初中數(shù)學人教版九年級上冊第二十四章圓單元復習【市一等獎】

4-10切線長定理和內切圓人教九上一、學習目標理解切線長的定義；掌握切線長定理，并能靈活運用切線長定理解題；了解三角形的內切圓、三角形的內心、圓的外切三角形的概念，會作已知三角形的內切圓；通過探究作三角形的內切圓的過程，歸納內心的性質，進一步提高歸納和作圖的能力．二、知識回顧確定圓的條件是什么？（1）圓心與半徑；（2）不在同一直線上的三點．敘述角平線的性質與判定．性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．判定：到一個角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．和圓有唯一公共的的直線叫圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．三、新知講解掃一掃，有驚喜哦！1．切線長經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段長，叫做這點到圓的切線長．幾何語言：如圖，過圓O外一點P作圓的一條切線，切點為A，則線段PA的長叫做點P到圓O的切線長．2．切線長定理從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．如圖，因為PAPB是圓O的兩條切線，所以（1）PA=PB；（2）∠APO=∠BPO=∠APB．3．三角形的內切圓與三角形各邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓．這個三角形叫做圓的外切三角形．4．三角形的內心三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，這點到三邊的距離相等，且必在三角形內部．四、典例探究1．應用切線長定理求角度【例1】（2014春?鹿城區(qū)校級期末）如圖，PA，PB分別是⊙O的切線，A，B分別為切點，點E是⊙O上一點，且∠AEB=60°，則∠P為（）A．120°B．60°C．30°D．45°總結：切線長定理為證明線段相等、角相等、弧相等，垂直關系等提供了理論依據(jù)，結合圓周角定理、三角形內角和、等邊對等角等性質即可求得角的度數(shù)．練1．（2011秋?杭州期末）如圖，PA、PB、CD分別切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D兩點，若∠P=40°，則∠PAE+∠PBE的度數(shù)為（）A．50°B．62°C．66°D．70°2．應用切線長定理求線段長【例2】（2014?畢節(jié)市三模）在三角形ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的內切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，那么AF、BD、CE的長分別為（）A．AF=4，BD=9，CE=5B．AF=4，BD=5，CE=9C．AF=5，BD=4，CE=9D．AF=9，BD=4，CE=5總結：切線長定理為證明線段相等、角相等、弧相等，垂直關系等提供了理論依據(jù)，結合已知線段之間的關系可以求出線段長，計算過程要注意等量代換和方程思想的應用．練2．（2014秋?如皋市校級月考）如圖，PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線，分別相交于C、D，已知△PCD的周長等于10cm，則PA=cm．3．已知三角形內切圓求角度【例3】（2015?寧波校級模擬）如圖，⊙O內切于△ABC，切點D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC上．已知∠B=50°，∠C=60°，連結OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40°B．55°C．65°D．70°總結：1．三角形的內切圓于外接圓的區(qū)別：“切”和“接”是指三角形的三邊與圓的位置關系，而“內”和“外”是指三角形與圓的相對位置；2．利用三角形內切圓的定義可得到90°角，以及相等角等條件，求角度時要善于利用這些隱含條件．練3．（2015?包頭一模）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，點O為△ACD的內切圓圓心，則∠AOB=．4．已知三角形邊長，求內切圓半徑【例4】（2014秋?海門市期末）已知三角形三邊長分別為5cm、5cm、6cm，則這個三角形內切圓的半徑是（）A．cmB．cmC．2cmD．3cm總結：1．一般三角形內切圓半徑的求法：設△ABC的三邊為a，b，c，面積為S，則△ABC的內切圓的半徑；2．直角三角形內切圓半徑的求法：設Rt△ABC的直角邊為a，b，斜邊為c，則Rt△ABC的內切圓的半徑或．練4．（2012秋?新沂市校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=5cm，AC﹣AB=1cm．（1）求AB、AC的長；（2）求△ABC內切圓的半徑．五、課后小測一、選擇題1．（2015?繁昌縣二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，點P是△ABC的內心，則∠BPC=（）A．80B．110C．130D．1402．（2012秋?岳池縣期末）如圖，從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA、PB，切點分別是A、B，如果∠APB=60°，線段PA=10，那么弦AB的長是（）A．10B．12C．5D．103．（2014秋?定陶縣期中）如圖，PA、PB切⊙O于點A、B，PA=8，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D兩點，則△PCD的周長是（）A．8B．18C．16D．144．（2009秋?平塘縣校級期末）如圖，直線AB、CD、BC分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，0C=8cm，則BE+CG的長等于（）A．13B．12C．11D．105．（2013秋?漢川市期末）如圖，⊙O是Rt△ABC的內切圓，∠C=90°，若AC=12cm，BC=9cm，則⊙O的半徑（）A．3cmB．6cmC．9cmD．15cm6．（2012?杭州模擬）如圖，若正△A1B1C1內接于正△ABC的內切圓，則△A1B1C1與△ABC的面積的比值為（）A．B．C．D．7．（2015?秦皇島校級模擬）如圖，一圓內切四邊形ABCD，且BC=10，AD=7，則四邊形的周長為（）A．32B．34C．36D．388．（2015?慈溪市一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，則它的內切圓與外接圓半徑分別為（）A．，B．2，5C．1，D．2，9．（2014春?海曙區(qū)校級期中）如圖，花邊帶上正三角形的內切圓半徑為1cm．如果這條花邊帶有100個圓和100個正三角形，則這條花邊的面積為（）A．150πB．150C．300D．200二、填空題10．（2013秋?濱湖區(qū)校級期末）如圖示PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，直線EF也是⊙O的切線，Q是切點，交PA、PB于E、F點．若PA=10cm，則△PEF的周長為20cm；若∠APB=50°，則∠EOF的度數(shù)為65°．11．（2014秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，則它的內切圓半徑是2．12．（2012?盤錦模擬）如圖，⊙O內切于△ABC，切點分別為D、E、F，且DE∥BC，若AB=8cm，AD=5cm，則△ADE的周長是cm．，三、解答題13．（2011秋?廣東期末）如圖，PA、PB、DE切⊙O于點A、B、C、D在PA上，E在PB上，（1）若PA=10，求△PDE的周長．（2）若∠P=50°，求∠O度數(shù)．14．（2011秋?港閘區(qū)校級期中）如圖，PA，PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點E，△PCD的周長為12，∠APB=60°．求：（1）PA的長；（2）∠COD的度數(shù)．15．（2013秋?南京期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）該三角形的外接圓的半徑長等于；（2）用直尺和圓規(guī)作出該三角形的內切圓（不寫作法，保留作圖痕跡），并求出該三角形內切圓的半徑長．更多練習>>

典例探究答案：【例1】（2014春?鹿城區(qū)校級期末）如圖，PA，PB分別是⊙O的切線，A，B分別為切點，點E是⊙O上一點，且∠AEB=60°，則∠P為（）A．120°B．60°C．30°D．45°分析：連接OA，BO，由圓周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°，PA、PB分別切⊙O于點A、B，利用切線的性質可知∠OAP=∠OBP=90°，根據(jù)四邊形內角和可求得∠P=180°﹣∠AOB=60°．解答：解：連接OA，BO，∵∠AOB=2∠E=120°，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠P=180°﹣∠AOB=60°．故選B．點評：本題考查了切線的性質，切線長定理以及圓周角定理，利用了四邊形的內角和為360度求解．練1．（2011秋?杭州期末）如圖，PA、PB、CD分別切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D兩點，若∠P=40°，則∠PAE+∠PBE的度數(shù)為（）A．50°B．62°C．66°D．70°分析：由PA、PB、CD分別切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D兩點，根據(jù)切線長定理即可得：CE=CA，DE=DB，然后由等邊對等角與三角形外角的性質，可求得∠PAE=∠PCD，∠PBE=∠PDC，繼而求得∠PAE+∠PBE的度數(shù)．解答：解：∵PA、PB、CD分別切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D兩點，∴CE=CA，DE=DB，∴∠CAE=∠CEA，∠DEB=∠DBE，∴∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠CAE，∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠DBE，∴∠CAE=∠PCD，∠DBE=∠PDC，即∠PAE=∠PCD，∠PBE=∠PDC，∵∠P=40°，∴∠PAE+∠PBE=∠PCD+∠PDC=（∠PCD+∠PDC）=（180°﹣∠P）=70°．故選D．點評：此題考查了切線長定理、等腰三角形的性質、三角形外角的性質以及三角形內角和定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．【例2】（2014?畢節(jié)市三模）在三角形ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的內切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，那么AF、BD、CE的長分別為（）A．AF=4，BD=9，CE=5B．AF=4，BD=5，CE=9C．AF=5，BD=4，CE=9D．AF=9，BD=4，CE=5分析：利用切線長定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以設AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根據(jù)BC=14，AC=9，AB=13，即可得到一個關于x，y，z的方程組，即可求解．解答：解：設AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm．∵AF、AE是圓的切線，∴AE=AF=xcm，同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm．根據(jù)題意得：，解得：．即：AF=4，BD=9，CE=5．故選A．點評：本題考查了切線長定理，利用切線長定理，把求線段長的問題轉化成解方程組的問題，體現(xiàn)了方程思想的應用．練2．（2014秋?如皋市校級月考）如圖，PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線，分別相交于C、D，已知△PCD的周長等于10cm，則PA=5cm．分析：由于DA、DC、BC都是⊙O的切線，可根據(jù)切線長定理，將△PCD的周長轉換為PA、PB的長，然后再進行求解．解答：解：如圖，設DC與⊙O的切點為E；∵PA、PB分別是⊙O的切線，且切點為A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；則△PCD的周長=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案為：5．點評：此題主要考查了切線長定理的應用，能夠將△PCD的周長轉換為切線PA、PB的長是解答此題的關鍵．【例3】（2015?寧波校級模擬）如圖，⊙O內切于△ABC，切點D，E，F(xiàn)分別在BC，AB，AC上．已知∠B=50°，∠C=60°，連結OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40°B．55°C．65°D．70°分析：根據(jù)三角形的內角和定理求出∠A，根據(jù)多邊形的內角和定理求出∠EOF，根據(jù)圓周角定理求出∠EDF即可．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=45°，∠C=65°，∴∠A=70°，∵⊙O內切于△ABC，切點分別為D、E、F，∴∠OEA=∠OFA=90°，∴∠EOF=360°﹣∠A﹣∠OEA﹣∠OFA=110°，∴∠EDF=∠EOF=55°．故選B．點評：本題主要考查對三角形的內切圓與內心，三角形的內角和定理，多邊形的內角和定理，圓周角定理等知識點的理解和掌握，能求出∠EOF的度數(shù)是解此題的關鍵．練3．（2015?包頭一模）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，點O為△ACD的內切圓圓心，則∠AOB=135°．分析：本題求的是∠AOB的度數(shù)，而題目卻沒有明確告訴任何角的度數(shù)，因此要從隱含條件入手；CD是AB邊上的高，則∠ADC=90°，那么∠BAC+∠ACD=90°；O是△ACD的內心，則AO、CO分別是∠DAC和∠DCA的角平分線，即∠OAC+∠OCA=45°，由此可求得∠AOC的度數(shù)；再根據(jù)∠AOB和∠AOC的關系，得出∠AOB．解答：解：如圖．連接CO，并延長AO到BC上一點F，∵CD為AB邊上的高，∴∠ADC=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°；又∵O為△ACD的內切圓圓心，∴AO、CO分別是∠BAC和∠ACD的角平分線，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACD）=×90°=45°，∴∠AOC=135°；在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴∠AOB=∠AOC=135°．故答案為：135°．點評：本題主要考查等腰三角形的性質、三角形內切圓的意義、三角形內角和定理、直角三角形的性質；難點在于根據(jù)題意畫圖，由于沒任何角的度數(shù)，需要充分挖掘隱含條件．此類題學生丟分率較高，需注意．【例4】（2014秋?海門市期末）已知三角形三邊長分別為5cm、5cm、6cm，則這個三角形內切圓的半徑是（）A．cmB．cmC．2cmD．3cm分析：由⊙O是△ABC的內切圓，⊙O切AB于E，切BC于D，根據(jù)切線長定理得到AB=AC，A，O，D三點共線，求得BD，AD，BE，AE，由勾股定理列方程求解．解答：解：如圖，∵⊙O是△ABC的內切圓，⊙O切AB于E，切BC

于D，∵AB=AC=5，∴A，O，D三點共線，∴BD=BC=3，∴AD==4，∴BE=BD=3，∴AE=2，設三角形內切圓的半徑為r，∴（4-r）2=22+r2，∴r=cm，∴三角形內切圓的半徑為cm．

故選B．點評：本題主要考查對三角形的內切圓與內心，切線長定理，切線的性質，正方形的性質和判定，勾股定理的逆定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．練4．（2012秋?新沂市校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=5cm，AC﹣AB=1cm．（1）求AB、AC的長；（2）求△ABC內切圓的半徑．分析：（1）設AB=xcm，則AC=（x+1）cm，根據(jù)勾股定理得出方程（x+1）2﹣x2=52，求出x即可；（2）設內切圓的半徑為y，根據(jù)三角形面積公式得出S△ABC=×5×12=×5r+×12r+×13r，求出即可．解答：解：（1）設AB=xcm，則AC=（x+1）cm，∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，∴（（x+1）2﹣x2=52，解得：x=12，即AB=12cm，AC=13cm；（2）連接AO、BO、CO、OD、OE、OF，設內切圓的半徑為y，根據(jù)題意，得S△ABC=×5×12=×5r+×12r+×13r，解得：r=2，即所求內切圓的半徑為2cm．點評：本題考查了三角形的面積，三角形的內切圓和內心，勾股定理的應用，用了方程思想．課后小測答案：一、選擇題1．（2015?繁昌縣二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，點P是△ABC的內心，則∠BPC=（）A．80B．110C．130D．140解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣40°=140°，∵點P是△ABC的內心，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×140=70°，∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180﹣70=110°．故選B．2．（2012秋?岳池縣期末）如圖，從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA、PB，切點分別是A、B，如果∠APB=60°，線段PA=10，那么弦AB的長是（）A．10B．12C．5D．10解：∵PA、PB都是⊙O的切線，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等邊三角形，∴AB=PA=10．故選A．3．（2014秋?定陶縣期中）如圖，PA、PB切⊙O于點A、B，PA=8，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D兩點，則△PCD的周長是（）A．8B．18C．16D．14解：∵PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，∴PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，∴△PCD的周長=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16．故選：C．4．（2009秋?平塘縣校級期末）如圖，直線AB、CD、BC分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，0C=8cm，則BE+CG的長等于（）A．13B．12C．11D．10解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分別與⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC==10，∴BE+CG=10（cm）．故選D．5．（2013秋?漢川市期末）如圖，⊙O是Rt△ABC的內切圓，∠C=90°，若AC=12cm，BC=9cm，則⊙O的半徑（）A．3cmB．6cmC．9cmD．15cm解：如圖：連接DO，F(xiàn)O，在Rt△ABC，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，根據(jù)勾股定理AB==15（cm），四邊形OECF中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°，∴四邊形OFCD是正方形，由切線長定理，得：AD=AE，BE=BF，CD=CF，∴CD=CF=（AC+BC﹣AB），即r=（9+12﹣15）=3（cm）．故選：A．6．（2012?杭州模擬）如圖，若正△A1B1C1內接于正△ABC的內切圓，則△A1B1C1與△ABC的面積的比值為（）A．B．C．D．解：設圓心為O，AB與圓相切于點D，連接AO，DO，∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它們的內心與外心重合；如圖：設圓的半徑為R；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；AO=OD?=R，即AB=2R；同理可求得：A1B1=R，∴==，則△A1B1C1與△ABC的面積的比值為：（）2=．故選：C．7．（2015?秦皇島校級模擬）如圖，一圓內切四邊形ABCD，且BC=10，AD=7，則四邊形的周長為（）A．32B．34C．36D．38解：由題意可得圓外切四邊形的兩組對邊和相等，所以四邊形的周長=2×（7+10）=34．故選：B．8．（2015?慈溪市一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，則它的內切圓與外接圓半徑分別為（）A．，B．2，5C．1，D．2，解：∵AB=5，AC=3，∴BC==4，∴外接圓半徑==，∵四邊形ODCE是正方形，且⊙O是△ABC的內切圓，∴內切圓半徑==1．故選C．9．（2014春?海曙區(qū)校級期中）如圖，花邊帶上正三角形的內切圓半徑為1cm．如果這條花邊帶有100個圓和100個正三角形，則這條花邊的面積為（）A．150πB．150C．300D．200解：從中選擇一個等邊三角形和其內接圓如圖，⊙O是△ABC的內切圓，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，連接AD，OB，則AD過O（因為等邊三角形的內切圓的圓心再角平分線上，也在底邊的垂直平分線上），∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵⊙O是△ABC的內切圓，∴∠OBC=∠ABC=30°，∵⊙O切BC于D，∴∠ODB=90°，∵OD=1，∴OB=2，由勾股定理得：BD==，∴BC=2，∴S△ABC=BC?AD=××3=3．∴這條花邊的面積=100S△ABC=300，故選C．二、填空題10．（2013秋?濱湖區(qū)校級期末）如圖示PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，直線EF也是⊙O的切線，Q是切點，交PA、PB于E、F點．若PA=10cm，則△PEF的周長為20cm；若∠APB=50°，則∠EOF的度數(shù)為65°．解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA=PB，∵EF也是⊙O的切線，∴EA=EQ，F(xiàn)B=FQ，∴△PEF的周長=PA+PB=10+10=20cm，∵∠APB=50°，∴∠AOB=130°，∴∠EOF=65°．故答案為：20，65°．11．（2014秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，則它的內切圓半徑是2．解：根據(jù)勾股定理得：AB==10，設三角形ABC的內切圓O的半徑是r，∵圓O是直角三角形ABC的內切圓，∴OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，∴四邊形ODCE是正方形，∴OD=OE=CD=CE=r，∴AC﹣r+BC﹣r=AB，8﹣r+6﹣r=10，∴r=2，故答案為：2．12．（2012?盤錦模擬）如圖，⊙O內切于△ABC，切點分別為D、E、F，且DE∥BC，若AB=8cm，AD=5cm，則△ADE的周長是cm．解：∵AD、AE是圓的切線，∴AD=AE，又∵DE∥BC，∴=，∴AB=AC，BD=CE．∵AB=8cm，AD=5cm，∴BD=AB﹣A