直線及平面相對(duì)位置

第七章直線與平面、兩平面的相對(duì)位置§7-1直線與平面平行?

兩平面平行§7-2直線與平面的交點(diǎn)?

兩平面的交線§7-3直線與平面垂直?

兩平面垂直f’e’d’edfc’a’acb’bm’n’mnr’rss’§7-1直線與平面平行?

兩平面平行一、直線與平面平行二、兩平面平行返回平行問題

直線與平面平行

平面與平面平行包括定理：

若一直線平行于平面內(nèi)的某一直線，則直線與平面相互平行。一、直線與平面平行PCDBA

若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行返回n●●acbmabcmn例1：過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？11面內(nèi)取線x例題2試判斷直線AB是否平行于定平面fg’f’gb’a’abc’e’d’edc直線AB不平行于定平面

返回X正平線例3：過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。c●●bamabcmn唯一解nX11二、兩平面平行

若一平面內(nèi)的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行PSEFDACB返回①若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdefnlmm’l’n’bacc’a’b’fkf’k’三、直線與特殊位置平面相交四、一般位置平面與特殊位置平面相交一、直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)二、兩平面的交線是直線返回§7-2直線與平面的交點(diǎn)?

兩平面的交線一、直線與平面相交P直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。BAK返回MBCA二、平面與平面相交FKNL

兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有返回xb’ba’acc’m’mnn’由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。VHPHPoABCacbkNKMkk’三、直線與平面相交的特殊情況返回1(2)12abcmncnbam⑴平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①求交點(diǎn)②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。k●1(2)作圖k●●2●1●返回xkm(n)b●mncbaac⑵直線為特殊位置空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見性

點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。1(2)k●2●1●●作圖用面上取點(diǎn)法返回xVHMmnlPABCacPHkfFKNL四.特殊位置平面相交nlmm’l’n’bacc’a’b’fkf’k’由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。返回x可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。①求交線(在重疊的公共區(qū)域連粗)②判別可見性作圖步驟

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點(diǎn)判別？能!如何判別？例：求兩平面的交線MN并判別可見性。⑴返回xb’bacnlmc’m’a’l’n’fkVHMmnlPABCacPHkfFKNL判斷平面的可見性f’k’返回x例題1求交線并判斷可見性fkf’k’b’bacnlmc’m’a’l’n’XO1’2’（）12返回bcfhaeabcefh1(2)空間及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點(diǎn)m

、bc與fh的交點(diǎn)n即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點(diǎn)Ⅰ在FH上，點(diǎn)Ⅱ在BC上，點(diǎn)Ⅰ在上，點(diǎn)Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n●2●n●m●1●例題2返回C五、直線與一般位置平面相交返回ABNM例題1例題2判別可見性f’e’efba’acb’c’1’2’例題1求直線EF與一般位置平面ΔABC的交點(diǎn)K。QV21kk’步驟：1、過EF作正垂面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。返回X12例題2求直線EF與一般位置平面ΔABC的交點(diǎn)K。f’e’efbc’a’acb’PH2’1’kk’步驟：1、過EF作鉛垂面P。2、求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。返回可見性判斷可見性判斷3’(4’)345’(5)例題1例題2兩一般位置平面相交求交線的方法六、兩一般位置平面相交返回兩一般位置平面相交求交線的方法用直線與平面求交點(diǎn)的方法求兩平面的共有點(diǎn)。MBCAFKNL返回bacc’b’a’ll’nmm’n’PVQV1’2’21kee’k’兩一般位置平面相交，求交線步驟：用直線與平面求交點(diǎn)的方法求兩平面的共有點(diǎn)。例題1求兩平面的交線判別可見性返回Xbacc’b’a’ll’nmm’n’21()3’4’

()ke341’

2’e’k’判別可見性的原理是利用重影點(diǎn)。判別可見性返回x[例3]

如圖．已知等腰三角形DEF的頂點(diǎn)D和一腰DE在水平線DG上，另一腰DF//△ABC，點(diǎn)F在直線MN上，完成三角形DEF的兩面投影．用三角形法作DF的真長[解]

DF一定在過D點(diǎn)的平行于△ABC的平面上，先作出這個(gè)平面.PVff’DF的真長n'cb0b′c′m'g'd'nmgdX返回a′aee’ΔZ1’122’§7-3直線與平面垂直?兩平面垂直一、直線與平面垂直二、兩平面垂直返回基本認(rèn)識(shí):

垂直的幾何條件該直線垂直于這個(gè)平面上的任意兩條相交直線。特殊情況當(dāng)直線與投影面垂直面相垂直時(shí)，直線一定平行于該平面所垂直的投影面，而且直線的投影垂直于平面的有積聚性的同面投影。當(dāng)平面與投影面垂直線相垂直時(shí)，平面一定平行于該直線所垂直的投影面。直線與平面相垂直的幾何條件是：一個(gè)平面上有一條直線垂直于另一平面。兩平面互相垂直的幾何條件是；返回一、直線與平面垂直

若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。VHPAKLDCBE返回定理1定理2定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa’ad’c’b’dcbe’ek’l’kl返回X定理2（逆）：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。VPAKLDCBEHa’cac’l’lkf’d’b’dbfk’返回x例題1：平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)K作平面的法線。ha’cac’h’kf’d’b’dbfk’返回Xh’h例題2：試過定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。h’hh’hkk’SVk’kPVk’kQHXXX返回例題3：平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于定平面。e’f’em’nmn’c’a’ad’b’cdbf返回不垂直XⅡ二、兩平面垂直

若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD返回

反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。ADⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAD返回g’例題1：平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)K作平面的垂面。ha’cac’h’kk’f’d’b’dbfg返回x過點(diǎn)A作平行于直線BC且垂直于△DEF的面．k'km'mh'n'nhb'c'cbd'f'e'dfeXOa'a返回[例1]如圖所示，過點(diǎn)A向□

BCDE作垂線AF，并作出垂足

F以及點(diǎn)A與□

BCDE的真實(shí)距離。[解]

過一點(diǎn)向一個(gè)平面只能作一條垂線．由于□

BCDE是正垂面，按直線與垂直于投影面的平面相垂直以及直線與垂直于投影面的平面相交的投影特性可知：

AF是正平線。f'fa'

f'即是AF的真實(shí)距離返回T.L

一般情況如圖．已知DG

△DEF。在△DEF上取正平線DM和水平線DN，則DGDM，DGDN。直線與一般位置平面相垂直的投影特性：直線的正面投影，垂直于這個(gè)平面上的正平線的正面投影；直線的水平投影，垂直干這個(gè)平面工的水平線的水平投影；直線的側(cè)面投影，垂直干這個(gè)平面上的側(cè)平線的側(cè)面投影。n'nm'm根據(jù)一邊平行于投影面的直角的投影特性可知：g'd'

d'm'dgdn返回[例2]如圖所示，判斷□ABCD與△EFG是否互相垂直?[解]只要檢驗(yàn)是否能在□

ABCD上作出一條直線垂直于△EFG。m'mn'nk'k作b'k'垂直于e'm'檢驗(yàn)bk垂直于en返回小結(jié)重點(diǎn)掌握：二、如何在平面上確定直線和點(diǎn)。三、兩平面平行的條件一定是分別位于兩平面內(nèi)的兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行。四、直線與平面的交點(diǎn)及平面與平面的交線是兩者的共有點(diǎn)或共有線。解題思路：★空間及投影分析目的是找出交點(diǎn)或交線的已知投影?！锱袆e可見性尤其是如何利用重影點(diǎn)判別。一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。返回要點(diǎn)一、各種位置平面的投影特性⒈一般位置平面⒉投影面垂直面⒊投影面平行面三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形——類似性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線

——積聚性。另外兩個(gè)投影類似。

在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形

——實(shí)形性。另外兩個(gè)投影積聚為直線。返回二、平面上的點(diǎn)與直線⒈平面上的點(diǎn)一定位于平面內(nèi)的某條直線上⒉平面上的直線⑴過平面上的兩個(gè)點(diǎn)。⑵過平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。三、平行問題⒈直線與平面平行直線平行于平面內(nèi)的一條直線。⒉兩平面平行必須是一個(gè)平面上的一對(duì)相交直線對(duì)應(yīng)平