合讓學生體驗夾角的概念,強調夾角一定是共起點的最小角.2.教學問題二:向量的數(shù)量積是一種新的向量運算,與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣,它也有明顯的物理意義、幾何意義,用途廣泛.但與向量的線性運算不同的是,它的運算結果不是向量而是數(shù)量,正是這個不同點溝通了向量運算與數(shù)量之間的關系.解決方案:強調兩個非零向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它的值是兩個向量的長度與兩個向量夾角的余弦的乘積.3.教學問題三:對于向量的數(shù)量積運算,學生容易受實數(shù)乘法運算性質的負遷移的影響,可能出現(xiàn)一些錯誤,教師要盡可能地引導學生舉一些反例,糾正錯誤.解決方案:引導學生借助畫圖、舉反例來澄清認識,體會向量運算與實數(shù)運算的差異.基于上述情況,本節(jié)課的教學難點定為:數(shù)量積的性質及其應用.四、教學策略分析本節(jié)課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示.數(shù)量積的概念既是本節(jié)課的重點,也是難點.為了突破這一難點,首先無論是在概念的引入還是應用過程中,物理中“功”的實例都發(fā)揮了重要作用.其次,作為數(shù)量積概念延伸的性質和運算律,不僅能夠使學生更加全面深刻地理解概念,同時也是進行相關計算和判斷的理論依據.最后,無論是數(shù)量積的性質還是運算律,都希望學生在類比的基礎上,通過主動探究來發(fā)現(xiàn),因而對培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的載體.在教學設計中,采取問題引導方式來組織課堂教學.問題的設置給學生留有充分的思考空間,讓學生圍繞問題主線,通過自主探究達到突出教學重點,突破教學難點.在教學過程中,重視數(shù)量積的概念和運算律,讓學生在類比的基礎上體會到從特殊到一般是數(shù)學抽象的基本過程.因此,本節(jié)課的教學是實施數(shù)學具體內容的教學與核心素養(yǎng)教學有機結合的嘗試.五、教學過程與設計 教學環(huán)節(jié)問題或任務師生活動設計意圖創(chuàng)設情境引入新知[問題1]我們已經研究了向量的哪些運算?這些運算的結果是什么?[問題2]我們是怎么引入向量的加法運算的?我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的?[問題3]當力F與運動方向成某一角度時,力F對物體所做的功等于多少呢?教師1:提出問題1.學生1:學生思考.教師2:提出問題2.學生2:學生思考.物理模型→概念→性質→運算律→應用.教師3:提出問題3.學生3:使學生在與向量加法類比的基礎上明了本節(jié)課的研究方法和順序,為教學活動指明方向.探尋規(guī)律,明確概念[問題4]向量的夾角該如何定義?它的范圍是什么?[問題5]你能用文字語言來表述功的計算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量,其結果又該如何表述?[問題6]向量的數(shù)量積運算與線性運算的結果有什么不同?影響數(shù)量積大小的因素有哪些?例1.已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角θ=,求ab.例2.設|a|=12,|b|=9,ab=,求a與b的夾角θ.[問題7]如圖,在平面內任取一點O,作=a,=b,設與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為,過點M作直線ON的垂線,垂足為M1,則等于什么?[問題8]數(shù)量積的幾何意義是什么?【練習】已知非零向量a與b的夾角為45°,|a|=2,與b方向相同的單位向量為e,向量a在向量b上的投影向量為c,則c=.[問題9]根據數(shù)量積的概念,數(shù)量積有哪些性質?[問題10]類比數(shù)的乘法運算律,結合向量的線性運算的運算律,你能得到數(shù)量積運算的哪些運算律?能否證明一下?教師4:提出問題4.學生4:已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作=a,b,則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角.范圍是:教師5:我們可以用圖來表示:當,a與b同向;當,a與b反向;當,a與b垂直教師6:提出問題5.學生5:功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積;兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積.教師7:明確概念:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,我們把數(shù)量︱a︱︱b︱cos叫做a與b的數(shù)量積(或內積),記作:,即:=︱a︱︱b︱cos.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.教師8:提出問題6.學生6:數(shù)量積的結果是數(shù),線性運算的結果是向量.學生7:影響因素有:模長和夾角.教師9:完成表格:角的范圍的符號學生8:學生思考,完成表格.教師10:追問:你能用數(shù)量積的概念解決以下問題嗎?學生9:學生思考,完成例題.教師11:引入投影向量:如圖,設a,b是兩個非零向量,=a,=b,作如下變換:過的起點A和終點B,分別作所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到,我們稱上述變換為向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.教師12:提出問題7.學生10:=|a|cose.教師13:提出問題8.學生11:在上的投影向量.教師14:完成練習學生12:c=|a|cos45°e=2e=e.教師15:提出問題9:師生共同總結數(shù)量積的性質:(1)ae=ea=|a|cos.(2)a⊥b?ab=0.(3)當a與b同向時,ab=|a||b|;當a與b反向時,ab=-|a|b|.(4)a·a=a2=|a|2或|a|=eq\r(a·a)=eq\r(a2).(5)|ab|≤|a||b|.(6)cosθ=eq\f(a·b,|a||b|).學生結合數(shù)量積的定義自己嘗試推證上述性質,教師給予必要的補充和提示,學生在推導過程中理解并記憶這些性質.教師16:提出問題10:學生13:教師17:表格中的結論有沒有問題?學生14:數(shù)量積的結合律一般不成立,因為(a·b)·c是一個與c共線的向量,而(a·c)·b是一個與b共線的向量,兩者一般不同.教師18:向量數(shù)量積的運算律交換律a·b=b·a對數(shù)乘的結合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c通過此環(huán)節(jié)不僅使學生認識到數(shù)量積的結果與線性運算的結果有著本質的不同,而且認識到向量的夾角是決定數(shù)量積結果的重要因素,為下面更好地理解數(shù)量積的性質和運算律做好鋪墊.通過例題鞏固數(shù)量積的概念.這樣做不僅讓學生從“形”的角度重新認識數(shù)量積的概念,從中體會數(shù)量積與向量投影的關系,同時也更符合知識的連貫性.結合數(shù)量積、投影的概念和幾何意義,讓學生自己嘗試得到數(shù)量積的性質,培養(yǎng)學生獨立思考的能力.有了運算方法就有運算律,通過問題讓學生理解平面向量數(shù)量積運算律,并運用投影向量的性質證明數(shù)量積的分配律.典例探究落實鞏固1.求投影向量例3.已知|a|=4,e為單位向量,它們的夾角為eq\f(2π,3),則向量a在向量e上的投影向量是______;向量e在向量a上的投影向量是________.2.利用數(shù)量積解決向量的夾角和垂直問題例4.已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)3利用數(shù)量積求向量的模例5.已知|a|=|b|=5,向量a與b的夾角為eq\f(π,3),求|a+b|,|a-b|的值.[課堂練習1]設向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=,則a·b=().A.1
B.2
C.3D.5[課堂練習2]設向量a,b滿足|a|=|b|=1,a·b=,則|a+2b|=_____.教師19:完成例3學生15:向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4coseq\f(2π,3)e=-2e.因為與向量a方向相同的單位向量為=,所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθ=coseq\f(2π,3)=-a.教師20:完成例4學生16:由題意,得a·(2a+b)=2a2+a·b=0,即a·b=-2a2,設a與b的夾角為θ,則cosθ=eq\f(a·b,|a|·|b|)=eq\f(-2a2,4a2)=-eq\f(1,2),所以θ=eq\f(2π,3),故選C.教師21:完成例5學生17:因為a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,a·b=|a||b|cosθ=5×5×coseq\f(π,3)=eq\f(25,2),所以|a+b|=eq\r(a+b2)=eq\r(a2+b2+2a·b)=eq\r(25+25+25)=5eq\r(3),|a-b|=eq\r(a-b2)=eq\r(a2+b2-2a·b)=eq\r(25+25-25)=5.教師18:布置課堂練習1、2.學生16:完成課堂練習,并訂正答案.通過例題,讓學生熟悉向量數(shù)量積的運算.課堂練習1:考查學生對平面向量數(shù)量積運算的掌握情況課堂練習2:考查學生通過平面向量數(shù)量積運算求向量的模的能力.課堂小結升華認知[問題11]通過這節(jié)課,你學到了什么知識?在解決問題時,用到了哪些數(shù)學思想?[課后練習]1.若|m|=4,|n|=6,m與n的夾角為135°,則m·n=()A.12B.12eq\r(2)C.-12eq\r(2)D.-122.若向量a與b的夾角為60°,|b|=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,則a的模為()A.2B.4C.6D.123.已知|a|=|b|=1,a與b的夾角是90°,
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