小學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)推理能力

專題講座小學(xué)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的教學(xué)策略周愛東順義區(qū)教育研究考試中心小學(xué)生在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)一點有關(guān)推理的知識，是《課標(biāo)》指定的一個重要教學(xué)內(nèi)容。在《課標(biāo)》（修改稿）的第三頁倒數(shù)第一行，就有明確的規(guī)定：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直覺、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想?！薄墩n標(biāo)》還具體地作出了解釋“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。在小學(xué)階段，主要學(xué)習(xí)合情推理，即歸納推理和類比推理。而歸納推理又多表現(xiàn)為“不完全歸納推理”。一、知識結(jié)構(gòu)、邏輯推理及相互間的關(guān)系在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早就指出：“所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來的知識體系?！倍R體系因為其內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)而獲得邏輯意義。數(shù)學(xué)中基本的概念、性質(zhì)、法則、公式等都是遵循科學(xué)的邏輯性構(gòu)成的?！皵?shù)學(xué)作為一種演繹系統(tǒng)，它的重要特點是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過定義引入的”。這種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學(xué)內(nèi)容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)。另一方面從知識結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。例如：在教學(xué)正方形面積計算公式時,我們通過演繹推理得到的：長方形面積=長乂寬正方形長二寬因此得出正方形面積二邊長X邊長數(shù)學(xué)中的這種推理形式一旦被學(xué)生所熟識，他們又會運(yùn)用它在已有知識的基礎(chǔ)上作出新的判斷和推理。二、邏輯推理在教及學(xué)過程中的應(yīng)用根據(jù)奧蘇貝爾的認(rèn)知同化理論，學(xué)生知識的習(xí)得和構(gòu)建，主要依賴認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念，去影響和促進(jìn)新的理解、掌握，溝通新舊知識的互相聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容：一是新舊知識建立下位聯(lián)系；二是新舊知識建立上位聯(lián)系；三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面及邏輯結(jié)構(gòu)中的三類推理恰好建立相應(yīng)的聯(lián)系。

下位關(guān)系——演繹推理上位關(guān)系——?dú)w納推理并列關(guān)系——類比推理一）下位關(guān)系——演繹推理"■"■靈比推浦1如果原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識，新舊知識建立下位聯(lián)系、新知識從屬于舊知識時，那么宜適當(dāng)運(yùn)用演繹推理的規(guī)則，由一般性的前提推出特殊性的結(jié)論。“演繹的實質(zhì)就是認(rèn)為每一特殊（具體）情況應(yīng)當(dāng)看作一般情況的特例”。為了得以關(guān)于某一對象的具體知識，先要找出這一對象的類（最近的類概念），再將這一對象的類的屬性應(yīng)用于哪個對象。例如：由四條線段圍成的圖形叫做四邊形。長方形、正方形、平行四邊形、梯形都是由四條線段圍成的圖形。那么這些圖形都是四邊形。再如：兩種量分別用X和y表示，若y/x=k（一定）,則x和y是成正比例的量。同圓中周長比半徑二2n（—定）。同圓中周長和半徑是成正比例的量。當(dāng)學(xué)生理解這種推理的順序,且懂得要使演繹推理正確,首先要前提正確,并學(xué)會使用這樣的語言：只有兩個因數(shù)（1和它本身）的數(shù)是質(zhì)數(shù)；101只有兩個因數(shù)；101是質(zhì)數(shù)。那么,符合形式邏輯的演繹法則就初步被學(xué)生所掌握。在知識層面中,這種類屬過程的多次進(jìn)行,就導(dǎo)致知識不斷產(chǎn)生新的

層次,其邏輯結(jié)構(gòu)就越加嚴(yán)密,新的知識也就會不斷分化和精確化,就可

以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學(xué)中正確把握這種結(jié)構(gòu),用演繹

推理的手段組織學(xué)習(xí)過程,不但能培養(yǎng)學(xué)生的思考方法,理解內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，還能提高學(xué)生的模式辨認(rèn)能力，縮短推理過程，快速找到解題途徑。比如：運(yùn)用乘法分配律簡便運(yùn)算時，學(xué)生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識為基礎(chǔ)，才能實現(xiàn)簡算。aXc+bXc=對比題：99X99+99X1=99X(99+1)=990099X99＋9919X86＋14X26=19X(86+14)二）上位關(guān)系——?dú)w納推理如果原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)已形成幾個觀念，要在原有的觀念上學(xué)習(xí)一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知識，即新舊知識建立上位聯(lián)系時，那么適當(dāng)運(yùn)用歸納推理的規(guī)則，可由特殊的前提推出一般性的結(jié)論。當(dāng)需要研究某一對象集時，先要研究各個對象（情況），從中找出整個對象集所具有的性質(zhì)，這就是歸納推理。歸納推理的基礎(chǔ)是觀察和試驗，是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況（結(jié)論、推論）。例如：在學(xué)習(xí)兩個奇數(shù)相加和是偶數(shù)時，先讓學(xué)生列舉出多個兩個奇數(shù)相加的例子，最后得出兩個奇數(shù)相加和是偶數(shù)的結(jié)論。1和2互質(zhì)，1和3互質(zhì)，1和4互質(zhì)一1和任意一個自然數(shù)互質(zhì)。和3互質(zhì)，3和4互質(zhì)，4和5互質(zhì)一相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。和5互質(zhì)，5和7互質(zhì)，7和9互質(zhì)一相鄰的兩個奇數(shù)互質(zhì)。教材中關(guān)于概念的形成，運(yùn)算法則和運(yùn)算定律、性質(zhì)得出，一般是通過歸納推理得到的。運(yùn)用歸納推理傳授知識時，要根據(jù)學(xué)生的實際經(jīng)驗，選取典型的特例，并能夠通過典型特例的推理得出一般性的結(jié)論。又要用這個“一般結(jié)論”，去解決具體特例。在教及學(xué)的進(jìn)程中，歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的，它們緊密交織在一起。（三）并列關(guān)系——類比推理如果新舊知識間既不產(chǎn)生從屬關(guān)系，又不能產(chǎn)生上位關(guān)系，但是新知識同原有知識有某種吻合關(guān)系或類比關(guān)系，則新舊知識間可產(chǎn)生并列關(guān)系。那么可以運(yùn)用類比推理。教材中，商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，乘數(shù)是整數(shù)的乘法和乘數(shù)是分?jǐn)?shù)的乘法等，學(xué)習(xí)這類及舊知識處于并列結(jié)合關(guān)系的新知識時，既不能以上位演繹推理到下位，又不能以下位歸納推理到上位，只能采用類比推理。如五年級學(xué)習(xí)“一輛卡車平均每小時行40千米，0.3小時行了多少千米？”時，學(xué)生還無法根據(jù)小數(shù)乘法的意義列出此題的解答等式。所以，教學(xué)中一般用整數(shù)乘法中的數(shù)量關(guān)系來類推。新舊知識的三種聯(lián)系及三類推理相呼應(yīng)，不是一種巧合，是知識結(jié)構(gòu)本身科學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)使然。正確地運(yùn)用邏輯推理的原則可以將學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)分化的程度提高，教師會不斷注意新知識的穩(wěn)定性、清晰性，新知識的固定點、生長點。數(shù)學(xué)教學(xué)更富有科學(xué)意義。三、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略（一）新知識轉(zhuǎn)化舊知識的學(xué)習(xí)中，溝通的策略。（二）習(xí)得新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略。（三）在學(xué)習(xí)新知時，關(guān)鍵處設(shè)問引發(fā)思考點撥思路的策略。（四）設(shè)計開放練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略。（五）構(gòu)建可操作的教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略。一）新知識轉(zhuǎn)化舊知識的學(xué)習(xí)中，溝通的策略．立體圖形的體積計算，分為兩個階段，長、正方體體積；圓柱、圓錐的體積。學(xué)習(xí)了圓柱體積計算之后，可以把長方體，正方體，圓柱都看成是柱體，他們的體積都可以用底面積乘高來計算。如圖，它們的體積公式可以統(tǒng)一成（V=sh）。的關(guān)系。例如：教師設(shè)計的開放練習(xí)；甲數(shù)除以乙數(shù)的商是12，余數(shù)是8，如果商用小數(shù)表示是12.5那么甲數(shù)是（），乙數(shù)是（）。二）學(xué)了新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略學(xué)習(xí)了分解質(zhì)因數(shù)之后，可以深化整除的概念。A=2X3X5；B=2X32X5因為我們知道B包含A的所有因數(shù)，那么B是A的倍數(shù)，A是B的因數(shù)。質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，是依據(jù)一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)多少來分類建立概念的。學(xué)習(xí)了分解質(zhì)因數(shù)的概念后，學(xué)生又認(rèn)識到，任何一個合數(shù)都可以表示成幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式。教師應(yīng)及時深化概念。從新的角度看舊知。（三）在學(xué)習(xí)新知時，關(guān)鍵處設(shè)問引發(fā)思考點撥思路的策略．關(guān)鍵處點撥：案例：商不變的性質(zhì)教學(xué)片段。首先是計算：80一4=（）一（）學(xué)生都能找到一個正確答案,方法無一例外都是先算出商20，然后想哪兩個數(shù)相除商是20，學(xué)生很難將兩個算式中的被除數(shù)和除數(shù)建立起聯(lián)系。第二是觀察：我寫出一組算式：20一2=1040一4=1080一8=10,讓學(xué)生說說發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生都發(fā)現(xiàn)了商沒變，被除數(shù)和除數(shù)變了，具體說說怎樣變了？有的學(xué)生說被除數(shù)增加了，除數(shù)也增加了，有的學(xué)生說被除數(shù)擴(kuò)大了，除數(shù)也擴(kuò)大了，學(xué)生習(xí)慣上從上向下觀察，從直觀上感知被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生了變化，增加了或擴(kuò)大了，但對于被除數(shù)和除數(shù)變化之中的內(nèi)在聯(lián)系卻很難發(fā)現(xiàn)。如何讓學(xué)生主動探求被除數(shù)和除數(shù)的變化規(guī)律，并有所發(fā)現(xiàn)呢？我通過對情境的加工，提取出數(shù)學(xué)實例，學(xué)生在觀察、猜想、驗證、反思等學(xué)習(xí)過程中，運(yùn)用不完全歸納法總結(jié)出商不變的性質(zhì)，從而豐富學(xué)生探索規(guī)律的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。我充分利用教材中猴王分桃子的情境：3只小猴子，猴王給了6個桃子，小猴子說不夠不夠，每人才2個桃子，太少了。猴王說：“少？沒關(guān)系，我有神奇寶盒，那給你們變一變，”

猴王利用寶盒變成：60個桃子分給30個小猴子，600個桃子分給300只小猴子。600和300，你們猜結(jié)果怎樣？真讓你們猜對了小猴子還是覺得少奇怪了，桃子明明是越變越多了，小猴子為什么還說不夠呢？學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)雖然桃子也就是被除數(shù)多了，分給猴子的只數(shù)也就是除數(shù)也多了，每個人分得的桃子也就是商沒變。?真是神奇，被除數(shù)和除數(shù)同時都變了，商竟然沒變，那是不是不管被除數(shù)和除數(shù)怎樣變，商都不變呢？?提出猜想：你認(rèn)為被除數(shù)、除數(shù)發(fā)生怎樣的變化，商就能不變呢？．在觀察中引發(fā)思考。任觀鑒中引崑降考任觀鑒中引崑降考t.Q76523_13Ji&WJOOC13冋商就輸I盹的岡…與日IS7000j．在確定思考方向處教師應(yīng)設(shè)問點撥蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿?，F(xiàn)在這兩種小蟲共18只，共有118條腿。問蜘蛛有幾只？蜘蛛8腿9765；蜻蜓6腿910111213腿118條1261241221201t8?確定試算的方向。教師應(yīng)設(shè)問點撥。（四）設(shè)計開放練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生推理能力的策略。1．追根尋源:如果下圖中圓的面積等于長方形的面積，那么圓的周長（）長方形的周長。A.等于B.大于C.小于圓的周長是16.4厘米，陰影部分的周長是多少厘米？陰影部分的周長等于圓的周長加1/4圓周=16.4X(1+1/4) =20.5厘米。．估算要有方法。三位同學(xué)晨練，張華5分鐘走了351米，李明2分鐘走了131米，陸宇3分鐘走了220米，（）走得最快。

A.張華B.李明C.陸宇李明+陸宇二張華。張華1分鐘大約走了70米，李明不足70米。所以陸宇走路最快。．整體考慮：1分鐘走路面的網(wǎng)格1分鐘走路面的網(wǎng)格沿著對稱軸三個圖形拼成一個軸對稱圖形，對稱軸可以有三個方向沿著對稱軸等成分兩部分，每部分面積是8橫向：3+5=8層次：易?？v向：2+3+3=8層次：易。三個圖形拼成一個軸對稱圖形，對稱軸可以有三個方向，沿著對稱軸等成分兩部分，每部分面積是845。方向：0.5+3.5+4=8層次：難。45。方向：2.5+3.5=6每部分+2=8層次：難。（五）構(gòu)建可操作的教學(xué)模式，有效發(fā)展推理能力案例：感知、猜想、驗證、結(jié)論、推廣應(yīng)用五步教學(xué)法三年級學(xué)生學(xué)習(xí)了乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法后，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣，使體驗到數(shù)學(xué)計算中的趣味及魅力，在提高學(xué)生的計算能力的同時有意識地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，我們可以設(shè)計一些題組，清晰地呈現(xiàn)題組間邏輯關(guān)系，為學(xué)生提供充分觀察思考的思維空間，讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、感知、猜想、驗證結(jié)論、推廣應(yīng)用的數(shù)學(xué)活動中，培養(yǎng)學(xué)生比較、分析、概括、探究等能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。利用題組，初步感知規(guī)律先計算下列乘法算式的乘積，然后再認(rèn)真觀察：你有什么發(fā)現(xiàn)？TOC\o"1-5"\h\z12 15 13 節(jié) 67畑 畑 X67 K3G XJ9,ujlu mm m’Ti iii丨i 111)ii_i i_i i__i i_i i_t12X67=304 15X67=100518X67=12C6 39X57=26133fiX67= 2412學(xué)生通過計算后發(fā)現(xiàn)：因數(shù)的特點：1.一個因數(shù)都是67一個因數(shù)數(shù)12,15,18……都是3的倍數(shù)積的特點：1、積的前兩位數(shù)都是后兩位數(shù)的2倍。2.根據(jù)發(fā)現(xiàn)，提出猜想是不是只要是3的倍數(shù)及67相乘，它們的乘積就可能具有這個2倍的關(guān)系呢？結(jié)合實例，驗證猜想這時教師為學(xué)生提供如下的算式，讓學(xué)生親自對猜想加以驗證：練習(xí)：42 45 48 2 fl2X67=2詼^67=3216_ 心7_心了_心7_ 45X67^3G15 63X^7-4221通過計算以上題組加以驗證，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)自己的猜想得到了驗證。那為什么這些乘法算式的結(jié)果會呈現(xiàn)有趣的2倍的關(guān)系呢？會不會是3倍、4倍呢