第二章、模糊控制理論基礎(chǔ)

第一節(jié)：引言第二節(jié)模糊集合論基礎(chǔ)第三節(jié)模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成第二章、模糊控制理論基礎(chǔ)第一節(jié)：引言模糊概念當(dāng)逛進(jìn)大商場(chǎng)或者家用電器商店時(shí)，你會(huì)無意中發(fā)現(xiàn)已有不少家用電器上，比如洗衣機(jī)、電飯鍋、照相機(jī)、攝象機(jī)，打上了“FUZZYCONTROL”的標(biāo)簽，并且這類產(chǎn)品的品種還在增多。報(bào)紙和雜志上也會(huì)不時(shí)地出現(xiàn)這些字樣或者模糊控制這個(gè)術(shù)語。人們?cè)诓恢挥X中已開始接受這個(gè)新事物。向一般人普及FUZZY的課堂不是在學(xué)校，而是在商場(chǎng)由模糊控制的家用電器在向大家講解?！癋UZZY”這個(gè)詞在英語里的解釋是“毛絨絨的，似絨毛的，失真的，模糊的”。在這里通常把它翻譯成“模糊”。天氣冷熱雨的大小風(fēng)的強(qiáng)弱人的胖瘦年齡大小個(gè)子高低2、模糊邏輯控制的發(fā)展模糊邏輯控制(FuzzyLogicControl)簡(jiǎn)稱模糊控制(FuzzyControl)，是以模糊集合論、模糊語言變量和模糊邏輯推理為基礎(chǔ)的一種計(jì)算機(jī)數(shù)字控制技術(shù)。1965年，美國的L.A.Zadeh創(chuàng)立了模糊集合論；1973年他給出了模糊邏輯控制的定義和相關(guān)的定理。1974年，英國的E.H.Mamdani首先用模糊控制語句組成模糊控制器，并把它應(yīng)用于鍋爐和蒸汽機(jī)的控制，在實(shí)驗(yàn)室獲得成功。這一開拓性的工作標(biāo)志著模糊控制論的誕生1984年年底，“國際模糊系統(tǒng)學(xué)會(huì)（IFSA---InternationalFuzzySystems）”正式成立。1993年國際著名學(xué)術(shù)刊物《IEEETrans.OnFuzzySystems》正式出版發(fā)行。在過去20年中，模糊控制也是智能控制的一個(gè)十分活躍的研究與應(yīng)用領(lǐng)域。模糊控制的價(jià)值可從兩個(gè)方面來考慮。一方面，模糊控制提出一種新的機(jī)制用于實(shí)現(xiàn)基于知識(shí)（規(guī)則）甚至語義描述的控制規(guī)律。另一方面，模糊控制為非線性控制器提出一個(gè)比較容易的設(shè)計(jì)方法，尤其是當(dāng)受控裝置（對(duì)象或過程）含有不確定性而且很難用常規(guī)非線性控制理論處理時(shí)，更是有效。3、模糊控制現(xiàn)狀我國研究模糊理論的科技工作者在世界上最多，并在理論上取得了令世人矚目的成就，但絕大多數(shù)是數(shù)學(xué)工作者，這與美、日是以工程技術(shù)人員為主有顯著不同。盡管我國每年在這方面發(fā)表的論文數(shù)是最多的，但工程應(yīng)用和技術(shù)水平卻與此不相稱。希望能有更多的工程技術(shù)人員加入到模糊邏輯控制的研究中來，推動(dòng)國內(nèi)這方面的工程應(yīng)用。4、研究內(nèi)容自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)模糊控制理論的研究；模糊推理策略的研究；模糊辨識(shí)模型的研究；模糊控制系統(tǒng)穩(wěn)定性研究；模糊控制器的硬件實(shí)現(xiàn)；模糊控制器的構(gòu)造;模糊信息與精確信息轉(zhuǎn)換的物理結(jié)構(gòu)和方法;模糊控制器對(duì)外界環(huán)境的適應(yīng)性及適應(yīng)技術(shù);實(shí)現(xiàn)模糊控制系統(tǒng)的軟技術(shù);模糊控制器和被控對(duì)象匹配技術(shù).5、模糊控制技術(shù)需要解決的具體問題有：6、模糊控制理論還存在需要解決的系統(tǒng)方法有：1）

人的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的表達(dá)；2）

知識(shí)推理的法則；3）

人的知識(shí)的獲取和總結(jié)；4）

模糊控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)；5）

模糊控制系統(tǒng)的學(xué)習(xí)；6）

模糊控制系統(tǒng)的分析；7）

模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法。第二節(jié)模糊集合論基礎(chǔ)一、模糊集的概念模糊控制以模糊集合論為它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。那么，什么是模糊集合，它是怎樣描述和定義的，又有哪些運(yùn)算，這些問題是學(xué)習(xí)與掌握模糊控制技術(shù)的基礎(chǔ)。在討論模糊集合論以前先來簡(jiǎn)單看一下經(jīng)典集合論。所謂集合是指具有某種特定屬性的對(duì)象的全體。集合中的個(gè)體通常用小寫英文字母如u表示，集合的全體又稱為論域通常用大寫英文字母如U表示，表示元素（個(gè)體）u在集合論域（全體）U內(nèi)。一個(gè)集合U如果是由有限個(gè)元素組成，則稱為有限集合。有限集合U所含的不同元素的數(shù)目稱為該集合U的基數(shù)，記為|U|或#U。不同有限集合的集合稱為無限集合。集合既可以是連續(xù)的也可以是離散的。

集合至少有5種以上表示方法（1）列舉法將集合的元素全部列出的方法。。例如計(jì)系04級(jí)應(yīng)用專業(yè)碩士生、計(jì)系04級(jí)軟件專業(yè)碩士生、計(jì)系04級(jí)體系結(jié)構(gòu)專業(yè)碩士就生就構(gòu)成了計(jì)系04級(jí)碩士生這樣一個(gè)集合，可以表示為：計(jì)系04級(jí)碩士生＝｛計(jì)系04級(jí)應(yīng)用專業(yè)碩士生、計(jì)系04級(jí)軟件專業(yè)碩士生、計(jì)系04級(jí)體系結(jié)構(gòu)專業(yè)碩士生｝。（2）定義法適用于有很多元素而不能一一列舉的集合，這是用集合中的共性來描述集合的方法。例如U={u∣u為自然數(shù)且u＜5｝表示小于5的自然數(shù)集合。（3）歸納法：通過一個(gè)遞推公式來描述一個(gè)集合。給出集合中的一個(gè)元素和一個(gè)規(guī)則，集合中的其它元素可以借助這個(gè)規(guī)則來找到。如:U={u(k+1)=u(k)+1,k=1,2,u(1)=9}。（4）特征函數(shù)表示法它是利用經(jīng)典集合論非此即彼的明晰性來表示集合的，因?yàn)槟骋患现械脑匾磳儆谶@個(gè)集合，要么就不屬于這個(gè)集合。如小于10的數(shù)構(gòu)成的偶數(shù)集合可表示成：若小于10的數(shù)u屬于偶數(shù)的集合U，集合U就可以通過特征函數(shù)Tu(u)來表示，即：（5）通過某些集合的運(yùn)算來表示的集合如兩個(gè)集合的交運(yùn)算形成一個(gè)新的集合。從上分析可知，經(jīng)典集合論中任意一個(gè)元素與任意一個(gè)集合之間的關(guān)系，只是“屬于”或“不屬于”兩種，兩者必居其一而且只居其一。它描述的是明確分界線的元素的組合。然而，對(duì)于諸如“速度的快慢”、“年齡的大小”、“溫度的高低”等模糊概念沒有明確的界限。因此，模糊概念無法用經(jīng)典集合論來描述。那么，怎樣描述一個(gè)模糊概念呢？模糊集就是提供一種處理此類現(xiàn)象的一個(gè)框架。模糊集合則把它擴(kuò)展成可用稱作“隸屬度（DegreeofMembership）”的從0到1之間連續(xù)的變化值來描述元素的屬于程度，這就是說，有些東西可以同時(shí)是部分真和部分假。

以人對(duì)室溫（0℃～40℃）的感覺為例，來看看如何用模糊集合表示人對(duì)各種事物和現(xiàn)象形成的概念。在一般情況下，大部分人把從15℃～25℃的室溫稱作“舒適”的溫度，而把15℃以下的溫度稱為“冷”，25℃以上稱為“熱”。如用經(jīng)典集合論來定義，則把小于15℃的溫度哪怕是14.9℃也只能屬于“冷”（見圖2-2a），顯然這與人的感覺是不一致的。因此需尋求另外一種數(shù)學(xué)的表示方式，這就是模糊集合論所要解決的問題。舒適溫度1.0圖2-2a若用模糊集合論來定義如上這種情況，就是用具有0～1之間變化的隸屬度的特征函數(shù)來描述某一模糊元素，模糊集合中的特征函數(shù)就稱作隸屬函數(shù)（見圖2-2b）。在模糊邏輯中，小的溫度變化只能會(huì)引起系統(tǒng)性能的逐漸變化。這樣14.9℃和15℃屬于同一集合的程度是很接近的。那么模糊集合是如何定義的呢？模糊集合的定義實(shí)際上是將經(jīng)典集合論中的特征函數(shù)表示擴(kuò)展到用隸屬函數(shù)來表示。1.0圖2-2b模糊集合的定義實(shí)際上就是將經(jīng)典集合的特征函數(shù)表示擴(kuò)展到利用隸屬度函數(shù)來表示。

設(shè)U為一可能是離散或連續(xù)的集合，用{u}表示，U被稱為論域（UniverseofDiscourse）,u表示論域U的元素，模糊集合是用隸屬函數(shù)來表示的。所謂論域U指的是我們所討論問題的任意一個(gè)子集、任意一個(gè)元素都隸屬于這一集合U，又稱為全集。定義2-1模糊集合：論域U中的模糊集F用一個(gè)在區(qū)間[0，1]上的取值的隸屬函數(shù)來表示。即：u完全屬于F；

u完全不屬于F；u部分屬于F；用來說明u隸屬于U的程度，模糊集看成了普通集的推廣。

模糊集F可以用元素u和隸屬度函數(shù)表示，

若U為連續(xù)域，則可寫成：

例2-2：設(shè)F表示遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0的實(shí)數(shù)集合，隸屬度函數(shù)：

可以算出：x=5,隸屬度為0.2;

x=10,隸屬度為0.5;

x=20,隸屬度為0.8;若U為離散域，即論域U是有限集合時(shí)，模糊集合可以有以下三種表示法。（1）查德表示法（2）序偶表示法（3）向量表示法（1）查德表示法例2-3考慮論域U={0，1，2,…,10}和模糊集F“接近于0的整數(shù)”，隸屬度函數(shù)表示為：F=1.0/0+0.9/1+0.75/2+0.5/3+0.2/4+0.1/5（2）序偶表示法F={（u1,u(u1)）,（u2,u(u2)）,…,（un,u(un)）}對(duì)于上例可以寫成：F={(0,1),(1,0.9),(2,0.75),(3,0.5),(4,0.2),(5,0.1)}（3）向量表示法F={u(u1),u(u2),…,u(un)}對(duì)于上例可以寫成：F={1,0.9,0.75,0.5,0.2,0.1}。二、模糊集合的運(yùn)算對(duì)于模糊集合，元素與集合之間不存在屬于或不屬于的明確關(guān)系，但是集合與集合之間還是存在相等、包含以及經(jīng)典集合論一樣的一些集合運(yùn)算如并、交、補(bǔ)等。下面分別引入這些定義。定義2－2論域U中模糊子集的全體，稱為U中的模糊冪集，記作F（U），即對(duì)于任一,若，則稱為空集；若則A＝U稱為全集。

定義2－3設(shè)A、B是論域U的模糊集，即A、BF（U）若對(duì)任一都有B(u)A(u),則稱B包含于A，或稱B是A的一個(gè)子集記作。若對(duì)任一都有B(u)=A(u),則稱B等于A，記做B=A。

模糊集合的運(yùn)算與經(jīng)典集合的運(yùn)算相類似，只是利用集合中的特征函數(shù)或隸屬度函數(shù)來定義類似的操作。設(shè)A、B為U中兩個(gè)模糊子集，隸屬函數(shù)分別為和，則模糊集合中的并、交、補(bǔ)等運(yùn)算可以這樣定義。

定義2－4并：并（）隸屬函數(shù)分別為對(duì)所有被逐點(diǎn)定義為取大運(yùn)算，即

式中，符號(hào)為取極大值運(yùn)算。

定義2－5交：交的隸屬函數(shù)對(duì)所有被逐點(diǎn)定義為小運(yùn)算，即

式中，符號(hào)為取極小值運(yùn)算。

定義2－6補(bǔ)：模糊集合A的補(bǔ)隸屬函數(shù)對(duì)所有

被逐點(diǎn)定義為

例題請(qǐng)看P16。定理2－1模糊集運(yùn)算的基本定律：設(shè)U為論域，A，B，C為U中的任意模糊子集,則下列等式成立：

（1）冪等律

（2）結(jié)合律

（3）交換律

（4）分配律

（5）同一律

（6）零一律

（7）吸收律

（8）德?摩根律

（9）雙重否認(rèn)律模糊集與經(jīng)典集的集合運(yùn)算的基本性質(zhì)完全相同，只是模糊集運(yùn)算不滿足互補(bǔ)律，即

上面定義的模糊集合運(yùn)算是采用Zadeh算子來進(jìn)行的。

Zadeh算子的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，除不滿足互補(bǔ)律外與經(jīng)典集合的運(yùn)算性質(zhì)十分相似。人們根據(jù)具體情況又定義多種不同的算子，并以這些算子定義模糊集合的運(yùn)算。下面引入兩個(gè)新的算子－－概率算子和有界算子。

定義2－7稱為概率算子，對(duì)有

由定義可知，如

定義2－8設(shè)，則

（1）A與B的代數(shù)積記作A?B，運(yùn)算規(guī)則由下式確定

（2）A與B的代數(shù)和記作A+B,運(yùn)算規(guī)則由下式確定

模糊集的代數(shù)運(yùn)算仍然滿足結(jié)合律、交換律、德?摩根律、同一律和零一律。但不滿足冪等律、分配律和吸收律。當(dāng)然也不滿足互補(bǔ)律。

定義2－9稱為有界算子，對(duì)，有

容易證明，定義2－10設(shè)，則

（1）A與B的有界積記作，運(yùn)算規(guī)則由下式確定

(2)A與B的有界和記作，運(yùn)算規(guī)則由下式確定

（2－25）

模糊集的有界運(yùn)算也滿足結(jié)合律、交換律、德摩?根律、同一律和零一律，而且滿足互補(bǔ)律，但不滿足冪等律、分配律和吸收律。三、隸屬度函數(shù)的建立

模糊集合是用隸屬函數(shù)描述的。隸屬度函數(shù)在模糊集合論中占有極其重要的地位。模糊集合中特征函數(shù)也就是隸屬度函數(shù)的取值范圍在[0,1]區(qū)間。

如果確定隸屬度函為一個(gè)關(guān)鍵問題。鑒于模糊集理論研究對(duì)象的特殊性，沒有一個(gè)統(tǒng)一的隸屬度計(jì)算方法。但隸屬度函數(shù)實(shí)質(zhì)上反映的是事物的漸變性，因此，它仍然應(yīng)遵守一些基本原則。1、表示隸屬度函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集合。

一般說來，隸屬度函數(shù)的確定首先從最大隸屬度函數(shù)的點(diǎn)開始，然后單調(diào)遞減向兩邊延伸。

例如：

“溫度適中”=0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/702、變量所取隸屬度函數(shù)通常是對(duì)稱和平衡的。

一般情況下，描述變量的標(biāo)稱值安排的越多，即隸屬度函數(shù)的密度越大，則模糊控制系統(tǒng)的分辨率越高，系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)越平滑，但是帶來的不足之處是模糊規(guī)則會(huì)增加、計(jì)算時(shí)間會(huì)大大增加，設(shè)計(jì)困難程度加重。

3、隸屬度函數(shù)要符合人們的語義順序避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B。

“速度低”、“速度適中”、“速度高”就是按照一定次序排列的語義順序。一般由專家經(jīng)驗(yàn)得到，但是也應(yīng)符合常識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。

相間隔的兩個(gè)模糊集合的隸書度函數(shù)盡量不要交叉。

圖2－4交叉越界的隸屬度函數(shù)示意圖

除了以上三條以外，模糊控制系統(tǒng)隸屬度函數(shù)的選擇通常遵循：

1）論域中的每個(gè)點(diǎn)應(yīng)該至少屬于一個(gè)隸屬度函數(shù)的區(qū)域，同時(shí)它一般應(yīng)屬于至多不超過兩個(gè)隸屬度函數(shù)的區(qū)域。

2）對(duì)同一輸入沒有兩個(gè)隸屬度函數(shù)會(huì)同時(shí)有最大隸屬度。

3）當(dāng)兩個(gè)隸屬度函數(shù)重疊時(shí)，重疊部分對(duì)兩個(gè)隸屬度函數(shù)的最大隸屬度不應(yīng)該有交叉。

重疊指數(shù)也是衡量隸屬度函數(shù)與模糊控制器性能關(guān)系的一個(gè)重要指標(biāo)。隸屬度函數(shù)是模糊控制的應(yīng)用基礎(chǔ)，正確構(gòu)造隸屬度函數(shù)是能否用好模糊控制的關(guān)鍵之一。目前還很不成熟,多數(shù)是經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，所以一般先通過粗略的確定再進(jìn)一步修正和完善.

1）模糊統(tǒng)計(jì)法

對(duì)于年輕人的概念，第一次認(rèn)為“17-30”，即集合A1；第二次認(rèn)為“20-35”，即集合A2；依次類推。

每次統(tǒng)計(jì)中，v是固定的（例如某一年齡），A1、A2等可變，N次實(shí)驗(yàn)可得下面的算式：2）例證法:從有限個(gè)隸屬度值，來估計(jì)U上的模糊集A的隸屬度函數(shù)。例如:“高個(gè)子”的隸屬度，先確定一個(gè)高度，然后它的語言真值可以為“真的”、“大致真的”、“似真似假”、“大致假的”、“假的”，并用數(shù)字1，0.75，0.5，0.25，0表示其語言真值。對(duì)不同的高度賦予一個(gè)語言真值。3）專家經(jīng)驗(yàn)法，有專家給出隸屬度函數(shù)值。根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)給出的模糊信息處理算式或相應(yīng)的權(quán)系數(shù)。例如：故障的原因可能是：溫度過高、震蕩、負(fù)載過大等。4）二元對(duì)比排序法實(shí)用的方法，它通過對(duì)多個(gè)事物之間的兩兩對(duì)比來確定某種某種特征下的順序，由此來確定這些事物對(duì)該特征的隸屬度函數(shù)。此方法中有相對(duì)比較法、對(duì)比平均法、優(yōu)先關(guān)系定序法和相似優(yōu)先法。主要介紹介紹相對(duì)比較法：設(shè)論域U中一對(duì)元素其具有某特征的等級(jí)分別為即在和的二元對(duì)比中，如果具有某特征的程度用來表示，則具有某特征的程度用來表示，并且該二元對(duì)比級(jí)的數(shù)對(duì)必須滿足：令這里若以為元素，且定時(shí)，則可構(gòu)造出矩陣G，并稱G為相及矩陣。容易推廣到n元的情況，對(duì)于n個(gè)元素同理得相及矩陣G

若對(duì)矩陣G的每一行取最小值，即對(duì)第i行取

，并按

其值的大小排序，即可得到元素對(duì)某特征的隸屬函數(shù)。例2－4設(shè)論域其中表示長子，表示次子，表示三子，表示父親。如果考慮長子和次子與父親的相似問題，則可這樣來描述長子相似于父親的程度為0.8，次子相似于父親的程度為0.5。如果僅考慮次子和三子，則次子相似于父親的程度為0.4，三子相似于父親的程度為0.7。如果僅考慮長子和三子，則長子相似于父親的程度為0.5，三子相似于父親的程度為0.3，則可建立如下關(guān)系按照“誰像父親”這一原則排序，可得

計(jì)算相及矩陣G。因?yàn)?/p>

所以相及矩陣為

在相及矩陣中取每一行有最小值，即：1、4/7、3/5。按所得值的大小排列得1>3/5>4/7。結(jié)論是長子最像父親（1），三子次之（0.6），次子最不像父親（0.57）。由此，可以確定出隸屬度函數(shù)的大致形狀。四、模糊關(guān)系1.模糊關(guān)系的定義定義2－11所謂A，B兩集合的直積中的一個(gè)模糊關(guān)系R，是指以為論域的一個(gè)模糊子集，序偶的隸屬度為一般地，若論域?yàn)閚個(gè)集合的直積，則它所對(duì)應(yīng)的是n元模糊關(guān)系R，其隸屬度函數(shù)為n個(gè)變量的函數(shù)。顯然當(dāng)隸屬度函數(shù)值只取“0”或“1”時(shí)，模糊關(guān)系就退化為普通關(guān)系。例2－6設(shè)有七種物品：蘋果、乒乓球、書、籃球、花、桃、菱形組成的一個(gè)論域U，并設(shè)分別為這些物品的代號(hào)，則?，F(xiàn)在就物品兩兩之間的相似程度來確定它們的模糊關(guān)系。

假設(shè)物品之間完全相似者為“1”、完全不相似者為“0”，

假設(shè)物品之間完全相似者為“1”、完全不相似者為“0”，其余按具體相似程度給出一個(gè)0~1之間的數(shù)，就可確定出一個(gè)U上的模糊關(guān)系R，列表如下

R蘋果x1乒乓球x2書x3籃球x4花x5桃x6菱形x7蘋果x11.00.700.70.50.60乒乓球x20.71.000.90.40.50書x3001.00000.1籃球x40.70.901.00.40.50花x50.50.400.41.00.40桃x60.60.500.50.41.00菱形x7000.10001.0下面我們來看一下模糊關(guān)系與模糊控制的主要環(huán)節(jié)模糊推理之間的關(guān)系。對(duì)于確定的控制系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的輸入輸出存在一種確定的關(guān)系也稱普通關(guān)系。同樣，對(duì)于模糊的控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入輸出也存在某種關(guān)系通常稱為模糊關(guān)系，而這種模糊關(guān)系是通過定義在不同論域上的模糊變量之間的模糊條件語句來表示的。假設(shè)有如下一條模糊規(guī)則

其中，條件部模糊集A定義為，結(jié)論部模糊集B定義為。為了建模糊關(guān)系，先來考慮一下A和B的直積，記為

。

其中，是有序?qū)Φ募?，?/p>

例設(shè)

；則由式（2－29）可知

對(duì)于以上這種模糊集合的表示形式也可以很方便地用模糊

關(guān)系矩陣R來表示

123410.80.60.40.220.70.60.40.230.20.20.20.2

為了進(jìn)一步深入地分析模糊關(guān)系矩陣的內(nèi)在含義和計(jì)算方法，引入笛卡爾積算子。定義2-12笛卡爾積（算子）若分別是論域中的模糊集，則的笛卡爾積是在積空間中的一個(gè)模糊集，其隸屬度函數(shù)為直積（極小算子）：或代數(shù)積：

對(duì)于連續(xù)情況，關(guān)系矩陣可以定義為為了便于區(qū)分起見，我們引入兩個(gè)記號(hào)分別表示笛卡爾積（算子）兩種運(yùn)算規(guī)則，即直積（極小算子）用表示，代數(shù)積用表示。

例2－7考慮如下模糊條件語句

如果C是慢的，則A是快的。

其中，C，A分別屬于兩個(gè)不同的論域U，V。

其隸屬度函數(shù)分別為

那么它們的直積為

從這個(gè)簡(jiǎn)單的例子可以看出，代數(shù)積運(yùn)算子比取小算子產(chǎn)生更平滑的模糊關(guān)系表面。從中我們也可以體會(huì)到，模糊關(guān)系實(shí)際上反映的是模糊系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。因此，它也是模糊系統(tǒng)模型的重要表示法之一。

由于模糊關(guān)系R實(shí)際上是一個(gè)模糊子集。因此它的運(yùn)算完全服從于模糊子集的法則（如交、并、補(bǔ)等）特別是當(dāng)論域

為有限集時(shí)，模糊關(guān)系R也可以用矩陣來表示，并稱

之為模糊矩陣。定義2－13設(shè)A={u1,u2,…,un},B={v1,v2,…,vn}

以及，將序偶的隸屬度

稱矩陣R=(rij)nxm為模糊矩陣。

模糊矩陣是模糊數(shù)學(xué)的主要運(yùn)算工具。一個(gè)模糊關(guān)系雖然可以用模糊集合表達(dá)式來表示，但比不上用模糊矩陣表示更為簡(jiǎn)單明了，特別是在模糊關(guān)系的合成運(yùn)算中。當(dāng)論域是離散的有限域時(shí)，模糊矩陣的元素rij是用模糊關(guān)系的隸屬度

表示的。關(guān)系與矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，因此，關(guān)系的

運(yùn)算與矩陣的運(yùn)算也有一一對(duì)應(yīng)的性質(zhì)和規(guī)律，具體的交、并等運(yùn)算同模糊集合的運(yùn)算相類似。這里不再重復(fù)。2、模糊關(guān)系的合成

對(duì)于有些系統(tǒng)，只依賴單一的條件、結(jié)合推理是不夠的。因此存在多重推理現(xiàn)象，如IFATHENB,IFBTHENC這樣一類控制規(guī)則，其控制輸出變量是C，那么，人們不禁要問，A和C之間是否存在某種定量的關(guān)系呢？答案是肯定的。尋求這種關(guān)系的方法就是模糊關(guān)系的合成。對(duì)于普通關(guān)系也存在關(guān)系合成計(jì)算。如A和B是父子關(guān)系，B和C是夫妻關(guān)系，則A和C就會(huì)形成一種新的關(guān)系，即公媳＝父子夫妻。推廣到模糊概念域，模糊關(guān)系也存在關(guān)系的合成，其合成的方法是通過模糊關(guān)系矩陣來進(jìn)行的。先來看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子:

例2－8某家中子女與父母的長像相似關(guān)系R為模糊關(guān)系，可表示為

也可以用模糊矩陣R來表示

該家中父母與祖父母的相似關(guān)系也是模糊關(guān)系，可表示為

用模糊矩陣S可表示為

R父母子0.20.8女0.60.1S祖父祖母父0.50.7母0.10那么，在該家中孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度應(yīng)該如何呢？模糊關(guān)系的合成運(yùn)算就是為了解決諸如此類問題而提出來的?，F(xiàn)在先給出問題的結(jié)果再來明確其定義。針對(duì)此例，一個(gè)簡(jiǎn)單的模糊關(guān)系合成運(yùn)算為

這一計(jì)算結(jié)果表明孫子與祖父、祖母的相似程度為0.2、0.2；而孫女與祖父、祖母的相似程度為0.5、0.6。

定義2－14模糊關(guān)系合成：如果R和S分別為笛卡爾空間上的模糊關(guān)系，并記為。其隸屬度函數(shù)的計(jì)算方法。

上確界（Sup)算子

與模糊集合的運(yùn)算定律相似，模糊關(guān)系合成算子sup-min存在如下特征

分配律

結(jié)合律：包含率:逆運(yùn)算:注意，模糊關(guān)系合成運(yùn)算不滿足交換率，即。

第三節(jié)模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成

模糊控制的核心是模糊控制規(guī)則庫，而這些規(guī)則庫實(shí)質(zhì)上是一些不確定性推理規(guī)則的集合。要實(shí)現(xiàn)模糊控制的目的，必須研究不確定性推理的規(guī)律----模糊邏輯推理就是不確定性推理的主要方法之一。

17世紀(jì)，出現(xiàn)了邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)相互滲透的學(xué)科----數(shù)理邏輯。由于用一套符號(hào)表示，也稱為符號(hào)邏輯。在取值上只取真假二值，即非此即彼的“二值邏輯”。

一些事物（如：他很年輕）很難用真假來描述他們的狀態(tài)和關(guān)系，因此發(fā)展了模糊邏輯----研究含有模糊概念或帶有模糊陳述句的邏輯。

模糊邏輯是扎得以其在1972年到1974年的研究成果為基礎(chǔ)建立起來的。他首先提出模糊限定詞、語言變量、語言真值和近似推理等關(guān)鍵概念，制定了模糊推理的規(guī)則，為模糊邏輯奠定了基礎(chǔ)。

由于人的思維除了一些單純、易斷的事情能迅速作出確定性判斷和決策以外，多數(shù)情況下是及其錯(cuò)略的綜合，與之相應(yīng)的語句表達(dá)也是模糊的，他的邏輯判斷也往往是定性的，因此模糊概念更適合人的觀察、思維、理解、決策?，F(xiàn)代控制系統(tǒng)的高度復(fù)雜化使得被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型往往難以確定或者從被控對(duì)象獲得的信息極其模糊，導(dǎo)致傳統(tǒng)控制方式無法滿足系統(tǒng)動(dòng)、靜特性的要求，模糊邏輯就成了研究復(fù)雜大系統(tǒng)的有力工具。一、二值邏輯

在研究模糊邏輯之前，先對(duì)二值邏輯作一簡(jiǎn)要的回顧。

例如“天津工業(yè)大學(xué)位于天津市”

是一個(gè)句子，它的含義能夠判斷真假，就稱為一個(gè)命題。命題分為簡(jiǎn)單命題和復(fù)雜命題（簡(jiǎn)單命題的聯(lián)結(jié)）。

常用的命題聯(lián)結(jié)詞有：析取∨、合取∧、否認(rèn)、蘊(yùn)涵→、等價(jià)。它們的含義分別為：

析取∨是“或”的意思，如果用P、Q分別表示兩個(gè)命題，則由析取聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復(fù)合命題表示為P∨Q。復(fù)合命題P∨Q的真值是由兩個(gè)簡(jiǎn)單命題的真值來決定的，僅當(dāng)P和Q都是假時(shí)，P∨Q才是假。

例P：他喜歡打籃球；Q：他喜歡跳舞。

則P∨Q：他喜歡打籃球或喜歡跳舞。

合取∧是“與”的意思，如果用P、Q分別表示兩個(gè)命題，則由合取聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復(fù)合命題表示為P∧Q。復(fù)合命題P∧Q的真值是由兩個(gè)簡(jiǎn)單命題的真值來決定的，僅當(dāng)P和Q都是真時(shí)，P∧Q才是真。

例P：他喜歡打籃球；Q：他喜歡跳舞。

則P∧Q：他喜歡打籃球并且喜歡跳舞。

否定一是對(duì)原命題的否定。如果用P是真的，則是假的。

例P：他喜歡打籃球：則：他不喜歡打籃球。

④蘊(yùn)涵→表示“如果…那么…”。由于命題P的成立，即可推出Q也成立，以P→Q來表示。

例P：甲是乙的父親；

Q：乙是甲的兒女。

則P→Q：若甲是乙的父親；那么乙必定是甲的兒女。

⑤等價(jià)表示兩個(gè)命題的真假相同。是“當(dāng)且僅當(dāng)”的意思。

例P：A是等邊三角形；

Q：A是等角三角形。

則PQ：A是等邊三角形當(dāng)且僅當(dāng)A是等角三角形。二、模糊邏輯及其基本運(yùn)算

模糊命題是普通命題的推廣。概括起來，模糊邏輯是研究模糊命題的邏輯，而模糊命題是指含有模糊概念或者是帶有模糊性的陳述句。模糊命題有真值不是絕對(duì)的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隸屬于“真”。因此，它不只是一個(gè)值，而是有多個(gè)值，甚至是連續(xù)量。普通命題的真值相當(dāng)于普通集合中元素的特征函數(shù)，而模糊命題的真值就是隸屬度函數(shù)，所以真值的運(yùn)算也就是隸屬度函數(shù)的運(yùn)算。

記P、Q、R為三個(gè)模糊單命題，那么

1）模糊邏輯補(bǔ)：用來表示對(duì)某個(gè)命題的不定，＝1－

2）模糊邏輯合取：

3）模糊邏輯析?。?/p>

4）模糊邏輯蘊(yùn)含：如這P是真的，則Q也是真的，

5）模糊邏輯等價(jià)：

6）模糊邏輯限界積：各元素分別相加，大于1的部分作為限界積。

7）模糊邏輯限界和：各元素分別相加，比1小的部分作為限界和。

8）模糊邏輯限界差：各元素分別相減部分作為限界差。

例2－9設(shè)有模糊命題

P：他是個(gè)和善的人，它的真值P＝0.7;

Q:他是個(gè)熱情的人，它的真值Q＝0.8

則

：他既是和善的人又是熱情的人的真值

：他是個(gè)和善的人或是個(gè)熱情的人的真值

：如果他是個(gè)和善的人，則他是個(gè)熱情的人的真值

。根據(jù)以上模糊邏輯的基本運(yùn)算定義，可以得出以下模糊邏輯運(yùn)算的基本定律

（1）冪等律：（2）交換率：

（3）結(jié)合律

（4）吸收律：

（5）分配分律：

（6）雙否律：

（7）德?摩根律：

（8）常數(shù)運(yùn)算法則：

注意，與二值邏輯不同之處是二值邏輯中的互補(bǔ)律：

。在模糊邏輯中互補(bǔ)律是不成立，模糊邏輯的互補(bǔ)運(yùn)算滿足

利用這些基本公式就可化簡(jiǎn)模糊邏輯函數(shù)，以便根據(jù)化簡(jiǎn)得到的結(jié)果來組成最簡(jiǎn)單的模糊邏輯控制電

三、模糊語言邏輯

人工語言：格式緊密，概念十分清晰，程序設(shè)計(jì)語言屬人工語言。廣義角度講：一切具有模糊性的語言都稱為模糊語言。模糊語言可以對(duì)自然語言的模糊性進(jìn)行分析和處理。我們知道，人們?cè)谌粘Ｉ钪薪涣餍畔⒂玫拇蠖嗍亲匀徽Z言，而這種語言用充滿了不確定性的描述來表達(dá)具有模糊性的現(xiàn)象和事物。模糊語言又具有靈活性，在不同的場(chǎng)合，某一模糊概念可以代表不同的含義。如”個(gè)子高“在中國指大約在1.75～1.85m之間的人歸結(jié)于“高個(gè)子”模糊概念里，在歐洲，

可能把大約1.80～1.90m之間的人歸結(jié)于“高個(gè)子”模糊概念里。模糊語言邏輯是由模糊語言構(gòu)成的一種模擬人思維的邏輯?，F(xiàn)引入幾個(gè)重要概念。定義2－15模糊數(shù)：連續(xù)論域U中的一模糊數(shù)F是一個(gè)U上的正規(guī)凸模糊集。

以實(shí)數(shù)集合為全集合，一個(gè)具有連續(xù)隸屬函數(shù)的正規(guī)的有界凸模糊集合就稱為模糊數(shù)。它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)模糊子集。這里，所謂的正規(guī)集合的含義就是隸屬度函數(shù)的最大值為1，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示就是：

正規(guī)集含：

凸集含：在隸屬度函數(shù)曲線上任意兩點(diǎn)之間曲線上的任一點(diǎn)所表示的隸屬度值都大于或者等于兩點(diǎn)隸屬度值中較小的一個(gè)。用數(shù)學(xué)語言說，就是在實(shí)數(shù)集合的任意區(qū)間上，對(duì)于所有的都存在

，就稱F是凸模糊集合。

通俗地講，模糊數(shù)就是那些諸如“大約5”、“10左右”等具有模糊概念的數(shù)值。

定義2－16語言值：在語言系統(tǒng)中,那些與數(shù)值有直接聯(lián)系的詞，如長、短、多、少、高、低、重、輕、大、小等或者由它們?cè)偌由险Z言算子（如很、非常、較、偏等）而派生出來的詞組，如不太大、非常高、偏重等都被稱為語言值。語言值一般是模糊的，可以用模糊數(shù)來表示。如，成年男子身高的論域

E＝｛130，140，150，160，170，180，190，200，210｝＝

在論域E上定義語言值：因此，語言真值就是由〔0，1〕區(qū)間有模糊子集對(duì)所表現(xiàn)的命題真假程度的描述。

定義2-17語言變量：語言變量是用一個(gè)五元素的集合(X，T(X)，U，G，M)來表征的。其中X是語言變量名，如速度、年齡、顏色等；

T(X)為語言變量X的項(xiàng)集合，即語言變量名的集合，且每個(gè)值都是在U上定義的模糊數(shù)為語言變量x的論域；G為產(chǎn)生x數(shù)值名的語言值規(guī)則，用于產(chǎn)生語言變量值，即隸屬度函數(shù)的建立規(guī)則；M為與每個(gè)語言變量含義相聯(lián)系的算法規(guī)則，如合成規(guī)則。

語言變量的概念容易用圖2-10來表示?！八俣取睘橐徽Z言變量，可以賦予很慢、慢、較慢、中等、較快、快、很快等語言值。這里用不同的語立言值表示模糊變量速度快慢程度的差別，但無法對(duì)它們的量作出精確的定義，因?yàn)檎Z言值是模糊的，所以可以用模糊數(shù)來表示。

引入語言變量以后，可以對(duì)一些十分復(fù)雜或定義很不完善而又無法用精確術(shù)語進(jìn)行描述的現(xiàn)象實(shí)現(xiàn)表征。

速度語言變量

語言值規(guī)則G

語言值集合

算法規(guī)則M

圖2－10語言變量元素之間的關(guān)系示意圖

為了對(duì)模糊的自然語言形式化和定量化，進(jìn)一步區(qū)分和刻劃模糊值的程度，常常還借用自然語言中的修飾詞，諸如“較”、“很”、“非常”、“稍微”、“大約”、“有點(diǎn)”等來描述模糊值。為此引入語言算子的概念。語言算子通常又分為三類：語氣算子、模糊化算子和判定化算子。

1.語氣算子

語氣算子用來表達(dá)語言中對(duì)某一個(gè)單詞或詞組的確定性程度。有兩種相反的情況，一種是有強(qiáng)化作用的語氣算子，如“很”、“非?！钡?。這種算子使得模糊值的隸屬度函數(shù)的分布向中央集中，常稱為集中化算子或強(qiáng)化算子，如圖2－11所示

圖2－11強(qiáng)化算子的作用示意圖

圖2－12淡化算子的作用示意圖強(qiáng)化算子在圖形上有使模糊值尖銳化的傾向。另一種是有淡化作用的語氣算子，如“較”、“稍微”等。這種算子可以使得模糊值的隸屬度函數(shù)的分布由中央向兩邊彌散，常稱為松散化算子或淡化算子，如圖2－12所示。淡化算子在圖形上有使模糊值平坦化的傾向。

記為語氣算子運(yùn)算符，則它的集合可以定義為：

對(duì)于原語言值A(chǔ)經(jīng)語氣算子作用，形成一個(gè)新的語言值

。設(shè)原語言A的隸屬度函數(shù)為，新的語言值的隸屬度函數(shù)為，則

（2-32）

常用的語氣算子定義為：“極”、“非?！薄ⅰ昂堋?/p>

、“相當(dāng)”、“比較”、“略”、、“稍”。當(dāng)然，語氣的強(qiáng)弱程度會(huì)因人而異。對(duì)于某一特定的語氣詞，其的取值并不會(huì)完全一樣，但的取值的大小與語氣的強(qiáng)弱程度應(yīng)該是一致的。

例2-10我們以“年老”這個(gè)詞為例，來說明語氣算子的作用。

＞50

＞50

＞50現(xiàn)以強(qiáng)化算子“很”和淡化算子“有點(diǎn)”為例，比較“年老”、“很老”、“有點(diǎn)老”幾個(gè)語言值的隸屬度函數(shù)，如圖2-13所示。

圖2-13“有點(diǎn)”和“很”的比較

2、模糊化算子

模糊化算子用來使語言中某些具有清晰概念的單詞或詞組的詞義模糊化，或者是將原來己經(jīng)是模糊概念的詞義更加模糊化。如“大概”、“近似于”、“大約”等。如果對(duì)數(shù)字進(jìn)行作用就意味著把精確數(shù)轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)。例如數(shù)字“5”是一個(gè)精確數(shù)，而如果將模糊化算子“F”作用于“5”這個(gè)精確數(shù)就變成“F(5)”，這一模糊數(shù)。若模糊化算子“F”是“大約”、則“F(5)”就是“大約5”這樣一個(gè)模糊數(shù)。以后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)在模糊控制中，實(shí)際系統(tǒng)的輸入采樣值一般總是精確量，要利用模糊邏輯推理方法，就必須首先把精確量進(jìn)行模糊化，而模糊化過程實(shí)質(zhì)上是使用模糊化算子來實(shí)現(xiàn)的,所以引入模糊化算子是非常重要的。

用數(shù)學(xué)語言來說，模糊化算子的集合可以表示為：設(shè)模糊化之前的集合為A，模糊化算子為F，則模糊化變換可表示為F(A)，并且它們的隸屬度函數(shù)關(guān)系滿足

如果A是清晰集，則就是特征函數(shù)。是表示模糊程度的一個(gè)相似變換函數(shù)，通常可取正態(tài)分布曲線，即

參數(shù)的取值大小取決于模糊化算子的強(qiáng)弱程度。

例2－11設(shè)論域X上的清晰集的特征函數(shù)為

且取c=5，則“大約是5”這一語言值的隸屬度函數(shù)可以定義為

如圖2－14所示。

圖2－14模糊數(shù)53、判定化算子

判定化算子與模糊化算子的作用相反。它是將原來具有模糊詞義的詞進(jìn)行肯定化處理，例如“傾向于”、“大半是”等。判定化算子的集合表示為：

設(shè)判定化之前的集合為A，它的隸屬度函數(shù)為，判定化算子為P，則判定化變換可表示為這P（A），并且它們的隸屬度函數(shù)關(guān)系滿足

當(dāng)取時(shí)，可用來表示“傾向于”。

四、模糊邏輯推理

以往我們接觸到的常規(guī)的邏輯推理方法如演繹推理，歸納推理都是嚴(yán)格的。

除此這些確定性推理之外尚存在著一些不確定性推理，目前己知的主要不確定性推理方法可歸結(jié)為四類：MYCIN法、主觀悲葉斯方法、證據(jù)理論法和模糊邏輯推理法。我們?cè)诖酥唤榻B模糊邏輯推理法，模糊邏輯推理是不確定性推理方法的一種，其基礎(chǔ)是模糊邏輯，它是在二值邏輯三段論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。雖然它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)沒有形式邏輯那么嚴(yán)密，但用這種推理方法得到的結(jié)論與人類的思維推理結(jié)論是一致或相近的。并在實(shí)際使用中得到了驗(yàn)證，因此模糊邏輯推理方法己經(jīng)受到了廣泛的重視。模糊邏輯推理是以模糊判斷為前提的，運(yùn)用模糊語言規(guī)則，可推出一個(gè)新的模糊判斷結(jié)論的方法，例

大前提：腿長則跑步快

小前提：小王腿很長

結(jié)論：小王跑步很快它屬于近似于二值邏輯的三段論推理模式。這里“腿長”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判斷和大前提的前件不是嚴(yán)格相同的。因此這一推理的結(jié)論也不是從前提中嚴(yán)格地推出來的而是近似于邏輯地推出的結(jié)論。通稱為假言推理或是似然推理。判斷是否屬于模糊邏輯推理的標(biāo)準(zhǔn)是看推理過程是否具有模糊性，具體表現(xiàn)為推理規(guī)則是不是模糊的。

從條件變量的多少、模糊規(guī)則多少的角度來劃分，模糊規(guī)則推理方法又可以分為以下四種模糊推理規(guī)則。

四種規(guī)則都可選用不同的推理方法等。

1、近似推理

在控制系統(tǒng)中經(jīng)常存在此類現(xiàn)象，“如果溫度低，則控制電壓就增大”這樣一個(gè)前提下，要問“如果溫度很低，則控制電壓將是多少呢？很自然用人們的常識(shí)可以推知，“如果溫度很低，則控制電壓就很大”，這種推理方式就稱為模糊近似推理。這種推理方式可以這樣來表達(dá)。

前提1：如果x是A，則y是B

前提2：如果x是A′

結(jié)

論：y是B′

=A′。（A→B）

即結(jié)論B′

可用A′與由A到B的推理關(guān)系進(jìn)行合成而得到,由于A到B模糊關(guān)系矩陣R為

利用R可以得到近似推理的隸屬度函數(shù)為

根據(jù)不同的推理方法可以得到模糊關(guān)系矩陣元素

的不同計(jì)算方法，主要有

①扎德（Zadeh)推理法

或

那么其隸屬度函數(shù)為

②瑪達(dá)尼（Mamdani)推理法

那么其隸屬度函數(shù)為

例2-12設(shè)論域X＝Y(jié)＝｛1,2,3,4,5｝X、Y上的模糊子集“大”、“小”、“較小”分別定義為：

“大”＝0.4/3+0.7/4+1/5

“小”＝1/1+0.7/2+0.3/3

“較小”＝1/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4

己知：規(guī)則若x小，則y大

問題：當(dāng)x＝較小時(shí)，y＝？

解己知

且

由扎德（Zadeh)推理法

x1=1,x2=2,x3=3,x4=4,x5=5y1=1,y2=2,y3=3,y4=4,y5=5u小(x1)=1;u小(x2)=0.7;u小(x3)=0.3;u小(x4)=0;u小(x5)=0;u大(y1)=0;u大(y2)=0;u大(y3)=0.4;u大(y4)=0.7;u大(y1)=1;r11=[u小(x1)Λu大(y1)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0]v[1-1]=0r12=[u小(x1)Λu大(y2)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0]v[1-1]=0r13=[u小(x1)Λu大(y3)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0.4]v[1-1]=0.4r14=[u小(x1)Λu大(y4)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0.7]v[1-1]=0.7r15=[u小(x1)Λu大(y5)]v[1-u小(x1)]=[1Λ1]v[1-1]=1同理:r21=0.3;r22=0.3;r23=0.4;r24=0.7;r25=0.7;r31=0.7;r32=0.7;r33=0.7;r34=0.7;r35=0.7;r41=1;r42=1;r43=1;r44=1;r45=1;r51=1;r52=1;r53=1;r54=1;r55=1;選擇扎德推理法，因此，可得x較小時(shí)的推理結(jié)果從中可以看出，扎德推理的結(jié)果與人們的思維是一致的。同樣，由瑪達(dá)尼推理法也可得

從上例可以看出，在近似推理中，扎德推理比瑪達(dá)尼推理法更符合人們的思維。2.模糊條件推理

語言規(guī)則是：如果x是A，則y是B，否則y是C。

其邏輯表達(dá)式為：。

要實(shí)現(xiàn)模糊推理的關(guān)鍵是找出模糊關(guān)系矩陣，根據(jù)邏輯表達(dá)式，其模糊關(guān)系R是X×Y的子集，可以表示為

有了這個(gè)模糊關(guān)系矩陣，就可根據(jù)模糊推理合成規(guī)則，將輸入與該關(guān)系矩陣R進(jìn)行合成得到模糊推理結(jié)論，即

例2-13對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入A時(shí)，輸出為B，否則為C，且有

己知當(dāng)前輸入。求輸出D。解先求關(guān)系矩陣R

因?yàn)椤?/p>

A=[1,0.4,0.1];B=[0.8,0.5,0.2];

1-A=[0,0.6,0.9];C=[0.5,0.6,0.7]

由瑪達(dá)尼推理法得

輸出

即。

3.多輸入模糊推理

多輸入模糊推理在多輸入單輸出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中經(jīng)常遇到，如在速度設(shè)定值控制系統(tǒng)中，“速度誤差較大且速度誤差的變化量也較大，那么加大輸入控制電壓”這樣一類規(guī)則就需要用多輸入模糊推理方式來解決。這種規(guī)則的一般形式為

前提1：如果A且B，那么C

前提2：現(xiàn)在是且

結(jié)論：

因?yàn)?/p>

如果A且B，那么C的數(shù)學(xué)表達(dá)式是:，其模糊關(guān)系矩陣

若用瑪達(dá)尼推理，則模糊關(guān)系矩陣的計(jì)算就變成

由此，推理結(jié)果為：

其隸屬度函數(shù)為

是指模糊集合A與交集的高度?，斶_(dá)尼推理削頂法的幾何意義是分別求出對(duì)對(duì)的隸屬度，并且取這兩個(gè)之中小的一個(gè)作為總的模糊推理前件的隸屬度，再以此為基準(zhǔn)去切割推理后件的隸屬度函數(shù)，便得到結(jié)論。推理過程如圖2-15。

圖2-15二輸入瑪達(dá)尼推理法過程如果各語言變量的論域是有限集時(shí)，即模糊子集的隸屬度函數(shù)是離散的，則模糊邏輯推理過程可以用模糊關(guān)系矩陣的運(yùn)算來描述。下面以一類模糊控制器為例來說明離