第六章非線性規(guī)劃最優(yōu)潮流

第六章

非線性規(guī)劃最優(yōu)潮流第一節(jié)、最優(yōu)潮流的懲罰----海森矩陣法6.1.1模型的數(shù)學(xué)描述上一章所得的結(jié)果只是有功經(jīng)濟(jì)分配，有功無(wú)功綜合化模型如下：若以最小有功網(wǎng)損為目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)改為各節(jié)點(diǎn)注入有功之和，即上述模型，不管以最小發(fā)電費(fèi)用為目標(biāo)也好，還是以最小有功網(wǎng)損為目標(biāo)，均可抽象成數(shù)學(xué)形式：需指出三點(diǎn)：（1）這種模型主要反映有功的最優(yōu)分配。（2）模型以費(fèi)用最小和以有功網(wǎng)損最小時(shí)所得到的有功分配是不相同的，只有在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、符合分布分布和各發(fā)電機(jī)的費(fèi)用特性配合適當(dāng)時(shí)，即使費(fèi)用最小的也是網(wǎng)損最小的。（3）經(jīng)過(guò)兩次優(yōu)化，在滿足最小費(fèi)用的前提下實(shí)現(xiàn)網(wǎng)損最小。6.1.2模型的求解方法上述模型的基本思路是：有懲罰函數(shù)法把模型變?yōu)闊o(wú)約束優(yōu)化序列，用海森矩陣法求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。1.用懲罰函數(shù)法構(gòu)造無(wú)約束優(yōu)化序列將6.7及6.6代入6.1至6.5中模型可寫(xiě)成6.13至6.21式。以費(fèi)用最小為目標(biāo)時(shí)，以網(wǎng)損最小為目標(biāo)時(shí)F為6.9式所示。構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)：懲罰函數(shù)的基本迭代格式如下：（1）給定一組初值，對(duì)增廣函數(shù)進(jìn)行無(wú)約束最優(yōu)化，在此過(guò)程中，凡是沒(méi)有違反的不等式約束都剔除。（2）對(duì)違反不等式約束和趨于零不夠快的等式約束，每次無(wú)約束優(yōu)化后應(yīng)增加其相應(yīng)的懲罰因子值。（3）增大后構(gòu)成新的增廣目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行又一輪無(wú)約束優(yōu)化。2.海森矩陣法解無(wú)約束優(yōu)化對(duì)于增廣目標(biāo)函數(shù)求極小，其基本的迭代格式如下：（1）給定狀態(tài)變量初值E。（2）如意算出E(k),但E(k)不是誤差范圍內(nèi)的極小值，選擇一個(gè)搜索方向S(k),使沿S(k)方向C(E)是下降的。（3）由E(k)出發(fā)，沿S(k)方向前進(jìn)一步。（4）檢驗(yàn)E(k+1)是否滿足或者求解步驟如下：（1）給一組懲罰因子值，由普通潮流求狀態(tài)變量E(0)。（2）求C(E(k))及H(k)和g(k)。（3）按6.29式求搜索方向S(k)

（4）按二次插值公式求得α(k),使C(E(k)+α(k)S(k))在S(k)上取極小值。（5）由6.25式求新的狀態(tài)變，量并計(jì)算C(E(k+1))，滿足2.6或2.7式，轉(zhuǎn)到(7)，否則轉(zhuǎn)到(6)。（6）計(jì)算E(k+1)處的g(k+1)及H(k+1)，轉(zhuǎn)回(3)。（7）檢查所有約束是否違反，不違反則計(jì)算結(jié)束，否則將懲罰因子增大一倍，返回(2)。6.1.3增廣目標(biāo)函數(shù)梯度及海森矩陣的計(jì)算公式1.梯度公式2.海森矩陣公式6.1.4關(guān)于線路安全約束的討論以上討論的模型沒(méi)有引入線路安全性約束，下面加以補(bǔ)充說(shuō)明。線路有功限制可以表示為：在6.24中加入新的懲罰項(xiàng)，新增廣目標(biāo)函數(shù)為：其梯度及海森矩陣公式增加相應(yīng)的部分如下：6.1.5實(shí)施中的幾點(diǎn)說(shuō)明1.狀態(tài)變量的給定為減少迭代次數(shù)，以普通潮流的計(jì)算結(jié)果作為初值。2.一維搜索初試步長(zhǎng)的選取令α<1，則選α，否則選1.3.收斂判據(jù)（1）每次優(yōu)化中，增廣目標(biāo)函數(shù)在一定范圍內(nèi)不再下降。（2）所有約束在一定范圍內(nèi)不被違反。4.懲罰因子的選擇總的原則：使全部懲罰項(xiàng)的值與原目標(biāo)函數(shù)的值數(shù)量級(jí)上相當(dāng)。5.海森矩陣若狀態(tài)變量修正值很小，兩次迭代用相同的海森矩陣。第二節(jié)、最優(yōu)潮流的修正廣義簡(jiǎn)化梯度法6.2.1引言廣義化梯度法的缺點(diǎn)：（1）只具有線性收斂速度。（2）隨懲罰因子值的增加，采用最速下降法，收斂性不能保證。（3）通過(guò)牛頓法潮流求相關(guān)變量時(shí)維數(shù)較高。本節(jié)所講述的修正廣義簡(jiǎn)化梯度法有以下幾點(diǎn)：（1）引入一個(gè)近似的簡(jiǎn)化海森矩陣的逆對(duì)負(fù)廣義簡(jiǎn)化梯度進(jìn)行修正。（2）選用發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)電壓實(shí)部及虛步作為獨(dú)立變量，減少牛頓法潮流中自變量的維數(shù)。（3）采用試探和三次插值相結(jié)合的辦法進(jìn)行一維搜索，使總的計(jì)算量減少。6.2.2廣義簡(jiǎn)化梯度法最優(yōu)潮流的基本模式1.廣義簡(jiǎn)化梯度法根據(jù)Kuhn-Tucker定理可知：γ稱為簡(jiǎn)化梯度，它的分量為：

廣義簡(jiǎn)化梯度法是這樣進(jìn)行的，從E(0)出發(fā)，以迭代方式移動(dòng)到E(1)、E(2)…等等，直到滿足6.86為止，若第k次迭代還不滿足6.86，則按下式修正獨(dú)立變量，2.最優(yōu)潮流模型用節(jié)點(diǎn)電壓實(shí)部和虛部作為狀態(tài)變量的最優(yōu)潮流問(wèn)題可以表示為：將潮流方程中節(jié)點(diǎn)注入有功的直角坐標(biāo)表達(dá)式代入6.90，可得目標(biāo)函數(shù)的各階偏導(dǎo)數(shù)。廣義簡(jiǎn)化梯度求解最有潮流的步驟：（1）給定發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)電壓初值z(mì)(0)；（2）第k次迭代中得到z(0)，按6.89所示的迭代格式，用牛頓法潮流求出相應(yīng)的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓y(k);（3）按6.100及6.101求，并按6.106及6.109建立矩陣，并求其轉(zhuǎn)置，根據(jù)6.85求得矢量λ。（4）按6.102及6.103求，并按6.106及6.109建立矩陣，并求其轉(zhuǎn)置，根據(jù)6.84求得廣義簡(jiǎn)化梯度γ。（5）以負(fù)廣義簡(jiǎn)化梯度為搜索方向，在搜索方向上修正發(fā)電節(jié)點(diǎn)電壓矢量。（6）如滿足，所得到的即為最有潮流解，否則返回（2）。6.2.3不等式約束的處理及幾點(diǎn)說(shuō)明1.不等式約束的處理上述模型沒(méi)考慮6.93至6.98所給的約束，這些約束分為兩種情況處理。（1）發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)電壓幅值的約束由6.88的要求，約束可以采取以下原則：在一維搜索方向上前進(jìn)一步后，是電壓幅值越界的部分按前進(jìn)一步后的幅角停留在這個(gè)幅值的界上其他分量則前進(jìn)一步。把獨(dú)立變量分為兩個(gè)子矢量。（2）發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)有功、無(wú)功約束及負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓幅值約束這類是狀態(tài)變量的函數(shù)不等式約束，用懲罰法加以處理。2.幾點(diǎn)說(shuō)明（1）迭代步驟為如下第一步：給定一組懲罰因子。第二步：按6.2.2給出的步驟進(jìn)行優(yōu)化，其中（6.110）改為（6.113）至（6.114），目標(biāo)函數(shù)由F改為F+FP。第三步：如全部不等式約束滿足，整個(gè)計(jì)算結(jié)束，否則，懲罰因子增加一倍，返回第二步。（2）模型中不中存在對(duì)相關(guān)變量本身的不等式約束。（3）用這種方法處理N-1線路安全約束時(shí)將造成很大的計(jì)算量。6.2.4一維搜索方向的修正和一維搜索步長(zhǎng)的選取1.一維搜索方向修正對(duì)搜索方向加以改進(jìn)，把6.111改為H矩陣按下列迭代公式計(jì)算：2.一維搜索步長(zhǎng)的選取本節(jié)模型建議使用三次插值，但有越界情況時(shí)，三次插值不適用。所以采取以下辦法：（1）每次迭代中將搜索方向矢量規(guī)格化，并選一個(gè)初始步長(zhǎng)。（2）按初始步長(zhǎng)走一步后，檢查增廣目標(biāo)函數(shù)，如下降，不再插值，若上升且不越界，進(jìn)行三次插值，若越界，步長(zhǎng)減半。6.2.5兩種模型及算法的簡(jiǎn)單算例下面給出懲罰-海森矩陣法和修正廣義簡(jiǎn)化梯度法計(jì)算一個(gè)5節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)最優(yōu)潮流的例子，比較一下修正廣義簡(jiǎn)化梯度法與一般廣義簡(jiǎn)化梯度法的收斂性。第三節(jié)、N-1安全性最優(yōu)潮流的簡(jiǎn)化微分模型6.3.1模型的基本思路及框圖1.N-1安全性最優(yōu)潮流的描述計(jì)算下列變量：（1）發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)注入有（無(wú)）功（2）發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)電壓（3）可調(diào)變壓器的變比（4）其他狀態(tài)變量使運(yùn)行費(fèi)用最小，并滿足下列約束：（1）等式約束（2）可行性不等式約束（3）安全性不等式約束2.模型基本思路基本思路是建立一個(gè)簡(jiǎn)化問(wèn)題代替越問(wèn)題，步驟如下：（1）在初始點(diǎn)檢查所示的全部不等式約束（2）選出起作用的約束和靠近限制值的約束（3）用控制變量將選出的這些約束表出，建立簡(jiǎn)化問(wèn)題。（4）對(duì)簡(jiǎn)化問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化得到控制變量新值，通過(guò)解潮流算出狀態(tài)變量。（5）滿足全部約束且兩次迭代的簡(jiǎn)化問(wèn)題沒(méi)有顯著變化，則得到安全最優(yōu)解；否則加入新的約束重復(fù)上述過(guò)程。3.模型的框圖及說(shuō)明6.3.2不等式的安全約束安全分析不等式約束分為正常情況下的可行性約束和斷線情況下的N-1安全性約束?？尚行约s束的檢查及選擇很容易，下面主要講述N-1安全性約束的分析檢查。1.基于直流潮流的傳遞系數(shù)法安全分析用基于直流潮流的傳遞系數(shù)法進(jìn)行粗略預(yù)算，適當(dāng)擴(kuò)大準(zhǔn)起作用約束的范圍，這樣可以將絕大多數(shù)不起作用的約束清除。2.基于靈敏度矩陣的安全分析最準(zhǔn)確的安全分析是用牛頓法潮流或解耦潮流直接計(jì)算，為減少計(jì)算量，可以采取近似的靈敏度矩陣分析。6.3.3簡(jiǎn)化問(wèn)題的建立與求解1.簡(jiǎn)化問(wèn)題的形式簡(jiǎn)化問(wèn)題的表述為：2.簡(jiǎn)化問(wèn)題中個(gè)系數(shù)的計(jì)算用靈敏度分析方法推到、的計(jì)算公式。6.3.4幾點(diǎn)說(shuō)明（1）忽略二次項(xiàng)，可進(jìn)一步減少計(jì)算量。（2）當(dāng)把發(fā)電機(jī)電壓作為固定值時(shí)，模型就基本可以看作是純有功優(yōu)化。

（3）模型的靈活性還在于，它可以根據(jù)需要計(jì)及可行性和N-1安全性不等式約束。（4）把原問(wèn)題變成等價(jià)的簡(jiǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題的規(guī)模變得很小。第四節(jié)、有功優(yōu)化的二次規(guī)劃模型6.4.1引言本節(jié)介紹一個(gè)有功優(yōu)化的二次規(guī)劃最有潮流模型，它與有以下特點(diǎn)：（1）將網(wǎng)損的費(fèi)用直接引入目標(biāo)函數(shù)。（2）采取必要的近似，以減少計(jì)算量。（3）模型只需一次計(jì)算。6.4.2模型的建立1.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)包括兩部分：發(fā)電機(jī)有功的費(fèi)用和有功網(wǎng)損的費(fèi)用。發(fā)電機(jī)有功的費(fèi)用采取二次特性，即若單位網(wǎng)損的費(fèi)用為β，則目標(biāo)函數(shù)為：2.約束式（1）自變量是發(fā)電機(jī)有功及各節(jié)點(diǎn)電壓角度，發(fā)電機(jī)有功的限值為：（2）線路上的有功限制值約束用直流潮流的關(guān)系寫(xiě)為：（3）節(jié)點(diǎn)有功平衡也采用直流潮流的關(guān)系式除上述約束外，凡是能用發(fā)電機(jī)有功及節(jié)點(diǎn)電壓角度線性表出的其他約束均可以引入。6.4.3模型的求解方法將目