第四章 彎曲應力

§4-4梁橫截面上的正應力、梁的正應力強度條件一、概述二、純彎曲時梁橫截面上的正應力三、橫力彎曲時的正應力四、梁的正應力強度條件一、概述MFsstFFaa一、概述FFFsFaM橫力彎曲FF純彎曲FF純彎曲：橫截面上只有彎矩沒有剪力的彎曲。橫力彎曲：橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲。純彎曲實驗

PPFsPaM一、概述PP1.純彎曲試驗二、純彎曲時梁橫截面上的正應力1.純彎曲試驗2.

縱向線：1.橫向線：3.上層纖維縮短，下層纖維伸長直線,相對旋轉(zhuǎn)了一個角度平行的弧線，距離沒有改變，垂直于橫向線梁內(nèi)橫截面變形后仍保持為平面，只是繞著某個軸轉(zhuǎn)動一個角度,仍然與軸線垂直平面假設:縱向纖維之間沒有擠壓2.

縱向線：1.橫向線：3.上層纖維縮短，下層纖維伸長直線相對旋轉(zhuǎn)了一個角度平行的弧線，距離沒有改變，垂直于橫向線單向受力假設：既不伸長、也不縮短的纖維層中性層與橫截面的交線對稱面中性層橫截面橫截面對稱軸軸線中性層中性軸中性軸變形幾何關(guān)系——中性層的曲率半徑mmxnndxybb對于指定的橫截面=常量(a)aax2、公式推導oo物理關(guān)系(a)(b)橫截面上一點的正應力與該點到中性軸的距離成正比b.

沿橫截面的高度，正應力按線性規(guī)律變化；

a.

在中性軸上為零比例極限范圍內(nèi):Myzx橫截面上正應力的分布圖靜力關(guān)系(b)MyzdAsxyzM橫截面上的應力構(gòu)成空間平行力系(e)(d)(c)中性軸必須通過橫截面的形心自然滿足Myzx梁的中性層變形后的曲率，梁的彎曲剛度反映了梁抵抗彎曲變形的能力在純彎曲時，梁的軸線被彎曲成靜力關(guān)系梁的軸線變形后的曲率圓弧該截面的彎矩所求點到該截面中性軸的距離該截面對中性軸的慣性矩純彎曲時梁橫截面上的正應力計算公式符號判斷法：1.直接代入M和y代數(shù)值，σ求出為正，為拉應力；σ求出為負，為壓應力。

2.代入M和y絕對值，再根據(jù)梁段的變形情況判斷符號

公式討論正彎矩：中性軸以下受拉，中性軸以上受壓。負彎矩：中性軸以下受壓，中性軸以上受拉。的正負號的判斷上下邊緣同時達到最大值：A.橫截面關(guān)于中性軸對稱時(如矩形、圓形等)最大應力彎曲截面系數(shù)

其中：zyzy反映了梁抵抗彎曲破壞的能力A.橫截面關(guān)于中性軸對稱時B.橫截面關(guān)于中性軸不對稱y2003030zC17013961三、橫力彎曲時的正應力可按純彎曲的正應力公式計算橫力彎曲時的正應力橫力彎曲A.變形后，橫截面將發(fā)生翹曲，不再保持為平面B.縱向纖維之間還可能會發(fā)生擠壓精確的分析表明當梁的跨長l與橫截面的高度h之比大于5時三、橫力彎曲時的正應力最大正應力：彎曲正應力：例1試求圖示矩形截面梁1-1截面上的D與E點的正應力1mABC1.5m1mF=20kN11yz6010030DE解：yz6010030DE（壓）（拉）yz6010030DE或或例：一跨中受集中荷載作用的簡支梁，由18b號槽鋼制成。求此梁的最大拉應力和最大壓應力，并畫出危險截面上的應力分布圖。1mABC2

mF=5kNz解：（1）作彎矩圖（2）查表，得（3）計算最大應力

試計算圖示簡支矩形截面木梁平放與豎放時的最大正應力，并加以比較。200100豎放橫放例題M圖解：

例：求并求各自的最大拉應力和最大壓應力10

20

·

解：200

200

30

302m3m1mq=10kN/mF=20kNACBD30kN10kN

yzcyc

B截面：

C截面：10

20

·

200

200

30

302m3m1mq=10kN/mF=20kNACBD30kN10kN

yzcyc四、梁的正應力強度條件1.對于抗拉和抗壓強度相等的材料(如低碳鋼)2.對于抗拉和抗壓強度不相等的材料(如鑄鐵）許用拉壓應力對等直梁：等直梁：中性軸是對稱軸中性軸不是對稱軸發(fā)生在的截面上。（A）

（B）截面關(guān)于中性軸不對稱的梁（脆性材料）：等直梁：危險截面：截面關(guān)于中性軸對稱時：要確定最大應力，需分別計算最大正、負彎矩所在截面的最大拉、壓應力，再作比較。已知工字鋼［σ］=215MPa。試選擇工字鋼型號。查表N012.6工字鋼WZ=77.5cm3例題解：1、作剪力、彎矩圖2、選擇工字鋼型號由得0.937m例

鑄鐵梁的受載情況以及截面尺寸如圖所示。鑄鐵材料的許用解：試按正應力強度條件校核梁的強度。拉應力

，許用壓應力，M2mABC3m1mD2001703030危險截面1、作梁的彎矩圖20017030302、計算截面的幾何性質(zhì)

zyC3、強度計算B截面C截面2mABC3m1mDC2001703030zyM強度滿足要求4、討論

若梁的載荷不變，將T形橫截面倒置(成⊥形橫截面)，是否合理？

因此:倒置不合理2mABC3m1mDC2001703030zy例

鑄鐵梁的受載情況以及截面尺寸如圖所示。鑄鐵材料的許用拉應力,許用壓應力

，

其中，,試計算該梁的許可載荷[F]。

解：危險截面為1400AC600BC1502005050yM作彎矩圖A截面：C截面：1400AC600BC1502005050yM對全梁由

得由

得故許可荷載

圖示結(jié)構(gòu)承受均布荷載，AC為10號工字鋼梁，B處用直徑d=20mm的鋼桿BD懸吊，梁和桿的許用應力均為[σ]＝160MPa。不考慮切應力，試計算結(jié)構(gòu)的許可荷載[q]。FB2、根據(jù)梁的強度條件確定荷載

例題解：1、作彎矩圖0.75m查表得NO.10工字鋼:FA故許可荷載3、根據(jù)拉桿的強度條件確定荷載例：

承受相同彎矩Mz的三根直梁，其截面組成方式如圖所示。圖（a）的截面為一整體；圖（b）的截面由兩矩形截面并列而成（未粘接）；圖（c）的截面由兩矩形截面上下疊合而成（未粘接）。三根梁中的最大正應力分別為σmax（a）、σmax（b）、σmax（c）。關(guān)于三者之間的關(guān)系有四種答案，試判斷哪一種是正確的。(a)(b)(c)zzzz答案：B§4.5梁橫截面上的切應力、梁的切應力強度條件橫力彎曲另一些梁則是因切應力達到剪切強度極限而破壞橫截面上既有正應力、又有切應力實踐表明有些梁是因正應力達到拉伸或壓縮強度極限而破壞跨度小、截面高的木梁一、狹長矩形截面梁的切應力假設：1、橫截面上的τ方向與FS平行2、τ沿截面寬度是均勻分布的zyFs即橫截面上距中性軸等遠各點處的切應力相等。Fs

—橫截面上的剪力；IZ

—

截面對中性軸的慣性矩；b

—截面的寬度；矩形截面梁彎曲時橫截面上任一點的切應力計算公式SZ＊

—該點橫線以外部分的面積對中性軸的靜矩。

切應力沿截面高度拋物線分布，中性軸上切應力最大，上、下邊緣處為零。

矩形截面簡支梁，加載于梁中點C，如圖示。

求σmax

,τmax

。

例題解：F/2F/2FSMF/2F/2Fl/4

矩形截面簡支梁，加載于梁中點C，如圖示。

求σmax

,τmax

。對細長等直梁

例題解：二、工字形截面梁的切應力

橫截面上的切應力(95-97)％由腹板承擔,而翼緣僅承擔了(3--5)％,且翼緣上的切應力情況又比較復雜.為了滿足實際工程中計算和設計的需要僅分析腹板上的切應力.hh0t腹板：狹長矩形查表獲得式中：整個工字形截面對中性軸的慣性矩該點橫線以外部分面積對中性軸的靜矩腹板的寬度對工字型鋼，發(fā)生在中性軸上，三、圓形和圓環(huán)形截面梁的最大切應力zydDdA為圓環(huán)形截面面積四、梁的切應力強度條件

最大正應力發(fā)生在最大彎矩截面的上、下邊緣處，該處的切應力為零，即正應力危險點處于單軸應力狀態(tài)；

最大切應力通常發(fā)生在最大剪力截面的中性軸處，該處的正應力為零，即切應力危險點處于純剪切應力狀態(tài)。(2)在設計梁的截面時：(1)對于細長梁：d.木梁a.小跨度梁b.支座附近有較大荷載c.鉚接、焊接或膠合而成的梁再按切應力強度條件校核一般不必校核彎曲切應力強度但在以下幾種情況中，必須考慮彎曲切應力強度討論：通常先按正應力強度條件設計其控制因素通常是彎曲正應力例:試求圖示矩形截面梁1-1截面上的D與E點的切應力.解：1mABC1.5m1mF=20kN11yz6010030DE兩個尺寸完全相同的矩形截面梁疊加在一起承受荷載如圖示,若材料許用應力為[σ],其許可荷載[F]為多少?如將兩根梁用一個螺栓聯(lián)成一整體,則其許可荷載[F]為多少?若螺栓材料許用切應力為[τ],求螺栓的最小直徑.

例題4.34兩梁疊加:兩梁用螺栓連接兩梁只有一個中性軸將兩個梁連接成一個整體后,承載能力提高一倍.梁中性層處切應力中性層剪力例T形梁尺寸及所受荷載如圖所示,已知[s]c=100MPa，[s]t=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點的正應力、切應力；2)校核梁的正應力、切應力強度。CAD40401010ycBCAD40401010ycB1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_2）作梁的Fs和M圖1）求支座約束力：0.25kN1.75kN40401010ycM(kN.m)0.250.5+_ACBD該梁滿足正應力強度要求40401010ycM(kN.m)0.250.5+_ACBD該梁滿足切應力強度要求1FS0.250.75(kN)_+40401010yc例懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹?m。膠合面的許可切應力為0.34MPa，木材的[σ]=10MPa，[τ]=1MPa，求許可荷載。1.畫梁的剪力圖和彎矩圖2.按正應力強度條件計算許可荷載3.按切應力強度條件計算許可荷載解：4.按膠合面強度條件計算許可荷載5.梁的許可荷載為§4.6

梁的合理設計1．彎曲正應力是控制梁強度的主要因素；2．提高梁強度的措施；1)采用合理的截面形狀，提高彎曲截面系數(shù)Wz2)采用等強度梁或變截面梁3)改善梁的受力條件，降低Mmax一、梁的合理截面形狀1．面積A不變，Wz越大，則截面形狀越合理2)優(yōu)先采用工字形、槽形、箱形和圓環(huán)形截面1)為提高Wz/A，截面上的材料應盡可能遠離中性軸zyzyzy2．材料特性對截面形狀的要求2)抗拉、壓強度不同的材料，采用中性軸偏向受拉側(cè)的截面形狀，如T形、槽形等截面1)拉壓強度相等的材料，采用關(guān)于中性軸對稱的截面3．同時需考慮彎曲切應力強度由腹板和翼緣組成的薄壁截面，如型鋼截面等，彎曲正應力主要由兩端翼緣承擔，彎曲切應力主要由中間腹板承擔yCCy二、采用等強度梁或變截面梁MyxFlABabC變截面梁：1．等強度觀點的等高矩形截面懸臂梁的寬度b(x)固定端等強度梁：各橫截面最大正應力都相等，并均達到材料的許用應力的變截面梁xylHFxHBbzx

該等強度梁的重量是同樣強度等截面梁的一半和x截面最大正應力相等注意：自由端應按切應力強度條件確定截面的最小寬度。

2、疊板彈簧設計思路：