信號第5章 復(fù)頻域分析

15.1引言

1．問題的提出

傅里葉變換存在缺點(diǎn)：

1）局限性：

要收斂，滿足絕對可積條件，否則

（ⅰ）的傅里葉變換不存在，如

（ⅱ）存在，但不能用定義式求得，

如，

頻譜包含沖激函數(shù)，帶來分析和運(yùn)算困難2）求反變換積分比較麻煩

2．

問題的解決

頻域分析

復(fù)頻域分析

傅里葉變換

拉普拉斯變換

推廣25.2拉普拉斯變換傅里葉正變換：

乘以衰減因子

適當(dāng)選取值，

使收斂，

從而可求得[]的傅里葉變換

令

（復(fù)數(shù)）

f(t)不收斂,即時，不滿足絕對可積條件雙邊拉普拉斯正變換(一)雙邊拉普拉斯變換

——雙邊拉普拉斯反變換

3傅里葉反變換

4實(shí)際中，為有始信號（因果信號）

————單邊拉氏變換

此處0意為0-(即把t=0處沖激函數(shù)的作用考慮在變換之中)——單邊拉氏反變換

標(biāo)記：

（二）單邊拉普拉斯變換

5雙邊拉普拉斯變換

單邊拉普拉斯變換

本章采用6討論：

1）傅氏變換與拉氏變換的形式相似，基本差別：

傅氏變換時域與變換域變量皆為實(shí)數(shù)（）

拉氏變換時域變量為實(shí)數(shù)，變換域變量為復(fù)數(shù)（）2）物理意義

傅氏：將分解成許多形式為的指數(shù)項(xiàng)之和，拉氏：將分解成許多形式為的指數(shù)項(xiàng)之和，——復(fù)頻率——復(fù)頻譜復(fù)頻率可以表示在復(fù)平面上，且復(fù)平面上的點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)相對應(yīng)785.3拉普拉斯變換的收斂區(qū)收斂域：

使收斂，從而絕對可積條件得以滿足的值的范圍稱為收斂域。

單邊拉氏變換的收斂區(qū)使的區(qū)域

表示在s平面上

s平面

0收斂坐標(biāo)

收斂邊界（收斂軸）陰影部分：收斂區(qū)9例1求單脈沖的收斂區(qū)

0τt1

解：

對所有的值成立

即在全平面收斂

例2求階躍函數(shù)的收斂區(qū)

解：

例3

求指數(shù)函數(shù)的收斂區(qū)

10由求：

而

或能進(jìn)行以上對換的函數(shù)必須滿足條件：

的收斂區(qū)包括軸在內(nèi)。

5.4常用函數(shù)的拉普拉斯變換

單邊拉普拉斯變換和傅里葉變換的關(guān)系對單邊信號傅里葉變換是拉普拉斯變換的特殊情況即：

位于復(fù)平面的虛軸上11（一）單邊指數(shù)函數(shù)（為常數(shù)）1、階躍函數(shù)

2、單邊正、余弦函數(shù)

即

同理：

123、單邊衰減正、余弦函數(shù)

13（二）t的正整冪函數(shù)(n為正整數(shù))

n=1時：

（三）沖激函數(shù)

討論：

①

②

5.5拉普拉斯反變換部分分式展開法先檢查F(s)是否是真分式,即保證n>m。若不是真分式,需利用長除法將F(s)化成如下形式。D(s)=0無重根兩邊1617例5-2求的原函數(shù)f(t)。解法一：

解法二：利用常用信號的拉氏變換202.D(s)=0有重根設(shè)

的求法同單根情況

（1）求：

乘以再令得21（2）求

對s取導(dǎo)一次：

一般情況：

22總結(jié)：

重根系數(shù)單根系數(shù)232425標(biāo)準(zhǔn)方法待定系數(shù)法重根共軛單根等號兩邊分子相等2627F(s)的極零圖零點(diǎn)：使F(s)=0，即N(s)=0的s值極點(diǎn)：使F(s)=∞，即D(s)=0的s值零點(diǎn)極點(diǎn)極零圖（零、極點(diǎn)分布圖）：28F(s)的極零圖與波形的關(guān)系2930F(s)的極零圖與波形的關(guān)系5.6拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

（一）線性

設(shè)

則

(二)尺度變換

設(shè)

則

（三）時間平移

設(shè)

則

（是延時得到的）

右移33例：設(shè)

求的拉普拉斯變換

或

例5-6

求鋸齒波

解：

求有始周期函數(shù)的拉普拉斯變換

解：

35第一周期波形的拉普拉斯變換周期因子解：

3738(四）頻率平移

設(shè)

則

例1例2

(五)時域微分

設(shè)

則

用于復(fù)頻域系統(tǒng)分析（六）

時域積分

設(shè)

則

推論41(七)復(fù)頻域微分與積分

設(shè)

則（八）參變量積分與微分

設(shè)

則

42（九）

初值定理

設(shè)

則

應(yīng)用條件：

F(s)必須為真分式，

若不是真分式，則必須將F(s)化為一個多項(xiàng)式和一個真分式Fp(s)之和，此時43（十）

終值定理

設(shè)

的所有極點(diǎn)都位于S左半平面，則應(yīng)用條件：

1）的所有極點(diǎn)都位于S左半平面

2）在S=0處若有極點(diǎn)也只能是一階極點(diǎn)

（十一）

時域卷積

設(shè)

則

（十二）

復(fù)頻域卷積

設(shè)

則

用于復(fù)頻域系統(tǒng)分析455.7線性系統(tǒng)的拉氏變換分析法

1、

積分微分方程的拉普拉斯變換--直接求全響應(yīng)

2、

從信號分解的角度求拉普拉斯變換--求零輸入響應(yīng)：初始狀態(tài)等效為信號源--求零狀態(tài)響應(yīng)：

461、積分微分方程的拉普拉斯變換--直接求全響應(yīng)

時域微分

積分特性設(shè)

則

47解：對微分方程兩邊取拉普拉斯變換,可得例1：

描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為已知輸入，初始狀態(tài)，。試求系統(tǒng)的響應(yīng)。全響應(yīng)4849解：

列電路方程

取拉氏變換：

例2

已知

e(t),R,L,C,，求

i(t)。50

2、從信號分解的角度求拉普拉斯變換初始狀態(tài)等效電源電路s域模型：電容—1/Cs電感--Ls51RLC串聯(lián)電路的s域模型零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)復(fù)頻域阻抗或運(yùn)算阻抗52系統(tǒng)函數(shù)H(s)5353求H(s)的方法利用網(wǎng)絡(luò)的s域元件模型圖，列s域方程→微分方程兩端取拉氏變換→54例已知某系統(tǒng)方程為求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。解：兩邊求拉普拉斯變換，設(shè)初始狀態(tài)為055求RLC電路的H(s)5656例5-14已知輸入，初始條件為，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為，求系統(tǒng)的響應(yīng)。并標(biāo)出受迫分量與自然分量；瞬態(tài)分量與穩(wěn)態(tài)分量。

解：

（1）求零輸入響應(yīng)

初始條件確定常數(shù)：

57(3)求全響應(yīng)

（2）求零狀態(tài)響應(yīng)

585960612.28設(shè)系統(tǒng)方程為，當(dāng)時，全響應(yīng)為求：（1）系統(tǒng)的初始狀態(tài)r(0),r’(0)；（2）系數(shù)C的大小。解：方程兩邊同取拉氏變換，代入方程得整理得625.10線性系統(tǒng)的模擬

前面介紹的時域和頻域分析方法：

給定物理系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型（方程式）求解——數(shù)學(xué)分析

實(shí)驗(yàn)方法

——模擬

圖解法

——信號流圖法

對于高階系統(tǒng)：（一）基本單元

系統(tǒng)的模擬圖由三種基本運(yùn)算器組合起來：

積分器、

標(biāo)量乘法器、

加法器

63加法器

時域

復(fù)頻域（s域）

標(biāo)量乘法器

a

a積分器

零態(tài)：

非零態(tài)：

（二）微分方程式的模擬

1．一階

：

時域框圖

s域框圖

2．二階：

積分器個數(shù)＝階數(shù)

653．n階:模擬規(guī)則：

作為第一個積分器的輸入，經(jīng)n個積分器得到輸出y664．系統(tǒng)方程含有x的導(dǎo)數(shù)

以二階為例：

（x的階數(shù)低于y的階數(shù)——實(shí)際系統(tǒng)）

引入輔助變量：

令

模擬框圖：

6768（三）

子系統(tǒng)模擬框圖

1.子系統(tǒng)并聯(lián)模擬

n階系統(tǒng)：

（俱為單階極點(diǎn)）

（n個極點(diǎn)俱為實(shí)數(shù)）

對應(yīng)一個一階子系統(tǒng)（實(shí)數(shù)極點(diǎn)）

H1（s）H2（s）Hn（s）X(s)Y(s)子系統(tǒng)框圖：子系統(tǒng)并聯(lián)模擬框圖：如有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)項(xiàng)，為使子系統(tǒng)的系數(shù)ai、bi為實(shí)數(shù)，常合并在一起組成一二階系統(tǒng)，此時

692．子系統(tǒng)級聯(lián)模擬（串聯(lián)模擬）

n階系統(tǒng)：

其中為一階或二階子系統(tǒng)若一階子系統(tǒng)

則其模擬框圖為：r個子系統(tǒng)級聯(lián)模擬框圖為：H1（s）H2（s）Hr（s）子系統(tǒng)模擬的特點(diǎn)：

調(diào)整某一子系統(tǒng)的參數(shù)僅影響該子系統(tǒng)的極點(diǎn)或零點(diǎn)在s平面上的位置，對其它子系統(tǒng)不產(chǎn)生影響。

5.32已知系統(tǒng)函數(shù)H(s)如下，試?yán)L其直接模擬框圖，并聯(lián)模擬框圖以及級聯(lián)模擬框圖。5.11信號流圖

7576流圖構(gòu)筑（略）根據(jù)微分方程根據(jù)電路結(jié)構(gòu)根據(jù)流圖求系統(tǒng)函數(shù)H(s)流圖化簡（略）梅森公式77梅森公式7879去掉G1后的子圖去掉G2后的子圖為空圖去掉G3后的子圖80思考：81例：求

X0mX1aX2bX3cX4X4

def1g共有4個環(huán)：

L1=ad

L2=beL3=cfL4=gfed