初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題總結(jié)

初二動點(diǎn)問題如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,動點(diǎn)P從a開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運(yùn)動.P、Q分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為ts.(1)當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？(2)當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？(3)當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD為直角梯形？/分析：(1)四邊形PQCD為平行四邊形時PD=CQ.(2)四邊形PQCD為等腰梯形時QC-PD=2CE.(3)四邊形PQCD為直角梯形時QC-PD=EC.所有的關(guān)系式都可用含有t的方程來表示，即此題只要解三個方程即可.解答：解：(1)二?四邊形PQCD平行為四邊形???PD=CQ二24-t=3t解得：t=6即當(dāng)t=6時，四邊形PQCD平行為四邊形./(2)過D作DEXBC于E則四邊形ABED為矩形.??BE=AD=24cm??.EC=BC-BE=2cm???四邊形PQCD為等腰梯形.QC-PD=2CE即3t-(24-t)=4解得：t=7(s)即當(dāng)t=7(s)時，四邊形PQCD為等腰梯形.(3)由題意知：QC-PD=EC時，四邊形PQCD為直角梯形即3t-(24-t)=2解得：t=6.5(s)即當(dāng)t=6.5(s)時，四邊形PQCD為直角梯形.點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中.如圖，4ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN〃BC,設(shè)MN交NBCA的外角平分線CF于點(diǎn)F,交NACB內(nèi)角平分線CE于E.(1)試說明EO=FO；(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；(3)若AC邊上存在點(diǎn)O,使四邊形AECF是正方形，猜想^ABC的形狀并證明你的結(jié)論./分析：(1)根據(jù)CE平分NACB,MN〃BC,找到相等的角，即NOEC=NECB,再根據(jù)等邊對等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO.(2)利用矩形的判定解答，即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形.(3)利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答.解答：解：(1)：CE平分NACB,AZACE=ZBCE,「MN〃BC,AZOEC=ZECB,AZOEC=ZOCE,.??OE=OC,同理，OC=OF,AOE=OF.(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC中點(diǎn)處時，四邊形AECF是矩形.如圖AO=CO,EO=FO,.四邊形AECF為平行四邊形，VCE平分/ACB,AZACE=/ZACB,同理，NACF=/ZACG,AZECF=ZACE+ZACF=/(ZACB+ZACG)=/X180°=90°,??四邊形AECF是矩形.(3)AABC是直角三角形??四邊形AECF是正方形，，?AC，EN,故NAOM=90°,「MN〃BC,AZBCA=ZAOM,AZBCA=90°,.△ABC是直角三角形.點(diǎn)評：本題主要考查利用平行線的性質(zhì)”等角對等邊”證明出結(jié)論(1),再利用結(jié)論(1)和矩形的判定證明結(jié)論(2),再對(3)進(jìn)行判斷.解答時不僅要注意用到前一問題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一問題提供思路，有相似的思考方法.是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用.如圖，直角梯形ABCD中，AD〃BC,NABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動.過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N.P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度.當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時間為t秒.(1)求NC,MC的長(用t的代數(shù)式表示)；(2)當(dāng)t為何值時，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；(3)是否存在某一時刻，使射線QN恰好將4ABC的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；(4)探究：t為何值時，4PMC為等腰三角形./分析：(1)依據(jù)題意易知四邊形ABNQ是矩形...NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知，DQ就是t,即解；?.?AB〃QN,，^CMNs^CAB,，CM：CA=CN：CB,(2)CB、CN已知，根據(jù)勾股定理可求CA=5,即可表示CM；四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解；(3)可先根據(jù)QN平分4ABC的周長，得出MN+NC=AM+BN+AB,據(jù)此來求出t的值.然后根據(jù)得出的t的值，求出^MNC的面積，即可判斷出^MNC的面積是否為^ABC面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的t值.(4)由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)MP=MC時，那么PC=2NC,據(jù)此可求出t的值.②當(dāng)CM=CP時，可根據(jù)CM和CP的表達(dá)式以及題設(shè)的等量關(guān)系來求出t的值.③當(dāng)MP=PC時，在直角三角形MNP中，先用t表示出三邊的長，然后根據(jù)勾股定理即可得出t的值.綜上所述可得出符合條件的t的值.解答：解：(1)：AQ=3-t.?.CN=4-(3-t)=1+t在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AAC=5在RtAMNC中，cosZNCM=/=/,CM=/.(2)由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形APC=QD,即4-t=t解得t=2.(3)如果射線QN將4ABC的周長平分，則有：MN+NC=AM+BN+AB即：/(1+t)+1+t=/(3+4+5)解得：t=/(5分)而MN=/NC=/(1+t)ASAMNC=/(1+t)2=/(1+t)2當(dāng)t=/時，SAMNC=(1+t)2=/W/X4X3???不存在某一時刻t,使射線QN恰好將^ABC的面積和周長同時平分./(4)①當(dāng)MP=MC時(如圖1)貝U有：NP=NC即PC=2NC.4-t=2(1+t)解得：t=/②當(dāng)CM=CP時(如圖2)則有：/(1+t)=4-t解得：t=/③當(dāng)PM=PC時(如圖3)則有：在RtAMNP中，PM2=MN2+PN2而MN=/NC=/(1+t)PN=NC-PC=(1+t)-(4-t)=2t-3：.[/(1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2解得：t1=/,t2=-1(舍去).?.當(dāng)t=/,t=/,t=/時，4PMC為等腰三角形點(diǎn)評：此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì).考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm,P,Q,M,N分別從A,B,C,D出發(fā)沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的邊上同時運(yùn)動，當(dāng)有一個點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動邊的另一個端點(diǎn)時，運(yùn)動即停止.已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm(xW0),則AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm./(1)當(dāng)x為何值時，以PQ,MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；(2)當(dāng)x為何值時，以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；(3)以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由.分析：以PQ,MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形的必須條件是點(diǎn)P、N重合且點(diǎn)Q、M不重合，此時AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MCWBC即x+3xW20cm；或者點(diǎn)Q、M重合且點(diǎn)P、N不重合，此時AP+NDWAD即2x+x2W20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm.所以可以根據(jù)這兩種情況來求解x的值.以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的話，因?yàn)橛傻谝粏柨芍c(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè).當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時，AP=MC,BQ=ND；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時，AN=MC,BQ=PD.所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式.如果以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+NDWAD即2x+x2W20cm,BQ+MCWBC即x+3xW20cm,AP=ND即2x=x2,BQ=MC即x=3x,xW0.這些條件不能同時滿足，所以不能成為等腰梯形.解答：解：(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時，以PQ,MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形.①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時，由x2+2x=20,得x1=/-1,x2=-/-1(舍去).因?yàn)锽Q+CM=x+3x=4(/-1)<20,此時點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合.所以x=/-1符合題意.②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時，由x+3x=20,得x=5.此時DN=x2=25>20,不符合題意.故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合.所以所求x的值為/-1.(2)由(1)知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時，由20-(x+3x)=20-(2x+x2),解得x1=0(舍去)，x2=2.當(dāng)x=2時四邊形PQMN是平行四邊形.②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時，由20-(x+3x)=(2x+x2)-20,解得x1=-10(舍去)，x2=4.當(dāng)x=4時四邊形NQMP是平行四邊形.所以當(dāng)x=2或x=4時，以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.(3)過點(diǎn)Q,M分別作AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F.由于2x>x,所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè).若以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn)F一定在點(diǎn)N的右側(cè)，且PE=NF,即2x-x=x2-3x.解得x1=0(舍去)，x2=4.由于當(dāng)x=4時，以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以以P,Q,M,N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形.點(diǎn)評：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點(diǎn).如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm,點(diǎn)M從點(diǎn)A開始，沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動，速度為1cm/s；點(diǎn)N從點(diǎn)C開始，沿邊CB向點(diǎn)B運(yùn)動，速度為2cm/s、點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、C出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒./(1)當(dāng)t為何值時，四邊形MNCD是平行四邊形？(2)當(dāng)t為何值時，四邊形MNCD是等腰梯形？分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊相等，求得t值；(2)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，下底減去上底等于12,求解即可.解答：解：(1)：MD〃NC,當(dāng)MD=NC,即15-t=2t,t=5時，四邊形MNCD是平行四邊形；(2)作DELBC,垂足為E,則UCE=21-15=6,當(dāng)CN-MD=12時，即2t-(15-t)=12,t=9時，四邊形MNCD是等腰梯形點(diǎn)評：考查了等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)，動點(diǎn)問題是中考的重點(diǎn)內(nèi)容.如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NC=90°,BC=16,DC=12,AD=21,動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，P、Q分別從點(diǎn)D、C同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(s).(1)設(shè)4BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系；(2)當(dāng)t為何值時，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？/分析：(1)若過點(diǎn)P作PMXBC于M,則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=12,由QB=16-t,可知：s=/PMXQB=96-6t；(2)本題應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，①若PQ=BQ,在RtAPQM中，由PQ2=PM2+MQ2,PQ=QB,將各數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出；②若BP=BQ，在RtAPMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出.解答：解：(1)過點(diǎn)P作PMXBC于M,則四邊形PDCM為矩形..??PM=DC=12,?.?QB=16-t,.s=/?QB?PM=/(16-t)X12=96-6t(0WtW/).(2)由圖可知，CM=PD=2t,CQ=t，若以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況/：①若PQ=BQ,在RtAPMQ中，PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,解得/；②若BP=BQ,在RtAPMB中，PB2=(16-2t)2+122,由PB2=BQ2得(16-21)2+122=(16-t)2,此方程無解，.BPWPQ.③若PB=PQ,由PB2=PQ2得t2+122=(16-2t)2+122得/,t2=16(不合題意，舍去).綜上所述，當(dāng)/或/時，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.點(diǎn)評：本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理.在解題(2)時，應(yīng)注意分情況進(jìn)行討論，防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象.直線y=-34x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動點(diǎn)P、Q同時從O點(diǎn)出發(fā)，同時到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動停止.點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)P沿路線OnBnA運(yùn)動.(1)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為t(秒)，AOPQ的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)S=485時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)M的坐標(biāo).分析：(1)分別令y=0，x=0,即可求出A、B的坐標(biāo)；(2))因?yàn)镺A=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10,進(jìn)而可求出點(diǎn)Q由O到A的時間是8秒，點(diǎn)P的速度是2,從而可求出，當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動(或0WtW3)時，OQ=t,OP=2t,S=t2,當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動(或3<tW8