第四章 彎曲應(yīng)力

§4-4梁橫截面上的正應(yīng)力、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件一、概述二、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力三、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力四、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件一、概述MFsstFFaa一、概述FFFsFaM橫力彎曲FF純彎曲FF純彎曲：橫截面上只有彎矩沒有剪力的彎曲。橫力彎曲：橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲。純彎曲實(shí)驗(yàn)

PPFsPaM一、概述PP1.純彎曲試驗(yàn)二、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1.純彎曲試驗(yàn)2.

縱向線：1.橫向線：3.上層纖維縮短，下層纖維伸長(zhǎng)直線,相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度平行的弧線，距離沒有改變，垂直于橫向線梁內(nèi)橫截面變形后仍保持為平面，只是繞著某個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,仍然與軸線垂直平面假設(shè):縱向纖維之間沒有擠壓2.

縱向線：1.橫向線：3.上層纖維縮短，下層纖維伸長(zhǎng)直線相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度平行的弧線，距離沒有改變，垂直于橫向線單向受力假設(shè)：既不伸長(zhǎng)、也不縮短的纖維層中性層與橫截面的交線對(duì)稱面中性層橫截面橫截面對(duì)稱軸軸線中性層中性軸中性軸變形幾何關(guān)系——中性層的曲率半徑mmxnndxybb對(duì)于指定的橫截面=常量(a)aax2、公式推導(dǎo)oo物理關(guān)系(a)(b)橫截面上一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比b.

沿橫截面的高度，正應(yīng)力按線性規(guī)律變化；

a.

在中性軸上為零比例極限范圍內(nèi):Myzx橫截面上正應(yīng)力的分布圖靜力關(guān)系(b)MyzdAsxyzM橫截面上的應(yīng)力構(gòu)成空間平行力系(e)(d)(c)中性軸必須通過橫截面的形心自然滿足Myzx梁的中性層變形后的曲率，梁的彎曲剛度反映了梁抵抗彎曲變形的能力在純彎曲時(shí)，梁的軸線被彎曲成靜力關(guān)系梁的軸線變形后的曲率圓弧該截面的彎矩所求點(diǎn)到該截面中性軸的距離該截面對(duì)中性軸的慣性矩純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式符號(hào)判斷法：1.直接代入M和y代數(shù)值，σ求出為正，為拉應(yīng)力；σ求出為負(fù)，為壓應(yīng)力。

2.代入M和y絕對(duì)值，再根據(jù)梁段的變形情況判斷符號(hào)

公式討論正彎矩：中性軸以下受拉，中性軸以上受壓。負(fù)彎矩：中性軸以下受壓，中性軸以上受拉。的正負(fù)號(hào)的判斷上下邊緣同時(shí)達(dá)到最大值：A.橫截面關(guān)于中性軸對(duì)稱時(shí)(如矩形、圓形等)最大應(yīng)力彎曲截面系數(shù)

其中：zyzy反映了梁抵抗彎曲破壞的能力A.橫截面關(guān)于中性軸對(duì)稱時(shí)B.橫截面關(guān)于中性軸不對(duì)稱y2003030zC17013961三、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力可按純彎曲的正應(yīng)力公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力橫力彎曲A.變形后，橫截面將發(fā)生翹曲，不再保持為平面B.縱向纖維之間還可能會(huì)發(fā)生擠壓精確的分析表明當(dāng)梁的跨長(zhǎng)l與橫截面的高度h之比大于5時(shí)三、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力最大正應(yīng)力：彎曲正應(yīng)力：例1試求圖示矩形截面梁1-1截面上的D與E點(diǎn)的正應(yīng)力1mABC1.5m1mF=20kN11yz6010030DE解：yz6010030DE（壓）（拉）yz6010030DE或或例：一跨中受集中荷載作用的簡(jiǎn)支梁，由18b號(hào)槽鋼制成。求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，并畫出危險(xiǎn)截面上的應(yīng)力分布圖。1mABC2

mF=5kNz解：（1）作彎矩圖（2）查表，得（3）計(jì)算最大應(yīng)力

試計(jì)算圖示簡(jiǎn)支矩形截面木梁平放與豎放時(shí)的最大正應(yīng)力，并加以比較。200100豎放橫放例題M圖解：

例：求并求各自的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力10

20

·

解：200

200

30

302m3m1mq=10kN/mF=20kNACBD30kN10kN

yzcyc

B截面：

C截面：10

20

·

200

200

30

302m3m1mq=10kN/mF=20kNACBD30kN10kN

yzcyc四、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件1.對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料(如低碳鋼)2.對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料(如鑄鐵）許用拉壓應(yīng)力對(duì)等直梁：等直梁：中性軸是對(duì)稱軸中性軸不是對(duì)稱軸發(fā)生在的截面上。（A）

（B）截面關(guān)于中性軸不對(duì)稱的梁（脆性材料）：等直梁：危險(xiǎn)截面：截面關(guān)于中性軸對(duì)稱時(shí)：要確定最大應(yīng)力，需分別計(jì)算最大正、負(fù)彎矩所在截面的最大拉、壓應(yīng)力，再作比較。已知工字鋼［σ］=215MPa。試選擇工字鋼型號(hào)。查表N012.6工字鋼WZ=77.5cm3例題解：1、作剪力、彎矩圖2、選擇工字鋼型號(hào)由得0.937m例

鑄鐵梁的受載情況以及截面尺寸如圖所示。鑄鐵材料的許用解：試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的強(qiáng)度。拉應(yīng)力

，許用壓應(yīng)力，M2mABC3m1mD2001703030危險(xiǎn)截面1、作梁的彎矩圖20017030302、計(jì)算截面的幾何性質(zhì)

zyC3、強(qiáng)度計(jì)算B截面C截面2mABC3m1mDC2001703030zyM強(qiáng)度滿足要求4、討論

若梁的載荷不變，將T形橫截面倒置(成⊥形橫截面)，是否合理？

因此:倒置不合理2mABC3m1mDC2001703030zy例

鑄鐵梁的受載情況以及截面尺寸如圖所示。鑄鐵材料的許用拉應(yīng)力,許用壓應(yīng)力

，

其中，,試計(jì)算該梁的許可載荷[F]。

解：危險(xiǎn)截面為1400AC600BC1502005050yM作彎矩圖A截面：C截面：1400AC600BC1502005050yM對(duì)全梁由

得由

得故許可荷載

圖示結(jié)構(gòu)承受均布荷載，AC為10號(hào)工字鋼梁，B處用直徑d=20mm的鋼桿BD懸吊，梁和桿的許用應(yīng)力均為[σ]＝160MPa。不考慮切應(yīng)力，試計(jì)算結(jié)構(gòu)的許可荷載[q]。FB2、根據(jù)梁的強(qiáng)度條件確定荷載

例題解：1、作彎矩圖0.75m查表得NO.10工字鋼:FA故許可荷載3、根據(jù)拉桿的強(qiáng)度條件確定荷載例：

承受相同彎矩Mz的三根直梁，其截面組成方式如圖所示。圖（a）的截面為一整體；圖（b）的截面由兩矩形截面并列而成（未粘接）；圖（c）的截面由兩矩形截面上下疊合而成（未粘接）。三根梁中的最大正應(yīng)力分別為σmax（a）、σmax（b）、σmax（c）。關(guān)于三者之間的關(guān)系有四種答案，試判斷哪一種是正確的。(a)(b)(c)zzzz答案：B§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件橫力彎曲另一些梁則是因切應(yīng)力達(dá)到剪切強(qiáng)度極限而破壞橫截面上既有正應(yīng)力、又有切應(yīng)力實(shí)踐表明有些梁是因正應(yīng)力達(dá)到拉伸或壓縮強(qiáng)度極限而破壞跨度小、截面高的木梁一、狹長(zhǎng)矩形截面梁的切應(yīng)力假設(shè)：1、橫截面上的τ方向與FS平行2、τ沿截面寬度是均勻分布的zyFs即橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等。Fs

—橫截面上的剪力；IZ

—

截面對(duì)中性軸的慣性矩；b

—截面的寬度；矩形截面梁彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式SZ＊

—該點(diǎn)橫線以外部分的面積對(duì)中性軸的靜矩。

切應(yīng)力沿截面高度拋物線分布，中性軸上切應(yīng)力最大，上、下邊緣處為零。

矩形截面簡(jiǎn)支梁，加載于梁中點(diǎn)C，如圖示。

求σmax

,τmax

。

例題解：F/2F/2FSMF/2F/2Fl/4

矩形截面簡(jiǎn)支梁，加載于梁中點(diǎn)C，如圖示。

求σmax

,τmax

。對(duì)細(xì)長(zhǎng)等直梁

例題解：二、工字形截面梁的切應(yīng)力

橫截面上的切應(yīng)力(95-97)％由腹板承擔(dān),而翼緣僅承擔(dān)了(3--5)％,且翼緣上的切應(yīng)力情況又比較復(fù)雜.為了滿足實(shí)際工程中計(jì)算和設(shè)計(jì)的需要僅分析腹板上的切應(yīng)力.hh0t腹板：狹長(zhǎng)矩形查表獲得式中：整個(gè)工字形截面對(duì)中性軸的慣性矩該點(diǎn)橫線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩腹板的寬度對(duì)工字型鋼，發(fā)生在中性軸上，三、圓形和圓環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力zydDdA為圓環(huán)形截面面積四、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件

最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩截面的上、下邊緣處，該處的切應(yīng)力為零，即正應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)；

最大切應(yīng)力通常發(fā)生在最大剪力截面的中性軸處，該處的正應(yīng)力為零，即切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。(2)在設(shè)計(jì)梁的截面時(shí)：(1)對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁：d.木梁a.小跨度梁b.支座附近有較大荷載c.鉚接、焊接或膠合而成的梁再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核一般不必校核彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度但在以下幾種情況中，必須考慮彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度討論：通常先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)其控制因素通常是彎曲正應(yīng)力例:試求圖示矩形截面梁1-1截面上的D與E點(diǎn)的切應(yīng)力.解：1mABC1.5m1mF=20kN11yz6010030DE兩個(gè)尺寸完全相同的矩形截面梁疊加在一起承受荷載如圖示,若材料許用應(yīng)力為[σ],其許可荷載[F]為多少?如將兩根梁用一個(gè)螺栓聯(lián)成一整體,則其許可荷載[F]為多少?若螺栓材料許用切應(yīng)力為[τ],求螺栓的最小直徑.

例題4.34兩梁疊加:兩梁用螺栓連接兩梁只有一個(gè)中性軸將兩個(gè)梁連接成一個(gè)整體后,承載能力提高一倍.梁中性層處切應(yīng)力中性層剪力例T形梁尺寸及所受荷載如圖所示,已知[s]c=100MPa，[s]t=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左側(cè)截面E點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力；2)校核梁的正應(yīng)力、切應(yīng)力強(qiáng)度。CAD40401010ycBCAD40401010ycB1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_2）作梁的Fs和M圖1）求支座約束力：0.25kN1.75kN40401010ycM(kN.m)0.250.5+_ACBD該梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度要求40401010ycM(kN.m)0.250.5+_ACBD該梁滿足切應(yīng)力強(qiáng)度要求1FS0.250.75(kN)_+40401010yc例懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹?m。膠合面的許可切應(yīng)力為0.34MPa，木材的[σ]=10MPa，[τ]=1MPa，求許可荷載。1.畫梁的剪力圖和彎矩圖2.按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可荷載3.按切應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算許可荷載解：4.按膠合面強(qiáng)度條件計(jì)算許可荷載5.梁的許可荷載為§4.6

梁的合理設(shè)計(jì)1．彎曲正應(yīng)力是控制梁強(qiáng)度的主要因素；2．提高梁強(qiáng)度的措施；1)采用合理的截面形狀，提高彎曲截面系數(shù)Wz2)采用等強(qiáng)度梁或變截面梁3)改善梁的受力條件，降低Mmax一、梁的合理截面形狀1．面積A不變，Wz越大，則截面形狀越合理2)優(yōu)先采用工字形、槽形、箱形和圓環(huán)形截面1)為提高Wz/A，截面上的材料應(yīng)盡可能遠(yuǎn)離中性軸zyzyzy2．材料特性對(duì)截面形狀的要求2)抗拉、壓強(qiáng)度不同的材料，采用中性軸偏向受拉側(cè)的截面形狀，如T形、槽形等截面1)拉壓強(qiáng)度相等的材料，采用關(guān)于中性軸對(duì)稱的截面3．同時(shí)需考慮彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度由腹板和翼緣組成的薄壁截面，如型鋼截面等，彎曲正應(yīng)力主要由兩端翼緣承擔(dān)，彎曲切應(yīng)力主要由中間腹板承擔(dān)yCCy二、采用等強(qiáng)度梁或變截面梁MyxFlABabC變截面梁：1．等強(qiáng)度觀點(diǎn)的等高矩形截面懸臂梁的寬度b(x)固定端等強(qiáng)度梁：各橫截面最大正應(yīng)力都相等，并均達(dá)到材料的許用應(yīng)力的變截面梁xylHFxHBbzx

該等強(qiáng)度梁的重量是同樣強(qiáng)度等截面梁的一半和x截面最大正應(yīng)力相等注意：自由端應(yīng)按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面的最小寬度。

2、疊板彈簧設(shè)計(jì)思路：