工程力學(xué) 壓桿穩(wěn)定

Dec12,2014壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定性的概念2壓桿穩(wěn)定性的概念3軸向拉壓桿的強(qiáng)度失效塑性材料σlim＝σs，過(guò)大塑性變形脆性材料σlim

＝σb，斷裂相應(yīng)的強(qiáng)度條件只適用于拉桿和“粗短”的壓桿。對(duì)于“細(xì)長(zhǎng)”的壓桿，失效的形式與上述強(qiáng)度失效不同。F直桿受壓變彎的現(xiàn)象，稱為失穩(wěn)。

——壓桿的一種失效形式。壓桿穩(wěn)定性的概念4在工程實(shí)際中，其它構(gòu)件也需要考慮穩(wěn)定問(wèn)題。本章只討論直桿的穩(wěn)定問(wèn)題。實(shí)際中，很多構(gòu)件需要考慮穩(wěn)定性壓桿穩(wěn)定性的概念當(dāng)外力超出一定范圍時(shí)，平衡形式也會(huì)發(fā)生變化————失去穩(wěn)定性。5平衡的穩(wěn)定性小球原有的平衡具有穩(wěn)定性。小球原有的平衡不具有穩(wěn)定性。平衡是穩(wěn)定的平衡是不穩(wěn)定的隨遇平衡6壓桿的穩(wěn)定性：指壓桿受軸向壓力后，其直線平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。（1）P<Pcr（3）P=PcrPP壓桿原有的直線平衡形式不是穩(wěn)定的。壓桿不具有穩(wěn)定性Pcr壓桿的直線平衡形式為過(guò)渡狀態(tài)。臨界狀態(tài)Pcr臨界載荷P>Pcr壓桿失效P壓桿原有的直線平衡形式是穩(wěn)定的。壓桿具有穩(wěn)定性（2）P>Pcr壓桿穩(wěn)定性的概念71、臨界載荷是壓桿保持穩(wěn)定平衡的最大力，也是使壓桿失穩(wěn)的最小力。由上述討論得：2、要保證壓桿的穩(wěn)定性，必須使壓桿所受的軸向壓力小于臨界載荷。壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求臨界載荷的問(wèn)題。8細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷歐拉公式一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷PPxyyxABPPxyM代入撓曲線近似微分方程令該微分方程的通解為式中A、B為積分常數(shù)桿的邊界條件代入通解得B＝0A≠0利用撓曲線微分方程求臨界載荷。9

兩端鉸支、細(xì)長(zhǎng)壓桿，處于臨界狀態(tài)。利用撓曲線微分方程求臨界載荷。C1

PPxyAByx討論：1、n=0，沒(méi)有意義。2、n=2、3時(shí)，撓曲線如圖。n=2n=3中間沒(méi)有支座，壓桿不會(huì)彎成這種形狀。3、臨界載荷是壓桿失穩(wěn)的最小力。n只能等于1。4、撓曲線方程A為撓曲線中點(diǎn)的撓度。1011.2.2其他約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷推導(dǎo)方法：仿照兩端鉸支、細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷的推導(dǎo)方法，利用微分方程推導(dǎo)。細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷公式。（歐拉公式）m為長(zhǎng)度因數(shù)，ml為相當(dāng)長(zhǎng)度。1、Pcr∝EI2、桿端約束越強(qiáng)，Pcr越大。11細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷公式。

若桿在不同的縱向平面內(nèi)約束相同，計(jì)算臨界載荷時(shí)取Imin。因?yàn)殡S著軸向壓力增大，壓桿總是在抗彎能力差的縱向平面內(nèi)彎曲。xyzyzlyzbh例11-1細(xì)長(zhǎng)壓桿，材料Q235，l=4m,b=50mm,h=150mm，E=200GPa，求臨界載荷。解：m=1若桿在不同的縱向平面內(nèi)約束不相同，分別計(jì)算臨界載荷取較小的值。PP12壓桿分類歐拉公式適用范圍11.3.1臨界應(yīng)力與柔度的概念臨界應(yīng)力：臨界狀態(tài)時(shí)壓桿橫截面上的應(yīng)力。慣性半徑柔度：臨界應(yīng)力：關(guān)于柔度（長(zhǎng)細(xì)比）：1、無(wú)量綱。綜合反映了桿長(zhǎng)、約束、截面形狀與幾何尺寸對(duì)Pcr的影響。2、相同材料制成的壓桿，穩(wěn)定性取決于l。l大，穩(wěn)定性差。3、在不同的縱向平面內(nèi)約束、慣性矩不相同，則l不同，計(jì)算臨界載荷（應(yīng)力）時(shí)，取較大的l值。4、若要使壓桿在不同的縱向平面內(nèi)穩(wěn)定性相同，應(yīng)使13歐拉公式的適用范圍大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)桿）歐拉公式所以：從而：對(duì)于A3鋼（Q235）E＝200GPa，σP＝200MPa。對(duì)于用A3鋼（Q235）制成的壓桿，當(dāng)l大于100時(shí)才可用歐拉公式計(jì)算臨界載荷。當(dāng)l大于lP時(shí)才可用歐拉公式計(jì)算臨界載荷。由此可見(jiàn)：稱l大于lP的壓桿為細(xì)長(zhǎng)桿或大柔度壓桿。14壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖

實(shí)際中的壓桿，l往往小于lP。當(dāng)l<lP

，

cr>P，歐拉公式不成立。材料進(jìn)入彈塑性階段，此時(shí)的穩(wěn)定問(wèn)題屬于彈塑性穩(wěn)定。臨界應(yīng)力常常采用經(jīng)驗(yàn)公式：a、b為材料常數(shù)，單位MPa.對(duì)于Q235為實(shí)際壓桿的柔度，仍由計(jì)算。由知，l越小，，

cr越大。當(dāng)l小于某值時(shí)，壓桿的強(qiáng)度不允許。15所以，直線公式當(dāng)成立。即材料常數(shù)因此，當(dāng)S

≤≤P

時(shí)可以用直線公式。對(duì)于A3鋼（Q235）σs＝235MPa。稱s

≤≤P

的桿為中柔度桿。壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖16稱<s的桿為小柔度桿（粗短桿）。

由于壓桿失穩(wěn)前就會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)度失效。因此，此類桿不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。若將其歸入穩(wěn)定范疇：塑性材料：s脆性材料：b

當(dāng)l<ls，壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖17l討論穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)，先計(jì)算l，判斷壓桿類型，選用相應(yīng)公式。l越大，壓桿的臨界應(yīng)力越小，穩(wěn)定性越差。臨界應(yīng)力總圖lslP小柔度桿中柔度桿大柔度桿18例11-2

螺旋千斤頂，絲杠的材料為45號(hào)鋼，其，，。絲杠的為長(zhǎng)度，內(nèi)徑。試求其臨界載荷。解：（1）計(jì)算壓桿的柔度，判斷壓桿的類型：橫截面的慣性半徑：絲杠的柔度：對(duì)于45號(hào)鋼：則由于柔度s＜

＜P，所以絲杠為中柔度桿。（2）計(jì)算臨界應(yīng)力和臨界載荷：絲杠可以簡(jiǎn)化為一端固定另一端自由的壓桿，故長(zhǎng)度系數(shù)為采用直線公式19例11-3一矩形截面桿，兩端為柱鉸。材料為Q235，E=210GPa，截面邊長(zhǎng)b=40mm

，h=60mm，。求臨界載荷。zxPP解：（1）在xy面，兩端鉸支m=1，若失穩(wěn)彎曲，z為中性軸。（2）在xz面，兩端固定m=0.5，若失穩(wěn)彎曲，y為中性軸。<lz連桿在xy面屬于細(xì)長(zhǎng)桿，在xz面不屬于細(xì)長(zhǎng)桿。PP2000xyyzbh20例11-3一矩形截面桿，兩端為柱鉸。材料為Q235，E=210GPa，截面邊長(zhǎng)b=40mm

，h=60mm，。求臨界載荷。zxPP解：（1）在xy面，兩端鉸支m=1，若失穩(wěn)彎曲，z為中性軸。（2）在xz面，兩端固定m=0.5，若失穩(wěn)彎曲，y為中性軸。<lz連桿在xy面屬于細(xì)長(zhǎng)桿，在xz面不屬于細(xì)長(zhǎng)桿。PP2000xyyzbh（3）lz>ly，連桿在xy面容易失穩(wěn)計(jì)算臨界載荷應(yīng)以lz計(jì)算。lz＝115>100，屬于細(xì)長(zhǎng)桿。用歐拉公式。21壓桿穩(wěn)定計(jì)算

要保證壓桿的穩(wěn)定性，必須使壓桿所受的軸向壓力小于臨界載荷。

考慮到穩(wěn)定貯備，取大于1的穩(wěn)定安全系數(shù)nst。穩(wěn)定條件常見(jiàn)壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)nst在設(shè)計(jì)手冊(cè)中給出。三類穩(wěn)定計(jì)算問(wèn)題穩(wěn)定性校核、確定許可載荷、截面尺寸設(shè)計(jì)(穩(wěn)定系數(shù)法)。

壓桿的工作壓力或：壓桿的工作安全因數(shù)22軸向壓力為，規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)。試校核其穩(wěn)定性。例11-4

一圓截面壓桿，長(zhǎng)度，直徑，材料是鋼，最大解：P（1）計(jì)算壓桿的柔度：（2）計(jì)算臨界載荷：壓桿是中柔度桿。故臨界載荷為:采用直線公式計(jì)算臨界載荷。（3）校核壓桿的穩(wěn)定性：壓桿穩(wěn)定性是滿足要求的。鋼，對(duì)于長(zhǎng)度系數(shù)23例11-5圖示結(jié)構(gòu)，AB材料為Q235，直徑為d＝40mm。試求（1）直桿AB的臨界載荷；（2）若Ab的穩(wěn)定安全因數(shù)為[nst]=5,確定結(jié)構(gòu)的最大載荷F。1.5m0.5mFQ30oABCD解：（1）求AB的臨界載荷AB的柔度>P＝100AB屬于細(xì)長(zhǎng)桿，可用歐拉公式計(jì)算臨界載荷長(zhǎng)度系數(shù)24例11-5圖示結(jié)構(gòu)，AB材料為Q235，直徑為d＝40mm。試求（1）直桿AB的臨界載荷；（2）若Ab的穩(wěn)定安全因數(shù)為[nst]=5,確定結(jié)構(gòu)的最大載荷F。1.5m0.5mFQ30oABCDFQ30oCADFDyFDxFAB解：（1）求AB的臨界載荷（2）利用穩(wěn)定條件，AB的所承受的最大軸向力依題意（3）結(jié)構(gòu)的最大載荷25提高壓桿穩(wěn)定性的措施

由于壓桿的臨界載荷是壓桿保持穩(wěn)定的最大力（穩(wěn)定極限載荷），臨界載荷越大，壓桿的穩(wěn)定性越好。因此，提高壓桿的穩(wěn)定性措施應(yīng)從影響臨界載荷的因素入手。Q235優(yōu)質(zhì)碳鋼影響臨界載荷的因素：m（約束）l（桿長(zhǎng)）I（截面形狀與尺寸）材料261.盡量減小壓桿的長(zhǎng)度ll1氣缸活塞活塞桿十字頭BA不能減小長(zhǎng)度時(shí)，也可在中間加支座。抱輥管坯頂桿27若桿為細(xì)長(zhǎng)桿PlPl/2l/22.加強(qiáng)約束的牢固性絲杠導(dǎo)套對(duì)開(kāi)螺母溜板l0d0滑動(dòng)軸承盡可能增大寬度l01.5簡(jiǎn)化為鉸支1.53不完全鉸支3簡(jiǎn)化為固定端滑動(dòng)軸承的約束情況由來(lái)確定。桿端約束越強(qiáng)，m值越小，臨界載荷越大。若桿仍為細(xì)長(zhǎng)桿283.選擇合理的截面形狀（1）壓桿在各縱向平面約束相同時(shí)a、各方向