第十章：壓桿穩(wěn)定

軸向拉、壓桿的強(qiáng)度條件為一鋼板尺長(zhǎng)300mm，橫截面尺寸20mm

1mm。[]=196MPa。[F]=A[]=3.92kN但當(dāng)施加的軸向壓力達(dá)到40N時(shí),鋼板尺就突然發(fā)明顯的彎曲變形,喪失了承載能力，相差98倍。按強(qiáng)度條件:能承受的軸向壓力§10-1

引言

工程中有些構(gòu)件具有足夠的強(qiáng)度、剛度,卻不一定能安全可靠地工作.①?gòu)?qiáng)度②剛度③穩(wěn)定性構(gòu)件的承載能力工程實(shí)例工程實(shí)例壓桿穩(wěn)定實(shí)驗(yàn)案例120世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國(guó)橋梁學(xué)家?guī)彀卦谑趥愃购由辖ㄔ炜瓤舜髽?907年8月29日，發(fā)生穩(wěn)定性破壞，85位工人死亡，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一。失穩(wěn)破壞案例案例21995年6月29日下午，韓國(guó)漢城三豐百貨大樓，由于盲目擴(kuò)建，加層，致使大樓四五層立柱不堪重負(fù)而產(chǎn)生失穩(wěn)破壞使大樓倒塌，死502人，傷930人，失蹤113人。案例32000年10月25日上午10時(shí)南京電視臺(tái)演播中心由于腳手架失穩(wěn)造成屋頂模板倒塌，死6人，傷34人.研究壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題尤為重要穩(wěn)定平衡、臨界荷載

受壓桿滿足強(qiáng)度要求，即不產(chǎn)生破壞，安全粗短桿產(chǎn)生突然的橫向彎曲而喪失承載能力細(xì)長(zhǎng)桿失去穩(wěn)定性最大工作應(yīng)力小于材料的極限應(yīng)力建立不同的準(zhǔn)則，即穩(wěn)定性條件，確保壓桿不失穩(wěn)工作最大值

<

臨界值1.穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡

不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定性:指平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡F＜FcrF＜FcrF＜Fcr.F≥FcrF≥Fcr穩(wěn)定的不穩(wěn)定的（2）壓桿的平衡狀態(tài)

穩(wěn)定問(wèn)題與強(qiáng)度問(wèn)題的區(qū)別平衡狀態(tài)應(yīng)力平衡方程極限承載能力直線平衡狀態(tài)不變平衡形式發(fā)生變化達(dá)到限值小于限值s<sμ變形前的形狀、尺寸變形后的形狀、尺寸實(shí)驗(yàn)確定理論分析計(jì)算強(qiáng)度問(wèn)題穩(wěn)定問(wèn)題壓桿什么時(shí)候發(fā)生穩(wěn)定性問(wèn)題，什么時(shí)候產(chǎn)生強(qiáng)度問(wèn)題呢？壓桿mmFM(x)=-FwxyBmxmwBxylF臨界力概念：干擾力去除后，桿保持微彎狀態(tài)。從撓曲線入手，求臨界力。一，兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力§10-2

臨界力的歐拉公式該截面的彎矩桿的撓曲線近似微分方程壓桿任一x截面沿y方向的位移（a)令

(b)式的通解為（A、B為積分常數(shù)）(b)得

mmxyBFM(x)=-Fw邊界條件

由公式(c)討論：

若

mxmwBxylF則必須

這就是兩端鉸支等截面細(xì)長(zhǎng)受壓直桿臨界力的計(jì)算公式（歐拉公式）。令n=1,得當(dāng)時(shí)，撓曲線方程為撓曲線為半波正弦曲線.mxmwBxylF例題10－1如圖所示，矩形截面的細(xì)長(zhǎng)壓桿兩端鉸支。已知桿長(zhǎng)l=2m,截面尺寸b=40mm，h=90mm，材料的彈性模量E=200

GPa.試計(jì)算此壓桿的臨界力Fcr.解：顯然Iy<Iz,故應(yīng)按Iy計(jì)算臨界力。壓桿的臨界力二，其它支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力1.細(xì)長(zhǎng)壓桿的形式兩端鉸支一端自由一端固定一端固定一端鉸支兩端固定2.其它支座條件下的歐拉公式lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl—長(zhǎng)度因數(shù)—相當(dāng)長(zhǎng)度歐拉公式lFcrl/4l/4l/2l兩端鉸支一端固定，另一端鉸支兩端固定一端固定，另一端自由表10-1各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長(zhǎng)度因數(shù)

=1=0.7=0.5=2歐拉公式的統(tǒng)一形式（為壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)）5.討論為長(zhǎng)度因數(shù)

l為相當(dāng)長(zhǎng)度（1）相當(dāng)長(zhǎng)度l的物理意義壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線上兩拐點(diǎn)間的長(zhǎng)度就是壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度l.

l是各種支承條件下，細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線中相當(dāng)于半波正弦曲線的一段長(zhǎng)度.zyx取Iy，Iz中小的一個(gè)計(jì)算臨界力.若桿端在各個(gè)方向的約束情況不同（如柱形鉸），應(yīng)分別計(jì)算桿在不同方向失穩(wěn)時(shí)的臨界壓力.I為其相應(yīng)中性軸的慣性矩.

即分別用Iy，Iz

計(jì)算出兩個(gè)臨界壓力.然后取小的一個(gè)作為壓桿的臨界壓力.（2）橫截面對(duì)某一形心主慣性軸的慣性矩I若桿端在各個(gè)方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應(yīng)取最小的形心主慣性矩.例題10－2一端固定，一端自由的中心細(xì)長(zhǎng)壓桿。已知桿長(zhǎng)l=1m,材料的彈性模量E=200GPa。當(dāng)分別采用圖示三種截面時(shí)，試計(jì)算其臨界力。解：1）矩形截面壓桿臨界力2）4.5號(hào)等邊角鋼由型鋼表查得壓桿臨界力3）圓環(huán)形截面軸慣性矩壓桿臨界力注意：本例中，三桿截面面積基本相等，但由于其形狀不同，Imin不同，致使臨界力相差很大。例題10－3已知一內(nèi)燃機(jī)、空氣壓縮機(jī)的連桿為細(xì)長(zhǎng)壓桿.截面形狀為工字鋼形，慣性矩Iz=6.5×10

4

mm4,Iy=3.8×10

4

mm4，彈性模量E=2.1×10

5MPa.試計(jì)算臨界力Fcr.x8801000yzyxz880FFlxz880（1）桿件在兩個(gè)方向的約束情況不同；x8801000yzy（2）計(jì)算出兩個(gè)臨界壓力.最后取小的一個(gè)作為壓桿的臨界壓力.分析思路：解：x8801000yzy所以連桿的臨界壓力為134.6kN.xy面：約束情況為兩端鉸支m=1，I=Iz，l=1mxz面：約束情況為兩端固定m=0.5，I=Iy，l=0.88mFFlxz880壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定平衡時(shí)，橫截面上的壓應(yīng)力可按

=F/A

計(jì)算.一、臨界應(yīng)力與壓桿柔度歐拉公式臨界應(yīng)力

按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應(yīng)力為§10-3

臨界應(yīng)力的歐拉公式i

為壓桿橫截面對(duì)中性軸的慣性半徑.

稱(chēng)為壓桿的柔度（長(zhǎng)細(xì)比），它綜合地反映了壓桿的長(zhǎng)度l和約束條件、截面尺寸和形狀等因素對(duì)臨界應(yīng)力的影響，

越大，相應(yīng)的

cr

越小，壓桿越容易失穩(wěn)。令令則有則

若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的支承約束條件不同，應(yīng)分別計(jì)算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的柔度，并按較大者計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力cr。

柔度越大，相應(yīng)的cr越小，壓桿越容易失穩(wěn)。二、歐拉公式的適用范圍歐拉公式是在線彈性的條件下推導(dǎo)出來(lái)的，因此，它的適用范圍為或令

即l

≥P（大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿），為歐拉公式的適用范圍.

當(dāng)＜p但大于某一數(shù)值S的壓桿不能應(yīng)用歐拉公式，此時(shí)需用經(jīng)驗(yàn)公式.P的大小取決于壓桿材料的力學(xué)性能.例如，對(duì)于Q235鋼，可取E=206GPa，p=200MPa，得一、臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式式中：a

和

b是與材料有關(guān)的常數(shù)，可查表得出.

S是對(duì)應(yīng)直線公式的最小值.直線公式

的桿為中柔度桿，其臨界應(yīng)力用經(jīng)驗(yàn)公式.

或令§10-4

臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式二、壓桿的分類(lèi)及臨界應(yīng)力總圖1.壓桿的分類(lèi)（1）大柔度桿（2）中柔度桿（3）小柔度桿2.臨界應(yīng)力總圖lPlS例題10－4圖示各桿均為圓形截面細(xì)長(zhǎng)壓桿.已知各桿的材料及直徑相等.問(wèn)哪個(gè)桿先失穩(wěn)?dF1.3a

BF1.6aCaFA解：A桿先失穩(wěn).桿A桿B桿CdF1.3a

BF1.6aCaFA例題10－5由25a號(hào)工字鋼制成的一端固定、一端鉸支立柱，材料為Q235鋼。已知立柱長(zhǎng)l=3.6m，彈性模量E=200GPa，求立柱的臨界力。若將約束條件分別改為兩端鉸支、兩端固定但可沿軸向相對(duì)移動(dòng)，則問(wèn)立柱的臨界力有何變化？解：1)一端固定一端鉸支長(zhǎng)度因數(shù)μ＝0.7，由型鋼表查得A＝48.541cm2，imin=2.4cmImin=280cm4。由表10－2查得

立柱柔度

長(zhǎng)度因數(shù)μ＝0.7，A＝48.541cm2，imin=2.4cmImin=280cm4。屬細(xì)長(zhǎng)桿，臨界力長(zhǎng)度因數(shù)μ＝0.5，柔度A＝48.541cm2，imin=2.4cm，Imin=280cm4。

為中柔度桿，用直線公式計(jì)算臨界力

3）兩端固定但可沿軸向相對(duì)移動(dòng)

查表得a=304MPa，b＝1.12MPa臨界應(yīng)力臨界力

例題10－6某機(jī)器連桿如圖。已知材料為碳鋼,彈性模量E=2.1×105MPa，屈服極限σs＝306MPa.試確定該連桿的臨界力Fcr。并說(shuō)明橫截面的設(shè)計(jì)是否合理。FFlxz580（1）桿件在兩個(gè)方向的約束情況不同；x580750yzy（2）分別計(jì)算連桿在兩個(gè)縱向平面內(nèi)的柔度，柔度大的平面為失穩(wěn)平面。分析思路：解：1）計(jì)算柔度x580750yzyxy面：約束情況為兩端鉸支mz=1，l=750mmxy面：兩端鉸支mz=1，xz面：兩端固定my

=0.5，l2=580mmFFlxz580因?yàn)棣藌>λy

，故連桿將在xy

平面內(nèi)失穩(wěn)。

FFlxz580因?yàn)棣藌>λy

，故連桿將在xy

平面內(nèi)失穩(wěn)。2）計(jì)算臨界力x580750yzy由碳鋼σs＝306MPa.E=2.1×105MPa查表得

連桿屬于中長(zhǎng)桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界力查表得a=461MPa，b＝2.567MPa臨界應(yīng)力

FFlxz580x580750yzy連桿屬于中長(zhǎng)桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界力a=461MPa，b＝2.567MPa臨界應(yīng)力臨界力3）由于連桿在xy，xz兩個(gè)平面內(nèi)的柔度和相當(dāng)接近，說(shuō)明該連桿設(shè)計(jì)比較合理。例題10-7如圖，一長(zhǎng)度l=4m，兩端鉸支的立柱由10號(hào)槽鋼制成，承受軸向壓力F的作用，材料為Q235鋼，E=200GPa，（1）求鋼柱壓桿的臨界力；2）若改用兩根10號(hào)槽鋼組合成立柱（見(jiàn)圖b），試確定兩槽鋼的間距b和連接板的間距h。并求組合立柱的臨界力。解：1）單根槽鋼的臨界力由型鋼表查得Iz=198.3cm4，z0＝1.52cm，iz＝1.41cm，iy=3.95cm。立柱柔度A＝12.74cm2，I

y

＝25.6cm4，

屬于細(xì)長(zhǎng)桿，由歐拉公式得臨界力

2）組合柱的幾何尺寸

2）組合柱的幾何尺寸為合理利用材料，兩槽鋼的間距應(yīng)使組合截面對(duì)兩根形心對(duì)稱(chēng)軸的慣性矩相等。

可解得兩槽鋼得間距為防止單根槽鋼繞y軸失穩(wěn)，應(yīng)使單根槽鋼的柔度λy不大于組合柱的柔度λz（λz＝λy1），既有

將連接板對(duì)槽鋼的約束視為鉸支，由上式得連接板的間距

3）組合柱的臨界力組合柱的柔度

屬于細(xì)長(zhǎng)桿，由歐拉公式得臨界力1.穩(wěn)定性條件

2.計(jì)算步驟（1）計(jì)算最大的柔度系數(shù)max；

（2）根據(jù)max選擇公式計(jì)算臨界應(yīng)力；（3）根據(jù)穩(wěn)定性條件，判斷壓桿的穩(wěn)定性或確定許可載荷。一.壓桿的穩(wěn)定性條件§10-5

壓桿的穩(wěn)定條件例題10-7千斤頂如圖，已知絲杠長(zhǎng)度l=375mm，有效直徑

d=45mm，材料為45號(hào)鋼，所受最大軸向壓力Fmax=80kN，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=4.試校核絲杠的穩(wěn)定性。絲杠可簡(jiǎn)化為一端固定、一端自由解：=2截面為圓形屬于中柔度桿1）計(jì)算絲杠柔度長(zhǎng)度因數(shù)查表得

絲杠柔度絲杠的臨界應(yīng)力絲杠的工作安全因數(shù)2）計(jì)算臨界力用直線公式，查表得：a=461MPab=2.568MPa絲杠的臨界力3）穩(wěn)定性校核

故絲杠穩(wěn)定性滿足要求。例題10-8磨床液壓裝置的活塞桿如圖，已知液壓缸內(nèi)徑D=65mm，油壓p=1.2MPa.活塞桿長(zhǎng)度l=1250mm，材料為35鋼，s

=220MPa，E=210GPa，nst

=6。試確定活塞桿的直徑。解：活塞桿承受的軸向壓力為活塞桿承受的臨界壓力為把活塞的兩端簡(jiǎn)化為鉸支座。pD活塞桿活塞d用試算法求直徑（1）先由歐拉公式求直徑求得d=24.6mm.取d=25mm（2）用求得直徑計(jì)算活塞桿柔度由于>P，所以前面用歐拉公式進(jìn)行試算是正確的。例題10-9A