定點(diǎn)數(shù)加減法

定點(diǎn)數(shù)加減法第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日在用原碼進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，計(jì)算機(jī)實(shí)際操作是加還是減取決于指令中的操作碼和兩個(gè)操作數(shù)的符號(hào)；運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)判斷也較復(fù)雜。因此這種方法很少使用。第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日（2）補(bǔ)碼加減運(yùn)算①補(bǔ)碼加法運(yùn)算

[X

]+[Y]=[X+Y]②補(bǔ)碼減法運(yùn)算[X–Y]=[X+(-Y)]=[X]+[-Y]第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日1.補(bǔ)碼加法運(yùn)算公式：[x+y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)以模為2定義的補(bǔ)碼為例，分四種情況證明該式的正確性（純小數(shù)）第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日①

設(shè)x>0,y>0,則x+y>0由補(bǔ)碼定義，[x]補(bǔ)=x,[y]補(bǔ)=y,所以[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=x+y=[x+y]補(bǔ)②x<0,y<0,則(x+y)<0由補(bǔ)碼定義，[x]補(bǔ)=2+x,[y]補(bǔ)=2+y[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=2+x+2+y=2+(2+x+y),由于x+y為負(fù)數(shù)，其絕對(duì)值又小于1，所以(2+x+y)就一定是小于2大于1的數(shù)，上式等號(hào)右邊的2必然丟掉，又由于x+y<0，所以[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=(2+x+y)=2+(x+y)=[x+y]補(bǔ)第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日③x>0,y<0[x]補(bǔ)=x,[y]補(bǔ)=2+y,[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=x+2+y有兩種情況A：當(dāng)(x+y)≥0時(shí)，模2丟掉，又因?yàn)?x+y)≥0，所以[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=2+x+y=x+y=[x+y]補(bǔ)B：當(dāng)(x+y)<0時(shí)，有：[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=2+x+y=[x+y]補(bǔ)④x<0,y>0情況與③類似。第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日2.補(bǔ)碼的減法運(yùn)算公式[x–y]補(bǔ)=[x+(–y)]補(bǔ)=[x]補(bǔ)+[–y]補(bǔ)只要證明[–y]補(bǔ)=–[y]補(bǔ)，上式即得證。證明如下：第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日由于[x+y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)，可得①[y]補(bǔ)=[x+y]補(bǔ)–[x]補(bǔ),又[x–y]補(bǔ)=[x+(–y）]補(bǔ)=[x]補(bǔ)+[–y]補(bǔ)，同理可得②[–y]補(bǔ)=[x–y]補(bǔ)–[x]補(bǔ)①＋②得[–y]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=[x–y]補(bǔ)–[x]補(bǔ)+[x+y]補(bǔ)–[x]補(bǔ)=[x–y]補(bǔ)+[x+y]補(bǔ)–[x]補(bǔ)–[x]補(bǔ)=[x–y+x+y]補(bǔ)–[x]補(bǔ)–[x]補(bǔ)=[2x]補(bǔ)–2[x]補(bǔ)=0從而有[–y]補(bǔ)=–[y]補(bǔ)[mod2]只要求得[–y]補(bǔ)，就可以變減法為加法，已知[y]補(bǔ)，求[–y]補(bǔ)的法則是：對(duì)[y]補(bǔ)各位（包括符號(hào)位）取反，然后在末位加上1，就可以得到[–y]補(bǔ)。第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日③補(bǔ)碼運(yùn)算規(guī)則根據(jù)以上討論，可將補(bǔ)碼加減規(guī)則歸納如下：

參加運(yùn)算的操作數(shù)用補(bǔ)碼表示。 符號(hào)位參加運(yùn)算。 若指令操作碼為加，則兩數(shù)直接相加；若操作碼為減，則將減數(shù)連同符號(hào)位一起變反加1后再與被減數(shù)相加。 運(yùn)算結(jié)果用補(bǔ)碼表示?！纠?-3】[X]=00110110，[Y]=11001101，求[X+Y]，[X-Y]。第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日（3）溢出判別在什么情況下可能產(chǎn)生溢出?例：設(shè)定點(diǎn)整數(shù)字長(zhǎng)8位，補(bǔ)碼表示（最高位為符號(hào)位），表示范圍為-128127，運(yùn)算結(jié)果超出此范圍就發(fā)生溢出。

第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日0001111100001101（1）31+13=44001011000111111101000001（3）63+66=129100000011100000110111110（4）-63+（-66）=-12901111111正溢負(fù)溢（2）-31+（-12）=-43111000011111010011010101第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日①采用一個(gè)符號(hào)位判斷溢出=S+AB②采用最高有效位的進(jìn)位判斷溢出=C+C=CC③采用變形補(bǔ)碼判斷(雙符號(hào)位)用S、Sn分別表示結(jié)果最高符號(hào)位和第2符號(hào)位

溢出=SS兩正數(shù)相加結(jié)果為負(fù)或兩負(fù)數(shù)相加結(jié)果為正，則溢出符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位與最高有效位產(chǎn)生的進(jìn)位情況不同，則溢出01：結(jié)果正溢10：結(jié)果負(fù)溢第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日3．定點(diǎn)數(shù)乘除運(yùn)算（1）無(wú)符號(hào)整數(shù)一位乘法計(jì)算機(jī)中的乘法運(yùn)算采用的方法是：將n位乘轉(zhuǎn)換為n次“累加與移位”，即每一步只求一位乘數(shù)所對(duì)應(yīng)的新部分積，并與原部分積作一次累加，然后右移一位。

第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日右圖是無(wú)符號(hào)整數(shù)一位乘的算法流程圖。圖中使用了3個(gè)寄存器A、B和C。

B用來(lái)存放被乘數(shù)；

C存放乘數(shù)；

A初值為0，然后存放部分積，最后存放乘積高位。由于乘數(shù)每乘一位該位代碼就不再使用，因此用A和C寄存器聯(lián)合右移以存放逐次增加的部分積，并且使每次操作依據(jù)的乘數(shù)位始終在C的最低位。乘法完成時(shí)，A與C存放的是最后乘積，其中C的內(nèi)容是乘積的低位部分。

第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)現(xiàn)無(wú)符號(hào)整數(shù)一位乘法的硬件原理框圖如下圖所示。

圖中，用進(jìn)位觸發(fā)器Ca保存每次累加暫時(shí)產(chǎn)生的進(jìn)位，它的初值為0。在被乘數(shù)送入B、乘數(shù)送入C，A和Ca被置0后，控制邏輯控制乘法進(jìn)入第1個(gè)節(jié)拍，這時(shí)由乘數(shù)位C0產(chǎn)生“加B/不加”（不加相當(dāng)于加0）信號(hào)，用以控制被乘數(shù)B是否與上次部分積相加產(chǎn)生本次部分積，然后Ca、A、C一起右移一位。重復(fù)n個(gè)節(jié)拍的操作后所得到的乘積存放在A和C中。第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日【例3-10】1101*1011的運(yùn)算過(guò)程如圖所示。第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例2.13設(shè)x=–0.1101,y=–0.1011,求[x×y]原=？第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日上一例在演算時(shí)也可以先計(jì)算兩小數(shù)的小數(shù)部分，算完小數(shù)部分積后再考慮積的的小數(shù)部分位數(shù)，添上小數(shù)點(diǎn)。第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日定點(diǎn)除法運(yùn)算第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日遇到的問(wèn)題第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日（2）無(wú)符號(hào)整數(shù)一位除法在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算，著重要解決如何判斷夠減與否的問(wèn)題，可以用以下兩種辦法：①用邏輯線路進(jìn)行比較判別，又叫做比較法。將被除數(shù)或余數(shù)減去除數(shù)，如果夠減就執(zhí)行一次減法并商1，然后余數(shù)左移一位；如果不夠減就商0，同時(shí)余數(shù)左移一位。這種方法的缺點(diǎn)是增加硬件代價(jià)。②直接做減法試探，不論是否夠減，都將被除數(shù)或余數(shù)減去除數(shù)。若所得余數(shù)符號(hào)位為0（即正）表明夠減，上商1；若余數(shù)符號(hào)位為1（即負(fù)）表明不夠減，由于已做了減法，因此上商0并加上除數(shù)（即恢復(fù)余數(shù)）；然后余數(shù)左移一位再做下一步。這就是恢復(fù)余數(shù)法。

第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日通過(guò)分析恢復(fù)余數(shù)法可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)余數(shù)A為正時(shí)，上商1，下一步A左移一位再減除數(shù)B，相當(dāng)于執(zhí)行2A-B的運(yùn)算；若余數(shù)A為負(fù)，上商0，并加除數(shù)以恢復(fù)余數(shù)即A+B，下一步左移一位減去除數(shù)B，這實(shí)際相當(dāng)于執(zhí)行2（A+B）-B=2A+B故在出現(xiàn)不夠減時(shí)，并不需要恢復(fù)余數(shù)，只是下一步要進(jìn)行2A+B的操作，因此稱為不恢復(fù)余數(shù)法或加減交替法。其算法流程如右圖所示。圖中使用3個(gè)寄存器A、B和C。運(yùn)算開始時(shí)，n位除數(shù)存放在B中，2n位被除數(shù)存放在A和C寄存器中。除法完成后商放在C寄存器中，余數(shù)放在A寄存器中。從圖中可以看出，在重復(fù)n-1次操作后，如果A中的余數(shù)為負(fù)，需要恢復(fù)余數(shù)做A+B。這一步是必需的，因?yàn)樽詈蟮募拇嫫鰽中應(yīng)獲得正確的正余數(shù)。

第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日【例3-11】用不恢復(fù)余數(shù)法計(jì)算00001000÷0011。解：A、C：00001000；B：0011；[-B]補(bǔ)：1101。其運(yùn)算過(guò)程如右圖。第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日例x=+0.1001y=-0.1011求[x/y]原第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日3.2.3浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算方法1．浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)：X=Mx·，Y=My·。要實(shí)現(xiàn)X+Y的運(yùn)算，需要以下4個(gè)步驟才能完成。①對(duì)階操作

對(duì)階的規(guī)則是：階碼小的數(shù)向階碼大的數(shù)對(duì)齊②實(shí)現(xiàn)尾數(shù)的加（減）運(yùn)算③結(jié)果規(guī)格化和溢出判斷a．左規(guī)b．右規(guī)若運(yùn)算結(jié)果是非規(guī)格化的數(shù)，例如尾數(shù)是11.1x…x或00.0x…x形式，就需要將尾數(shù)左移，每左移一位，階碼減1，直至滿足規(guī)格化條件為止（即尾數(shù)最高有效位的真值為1，或尾數(shù)符與最高有效位不等），這個(gè)過(guò)程稱為左規(guī)。在左規(guī)的同時(shí)應(yīng)判斷結(jié)果是否會(huì)下溢，即階碼小于所能表示的最小負(fù)數(shù)。若運(yùn)算結(jié)果尾數(shù)發(fā)生溢出，例如尾數(shù)為10.xx…x或01.xx…x形式，這并不表明浮點(diǎn)結(jié)果會(huì)溢出，此時(shí)需調(diào)整階碼，將尾數(shù)右移一位，階碼加1，稱為右規(guī)。右規(guī)時(shí)，應(yīng)判斷結(jié)果是否會(huì)上溢，即階碼大于所能表示的最大正數(shù)。④舍入操作恒舍法，恒進(jìn)法，0舍1進(jìn)法為什么不是階碼大的數(shù)向階碼小的數(shù)對(duì)齊？第三十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，2022年，8月28日下面舉一個(gè)浮點(diǎn)加的實(shí)例。【例3-12】設(shè)有兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)X=20.1101012，Y=2(-0.101011)2。階碼尾數(shù)[X]浮=11,10；00.110101[Y]浮=11,11；11.010101①對(duì)階[E]=[EX]+[-EY]=1110+0001=1111，即E=-1，將MX右移一位，其階碼加1，得

=11，11；00.011011（用0舍1入法）②尾數(shù)求和