第二章濾波器內(nèi)容

第2章變換(ZT)與DTFT2.1序列的Z變換2.2離散時(shí)間傅里葉變換--DTFT2.3拉普拉斯變換，Z變換與傅里葉變換的關(guān)系2.4離散線性移不變系統(tǒng)的頻域表征時(shí)域分析方法變換域分析方法： 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

Laplace變換

Fourier變換 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

z變換

Fourier變換信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法§2.1序列的Z變換一、Z變換的定義若序列為，定義序列的Z變換為二、Z變換的收斂域

收斂域：對(duì)任意給定序列，使其Z變換收斂的所有值的集合，稱為收斂域(ROC)

。

按照級(jí)數(shù)理論，變換式中級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是滿足絕對(duì)可和的條件，即三、4種典型序列的Z變換的收斂域1．有限長(zhǎng)序列

在有限區(qū)間之內(nèi)序列具有非零的有限值，在此區(qū)間之外，序列值都是零。其變換為：要使其收斂，則要求：由于有界，故要求：

顯然，在上，都滿足這個(gè)條件，也就是說(shuō)，收斂域是除及外的開域，即“有限平面”。由、的取值不同，收斂域可進(jìn)一步擴(kuò)大（僅僅是擴(kuò)大或兩個(gè)收斂值）2．右邊序列只在時(shí)，有值，在時(shí)，。其ZT為：收斂域?yàn)橐蚬蛄校杭丛跁r(shí)，才有非零值，時(shí)其ZT中只有Z的零冪和負(fù)冪項(xiàng)，因此級(jí)數(shù)收斂域可包括所以處ZT收斂是因果序列的特征。3．左邊序列只在時(shí)，有非零值，時(shí)，。其ZT為：收斂域?yàn)椋喝绻?，則右端第二項(xiàng)不存在，收斂域應(yīng)包括，即4．雙邊序列

為任意值時(shí)，都有非零值的序列，可以看成是左邊序列與右邊序列之和。收斂域是：右邊序列與左邊序列收斂域的重疊部分。如果，則存在公共收斂域，則右邊序列收斂域?yàn)樽筮呅蛄惺諗坑驗(yàn)椤郣OC：整個(gè)Z的閉平面（）例2.1

，求其ZT及ROC解：例2.2，求其ZT及ROC。解：只有在時(shí)，即處收斂?！郣OC：

例2.3，求ZT及ROC解：其ROC為：，即。一般來(lái)說(shuō)，左邊序列的ZT的ROC一定在模值最小的有限極點(diǎn)所在圓之內(nèi)。右邊序列的Z變換的ROC一定在模值最大的有限極點(diǎn)所在圓之外。例2.4,求ZT及ROC解：如果則可得ROC：具有三個(gè)極點(diǎn)，其可能的收斂域形式為四Z反變換反變換：從給定的變換閉合式中還原出原序列。表示式為：

通常有三種方法求出IZT：圍線積分法（留數(shù)法）部分分式展開法長(zhǎng)除法要求掌握前兩種方法。1、圍線積分法（留數(shù)法）

根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論，若函數(shù)在環(huán)狀區(qū)域（）是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)可展開成羅朗級(jí)數(shù)：其中為：跳過(guò)比較羅朗級(jí)數(shù)與ZT定義式可知，就是羅朗級(jí)數(shù)的系數(shù)，所以用圍線積分表示的IZT公式為：將看成是柯西積分定理中的，即時(shí)即證明：令由柯西積分定理：證畢。根據(jù)留數(shù)定理，若函數(shù)在圍線C上連續(xù)，在C以內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)，在C以外有M個(gè)極點(diǎn)(M、K為有限值)，則有或：(2)式應(yīng)用條件：的分母多項(xiàng)式的階次比分子多項(xiàng)式Z的階次高二階或二階以上。由于，可得：留數(shù)的計(jì)算（1）是的單（一階）極點(diǎn)，則有（2）是的多重極點(diǎn)（點(diǎn)），則有注意：具體計(jì)算時(shí)，盡量避免求高階極點(diǎn)處的留數(shù)。求解中，極點(diǎn)階數(shù)與n相關(guān)，需對(duì)n進(jìn)行區(qū)間求解。例2.6已知，求IZT。解：當(dāng)時(shí)，在圍線C內(nèi)只有處的一個(gè)一階極點(diǎn)，因此：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在圍線C的外部只有一個(gè)一階極點(diǎn)且符合使用的條件：的分母階次減去分子階次結(jié)果是。而在C的內(nèi)部則有處一階極點(diǎn)及處階極點(diǎn)。例2.7已知:求IZT解：當(dāng)時(shí)，圍線C的內(nèi)部有兩個(gè)極點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，利用圍線C的外部沒有極點(diǎn)，而且分母階次比分子階次高2階或2階以上，故選C外部的極點(diǎn)求留數(shù)，其留數(shù)必為0，得到還可以這樣考慮，由于收斂域?yàn)閳A的外部，而且，即在處不是極點(diǎn)，因而序列一定是因果序列，可以判斷得到：

綜合以上，得：2、部分分式展開法在實(shí)際應(yīng)用中，一般是的有理分式，可表示成

都是變量的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，并且沒有公因式。則如果可以表示成有理分式：系數(shù)那么可展成：根據(jù)留數(shù)定理，系數(shù)可用下式求得：:可用長(zhǎng)除法求得。系數(shù)可用下式求得：當(dāng)為Z的正冪有理分式時(shí)，可以按如下方式展開。例2.8已知:求IZT將給定改寫成：將兩端同乘，得：展開：由給定ROC可知，此序列為因果序列，解：∴∴可得：綜合以上得：

本例是右邊序列，對(duì)于左邊序列或雙邊序列，部分分式法同樣適用，但要注意：哪些極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于右邊序列，哪些極點(diǎn)對(duì)應(yīng)于左邊序列。

五Z變換的基本性質(zhì)和定理1、線性滿足比例性、可加性。若那么：注意：線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)互相抵消，則ROC可能擴(kuò)大。例2.13：已知，求ZT。解：由2、序列的移位討論序列移位后其ZT與原序列ZT的關(guān)系。若有：那么：式中為任意整數(shù)，，則為延遲，則為超前序列移位后，收斂域不變。只是對(duì)單邊序列在或處可能有例外。

例如，在平面處處收斂，但，在處不收斂，而，在處不收斂。證明：按ZT定義：例2.14：已知，求ZT解：已知：又：∴3、乘以指數(shù)序列（Z域尺度變換）序列乘以指數(shù)序列，是常數(shù)若那么：尺度變換對(duì)零極點(diǎn)的位置有影響。4、序列的線性加權(quán)（Z域求導(dǎo)數(shù)）若那么：其中：5、共軛序列一個(gè)復(fù)序列的共軛序列為，若則：6、翻褶序列若則：7、初值定理對(duì)于因果序列，即：，則有：8、終值定理

設(shè)為因果序列，的極點(diǎn)處于單位圓以內(nèi)（單位圓最多在處可有一階極點(diǎn)）則有：9、有限項(xiàng)累加特性是因果序列，若則：10、序列的卷積和（時(shí)域卷積和定理）設(shè)為與的卷積和則有：

時(shí)域?yàn)榫矸e和，則域?yàn)橄喑?，ROC為重疊部分。如果ROC邊界上一個(gè)ZT的零點(diǎn)與另一個(gè)ZT的極點(diǎn)相互抵消，則ROC可能擴(kuò)大。證：例2.17：設(shè)，求：解：已知：∴

11、序列相乘（z域復(fù)卷積定理）且若則：，[即]

其中c是變量平面上，與的公共ROC內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單封閉圍線，滿足將此兩式相乘，得12、帕塞瓦定理（ParsevalTheorem）利用復(fù)卷積定理可得到重要的帕塞瓦定理。且若則：圍線C應(yīng)在和的公共ROC內(nèi)，即

一個(gè)線性移不變系統(tǒng)可用常系數(shù)線性差分方程來(lái)描述。其一般形式：如果系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，且輸入為因果序列，則可直接對(duì)上式取單邊ZT，得：六利用Z變換求解差分方程例：若離散時(shí)間系統(tǒng)可用如下一階差分方程表示：設(shè)輸入為初始條件為求系統(tǒng)輸出?！?.2離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）正變換逆變換DTFT是分析信號(hào)的頻譜，研究離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域特性以及信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后的頻譜特性的主要分析工具。序列絕對(duì)可和，是DTFT存在且連續(xù)的充分條件。DTFT的存在條件（1）一致收斂（2）均方收斂當(dāng)滿足時(shí)，序列的能量有限，也是DTFT存在的充分條件。（3）對(duì)于某些特殊的序列，比如周期序列，階躍序列，引入沖激函數(shù)后可得到它們的傅里葉變換。例題：求矩形序列的N點(diǎn)DTFT。解：DTFT的性質(zhì)DTFT的一些對(duì)稱性質(zhì)1、對(duì)稱與反對(duì)稱：（1）共軛對(duì)稱序列：滿足的序列。當(dāng)是實(shí)序列時(shí)，則(偶對(duì)稱序列)。即滿足實(shí)部偶對(duì)稱，虛部奇對(duì)稱。（2）共軛反對(duì)稱序列：滿足的序列。當(dāng)是實(shí)序列時(shí)，則(奇對(duì)稱序列)。即滿足實(shí)部奇對(duì)稱，虛部偶對(duì)稱。證明：取、為以下兩式即可：從以上兩式看出，、滿足其定義。根據(jù)以上兩個(gè)定義，任意序列總能表示為：

同樣：一個(gè)序列的FT也可以分解成共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量之和。其中：FT函數(shù)為實(shí)函數(shù)時(shí)：⑴滿足共軛對(duì)稱，則稱為頻率的偶函數(shù)。即⑵滿足共軛反對(duì)稱，則稱為頻率的奇函數(shù)。即2、FT的對(duì)稱性質(zhì)由以上性質(zhì)，可用一個(gè)FFT運(yùn)算完成兩個(gè)實(shí)序列的FFT運(yùn)算。(1)(2)(3)(4)將表示成極坐標(biāo)形式：對(duì)實(shí)序列：(5)如果是實(shí)序列，則其FT滿足共軛對(duì)稱性。即由此得出：即實(shí)序列的FT的實(shí)部是的偶函數(shù)，而虛部是的奇函數(shù)。任意實(shí)序列總可以分解為偶對(duì)稱分量和奇對(duì)稱分量的和。對(duì)于因果序列=對(duì)于因果序列=根據(jù)以上結(jié)論，如果x(n)為實(shí)因果序列，則可根據(jù)求得x(n)；也可以根據(jù)求得x(n)，n>0的部分?！?.3序列的ZT與連續(xù)信號(hào)的LT、FT的關(guān)系一、ZT與LT的關(guān)系序列的ZT與理想抽樣信號(hào)的LT的關(guān)系。

設(shè)連續(xù)信號(hào)為，理想抽樣后的抽樣信號(hào)為，則其LT為：將代入上式得抽樣序列的ZT為：抽樣序列的ZT就等于其理想抽樣信號(hào)的LT，寫出如下形式：這兩種變換的關(guān)系：由的映射，映射關(guān)系為：討論映射關(guān)系:將S平面用直角坐標(biāo)表示：Z平面用極坐標(biāo)表示：

1．與的關(guān)系：⑴（平面的虛軸）對(duì)應(yīng)于（平面單位圓）⑵（的左半平面）對(duì)應(yīng)于（平面單位圓內(nèi)部）⑶（的右半平面）對(duì)應(yīng)于（平面單位圓外部）

2．與的關(guān)系：⑴(平面實(shí)軸)對(duì)應(yīng)于（平面的正實(shí)軸）⑵(常數(shù))(平面平行于實(shí)軸的直線）對(duì)應(yīng)于(平面始于原點(diǎn)輻角為的輻射線)

通過(guò)平行于實(shí)軸的直線，對(duì)應(yīng)于平面的負(fù)實(shí)軸,抽樣角頻率為，因此每增加一個(gè)抽樣角頻率，則相應(yīng)地增加一個(gè)，也就是說(shuō)，是的周期函數(shù)。因此平面到平面是多值映射。

在連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣中，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)理想抽樣后，其頻譜產(chǎn)生周期延拓。即：Go6.5同樣地，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)理想抽樣后，信號(hào)的LT在平面上沿虛軸周期延拓，也就是說(shuō)在平面虛軸上是周期函數(shù)。將這個(gè)式子代入則得到與的關(guān)系二、ZT與FT的關(guān)系

我們知道，F(xiàn)T是LT在虛軸上的特例，即，因而映射到平面上為單位圓，代入得：抽樣序列在單位圓上的ZT，就等于其理想抽樣信號(hào)的FT。由：得：

我們已經(jīng)知道：頻譜是頻譜的周期延拓，那么表現(xiàn)在平面的單位圓上就是：是的周期函數(shù)，即它在單位圓上循環(huán)出現(xiàn)。

在今后的討論中，我們用數(shù)字頻率來(lái)作為平面上單位圓的參數(shù)，即

與（模擬角頻率）的關(guān)系：從上式看出：相對(duì)頻率是模擬角頻率對(duì)抽樣頻率的歸一化值。

這說(shuō)明：?jiǎn)挝粓A上的ZT是與信號(hào)的頻譜相聯(lián)系的，因此我們稱單位圓上序列的ZT為序列的FT。將上式代入得§2.4離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

一個(gè)線性移不變系統(tǒng)在時(shí)域可用單位抽樣響應(yīng)表示，那么對(duì)于任意的輸入，當(dāng)取ZT，得∴線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，是單位抽樣響應(yīng)的Z變換。即

這樣，在單位圓上()的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，即FT。一、因果穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：而Z變換的ROC滿足

要使一個(gè)系統(tǒng)的存在且連續(xù)，那么系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包括單位圓，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)函數(shù)的收斂域應(yīng)包括單位圓。因果系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為因果序列，其ROC形式為對(duì)于因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。二、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系

一個(gè)線性移不變系統(tǒng)可用常系數(shù)線性差分方程來(lái)描述。其一般形式：如果系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，可直接對(duì)上式取ZT，得：由此看出：系統(tǒng)函數(shù)取決于差分方程的系數(shù)。將系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式分解：(：系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，：系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn))注意：我們并沒有給出的的ROC,也就是說(shuō)可以代表不同的系統(tǒng)。對(duì)于因果穩(wěn)定系統(tǒng)，其ROC為

通常我們?cè)谄矫嫔嫌昧銟O點(diǎn)描述系統(tǒng)函數(shù)，因此一般要畫出單位圓，以便看出零極點(diǎn)在單位內(nèi)部還是外部。三、系統(tǒng)頻率響應(yīng)的意義

如果輸入為復(fù)指數(shù)或正弦信號(hào)，那么它的響應(yīng)稱為系統(tǒng)頻率響應(yīng)。下面研究系統(tǒng)的頻域表示法。設(shè)輸入序列是頻率的復(fù)指數(shù)序列，即那么輸出（卷積和）：可表示成：下面證明一個(gè)重要結(jié)論。

當(dāng)系統(tǒng)輸入為正弦序列時(shí)，則輸出為同頻的正弦序列，其幅度受頻率響應(yīng)幅度加權(quán)，而輸出相位則為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和。證明：設(shè)輸入為由得的響應(yīng)：同理可得：的響應(yīng)∴

由于是實(shí)序列，故滿足共軛對(duì)稱條件，即那么:所以：寫成極坐標(biāo)的形式

由此看出為的周期函數(shù)，周期為。雖然是離散序列，但是

的連續(xù)函數(shù)。而且有，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)正是系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的值。即

通過(guò)系統(tǒng)頻率響應(yīng)這個(gè)概念，對(duì)于LSI系統(tǒng)，可以建立任意輸入情況下，輸入與輸出兩者的傅里葉變換的關(guān)系，由卷積和與FT的性質(zhì)可得：即：

由上式可知：對(duì)于LSI系統(tǒng)，輸出序列的FT等于輸入序列的FT與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的乘