定點數(shù)加減法

定點數(shù)加減法第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日在用原碼進行加減運算時，計算機實際操作是加還是減取決于指令中的操作碼和兩個操作數(shù)的符號；運算結(jié)果的符號判斷也較復(fù)雜。因此這種方法很少使用。第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日（2）補碼加減運算①補碼加法運算

[X

]+[Y]=[X+Y]②補碼減法運算[X–Y]=[X+(-Y)]=[X]+[-Y]第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.補碼加法運算公式：[x+y]補=[x]補+[y]補以模為2定義的補碼為例，分四種情況證明該式的正確性（純小數(shù)）第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日①

設(shè)x>0,y>0,則x+y>0由補碼定義，[x]補=x,[y]補=y,所以[x]補+[y]補=x+y=[x+y]補②x<0,y<0,則(x+y)<0由補碼定義，[x]補=2+x,[y]補=2+y[x]補+[y]補=2+x+2+y=2+(2+x+y),由于x+y為負數(shù)，其絕對值又小于1，所以(2+x+y)就一定是小于2大于1的數(shù)，上式等號右邊的2必然丟掉，又由于x+y<0，所以[x]補+[y]補=(2+x+y)=2+(x+y)=[x+y]補第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日③x>0,y<0[x]補=x,[y]補=2+y,[x]補+[y]補=x+2+y有兩種情況A：當(dāng)(x+y)≥0時，模2丟掉，又因為(x+y)≥0，所以[x]補+[y]補=2+x+y=x+y=[x+y]補B：當(dāng)(x+y)<0時，有：[x]補+[y]補=2+x+y=[x+y]補④x<0,y>0情況與③類似。第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日2.補碼的減法運算公式[x–y]補=[x+(–y)]補=[x]補+[–y]補只要證明[–y]補=–[y]補，上式即得證。證明如下：第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日由于[x+y]補=[x]補+[y]補，可得①[y]補=[x+y]補–[x]補,又[x–y]補=[x+(–y）]補=[x]補+[–y]補，同理可得②[–y]補=[x–y]補–[x]補①＋②得[–y]補+[y]補=[x–y]補–[x]補+[x+y]補–[x]補=[x–y]補+[x+y]補–[x]補–[x]補=[x–y+x+y]補–[x]補–[x]補=[2x]補–2[x]補=0從而有[–y]補=–[y]補[mod2]只要求得[–y]補，就可以變減法為加法，已知[y]補，求[–y]補的法則是：對[y]補各位（包括符號位）取反，然后在末位加上1，就可以得到[–y]補。第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日③補碼運算規(guī)則根據(jù)以上討論，可將補碼加減規(guī)則歸納如下：

參加運算的操作數(shù)用補碼表示。 符號位參加運算。 若指令操作碼為加，則兩數(shù)直接相加；若操作碼為減，則將減數(shù)連同符號位一起變反加1后再與被減數(shù)相加。 運算結(jié)果用補碼表示?！纠?-3】[X]=00110110，[Y]=11001101，求[X+Y]，[X-Y]。第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日（3）溢出判別在什么情況下可能產(chǎn)生溢出?例：設(shè)定點整數(shù)字長8位，補碼表示（最高位為符號位），表示范圍為-128127，運算結(jié)果超出此范圍就發(fā)生溢出。

第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日0001111100001101（1）31+13=44001011000111111101000001（3）63+66=129100000011100000110111110（4）-63+（-66）=-12901111111正溢負溢（2）-31+（-12）=-43111000011111010011010101第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日①采用一個符號位判斷溢出=S+AB②采用最高有效位的進位判斷溢出=C+C=CC③采用變形補碼判斷(雙符號位)用S、Sn分別表示結(jié)果最高符號位和第2符號位

溢出=SS兩正數(shù)相加結(jié)果為負或兩負數(shù)相加結(jié)果為正，則溢出符號位產(chǎn)生的進位與最高有效位產(chǎn)生的進位情況不同，則溢出01：結(jié)果正溢10：結(jié)果負溢第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日3．定點數(shù)乘除運算（1）無符號整數(shù)一位乘法計算機中的乘法運算采用的方法是：將n位乘轉(zhuǎn)換為n次“累加與移位”，即每一步只求一位乘數(shù)所對應(yīng)的新部分積，并與原部分積作一次累加，然后右移一位。

第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日右圖是無符號整數(shù)一位乘的算法流程圖。圖中使用了3個寄存器A、B和C。

B用來存放被乘數(shù)；

C存放乘數(shù)；

A初值為0，然后存放部分積，最后存放乘積高位。由于乘數(shù)每乘一位該位代碼就不再使用，因此用A和C寄存器聯(lián)合右移以存放逐次增加的部分積，并且使每次操作依據(jù)的乘數(shù)位始終在C的最低位。乘法完成時，A與C存放的是最后乘積，其中C的內(nèi)容是乘積的低位部分。

第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日實現(xiàn)無符號整數(shù)一位乘法的硬件原理框圖如下圖所示。

圖中，用進位觸發(fā)器Ca保存每次累加暫時產(chǎn)生的進位，它的初值為0。在被乘數(shù)送入B、乘數(shù)送入C，A和Ca被置0后，控制邏輯控制乘法進入第1個節(jié)拍，這時由乘數(shù)位C0產(chǎn)生“加B/不加”（不加相當(dāng)于加0）信號，用以控制被乘數(shù)B是否與上次部分積相加產(chǎn)生本次部分積，然后Ca、A、C一起右移一位。重復(fù)n個節(jié)拍的操作后所得到的乘積存放在A和C中。第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日【例3-10】1101*1011的運算過程如圖所示。第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日例2.13設(shè)x=–0.1101,y=–0.1011,求[x×y]原=？第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日上一例在演算時也可以先計算兩小數(shù)的小數(shù)部分，算完小數(shù)部分積后再考慮積的的小數(shù)部分位數(shù)，添上小數(shù)點。第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日定點除法運算第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日遇到的問題第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日（2）無符號整數(shù)一位除法在計算機中實現(xiàn)除法運算，著重要解決如何判斷夠減與否的問題，可以用以下兩種辦法：①用邏輯線路進行比較判別，又叫做比較法。將被除數(shù)或余數(shù)減去除數(shù)，如果夠減就執(zhí)行一次減法并商1，然后余數(shù)左移一位；如果不夠減就商0，同時余數(shù)左移一位。這種方法的缺點是增加硬件代價。②直接做減法試探，不論是否夠減，都將被除數(shù)或余數(shù)減去除數(shù)。若所得余數(shù)符號位為0（即正）表明夠減，上商1；若余數(shù)符號位為1（即負）表明不夠減，由于已做了減法，因此上商0并加上除數(shù)（即恢復(fù)余數(shù)）；然后余數(shù)左移一位再做下一步。這就是恢復(fù)余數(shù)法。

第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日通過分析恢復(fù)余數(shù)法可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)余數(shù)A為正時，上商1，下一步A左移一位再減除數(shù)B，相當(dāng)于執(zhí)行2A-B的運算；若余數(shù)A為負，上商0，并加除數(shù)以恢復(fù)余數(shù)即A+B，下一步左移一位減去除數(shù)B，這實際相當(dāng)于執(zhí)行2（A+B）-B=2A+B故在出現(xiàn)不夠減時，并不需要恢復(fù)余數(shù)，只是下一步要進行2A+B的操作，因此稱為不恢復(fù)余數(shù)法或加減交替法。其算法流程如右圖所示。圖中使用3個寄存器A、B和C。運算開始時，n位除數(shù)存放在B中，2n位被除數(shù)存放在A和C寄存器中。除法完成后商放在C寄存器中，余數(shù)放在A寄存器中。從圖中可以看出，在重復(fù)n-1次操作后，如果A中的余數(shù)為負，需要恢復(fù)余數(shù)做A+B。這一步是必需的，因為最后的寄存器A中應(yīng)獲得正確的正余數(shù)。

第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日【例3-11】用不恢復(fù)余數(shù)法計算00001000÷0011。解：A、C：00001000；B：0011；[-B]補：1101。其運算過程如右圖。第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日例x=+0.1001y=-0.1011求[x/y]原第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日3.2.3浮點數(shù)運算方法1．浮點數(shù)加減運算設(shè)有兩個浮點數(shù)：X=Mx·，Y=My·。要實現(xiàn)X+Y的運算，需要以下4個步驟才能完成。①對階操作

對階的規(guī)則是：階碼小的數(shù)向階碼大的數(shù)對齊②實現(xiàn)尾數(shù)的加（減）運算③結(jié)果規(guī)格化和溢出判斷a．左規(guī)b．右規(guī)若運算結(jié)果是非規(guī)格化的數(shù)，例如尾數(shù)是11.1x…x或00.0x…x形式，就需要將尾數(shù)左移，每左移一位，階碼減1，直至滿足規(guī)格化條件為止（即尾數(shù)最高有效位的真值為1，或尾數(shù)符與最高有效位不等），這個過程稱為左規(guī)。在左規(guī)的同時應(yīng)判斷結(jié)果是否會下溢，即階碼小于所能表示的最小負數(shù)。若運算結(jié)果尾數(shù)發(fā)生溢出，例如尾數(shù)為10.xx…x或01.xx…x形式，這并不表明浮點結(jié)果會溢出，此時需調(diào)整階碼，將尾數(shù)右移一位，階碼加1，稱為右規(guī)。右規(guī)時，應(yīng)判斷結(jié)果是否會上溢，即階碼大于所能表示的最大正數(shù)。④舍入操作恒舍法，恒進法，0舍1進法為什么不是階碼大的數(shù)向階碼小的數(shù)對齊？第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日下面舉一個浮點加的實例?！纠?-12】設(shè)有兩個浮點數(shù)X=20.1101012，Y=2(-0.101011)2。階碼尾數(shù)[X]浮=11,10；00.110101[Y]浮=11,11；11.010101①對階[E]=[EX]+[-EY]=1110+0001=1111，即E=-1，將MX右移一位，其階碼加1，得

=11，11；00.011011（用0舍1入法）②尾數(shù)求和