第二章拉氏變換和拉氏反變換

2/2/20231第二章拉氏變換和拉氏反變換第二章數學模型2/2/20232拉氏變換與反變換機電控制工程所涉及的數學問題較多，經常要解算一些線性微分方程。如果用拉普拉斯變換求解線性微分方程，可將經典數學中的微積分運算轉化為代數運算，又能夠單獨地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數學方法。能夠把描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的微分方程很方便的轉換為系統(tǒng)的傳遞函數，并由此發(fā)展出分析和設計控制系統(tǒng)的工程方法。2/2/202332/2/20234三、拉氏變換和拉氏反變換

拉氏變換設函數f(t)(t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實常數，使得：則函數f(t)的拉普拉斯變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實數）；第二章數學模型2/2/20235稱為拉普拉斯積分；F(s)稱為函數f(t)的拉普拉斯變換或象函數，它是一個復變函數；f(t)稱為F(s)的原函數；L為拉氏變換的符號。

拉氏反變換L－1為拉氏反變換的符號。第二章數學模型2/2/20236

幾種典型函數的拉氏變換

單位階躍函數1(t)10tf(t)單位階躍函數第二章數學模型2/2/20237

指數函數（a為常數）指數函數0tf(t)1第二章數學模型2/2/20238

正弦函數與余弦函數正弦及余弦函數10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由歐拉公式，有：

第二章數學模型2/2/20239從而：同理：第二章數學模型2/2/202310

單位脈沖函數(t)0tf(t)單位脈沖函數1由洛必達法則：所以：第二章數學模型2/2/202311

單位速度函數（斜坡函數）10tf(t)單位速度函數1第二章數學模型2/2/202312

單位加速度函數單位加速度函數0tf(t)函數的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過一定的轉換得到。

第二章數學模型2/2/202313

拉氏變換積分下限的說明在某些情況下，函數f(t)在t＝0處有一個脈沖函數。這時必須明確拉氏變換的積分下限是0－還是0+，并相應記為：第二章數學模型2/2/202314

拉氏變換的主要定理

疊加定理

齊次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a為常數；

疊加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b為常數；顯然，拉氏變換為線性變換。第二章數學模型2/2/202315

實微分定理證明：由于即：第二章數學模型2/2/202316所以：同樣有：式中，f'(0)，f''(0)，……為函數f(t)的各階導數在t=0時的值。第二章數學模型2/2/202317當f(t)及其各階導數在t=0時刻的值均為零時（零初始條件）：第二章數學模型2/2/202318當f(t)在t=0處具有間斷點時，df(t)/dt在t=0處將包含一個脈沖函數。故若f(0+)

f(0－)，則：第二章數學模型2/2/202319

復微分定理若L[f(t)]=F(s)，則除了F(s)的極點之外，有：第二章數學模型2/2/202320

積分定理當初始條件為零時：若f(0+)

f(0－)，則：第二章數學模型2/2/202321證明：第二章數學模型2/2/202322同樣：當初始條件為零時：第二章數學模型2/2/202323

延遲定理設當t<0時，f(t)=0，則對任意0，有：函數f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)第二章數學模型2/2/202324

位移定理例：第二章數學模型2/2/202325

初值定理證明：初值定理建立了函數f(t)在t=0+處的初值與函數sF(s)在s趨于無窮遠處的終值間的關系。

第二章數學模型2/2/202326

終值定理若sF(s)的所有極點位于左半s平面，即：存在。則：第二章數學模型證明：2/2/202327終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時的初值相同。第二章數學模型又由于：即：2/2/202328

卷積定理若t<0時，f(t)＝g(t)＝0，則f(t)和g(t)的卷積可表示為：其中，f(t)g(t)表示函數f(t)和g(t)的卷積。第二章數學模型2/2/202329證明：第二章數學模型2/2/202330

時間比例尺的改變例：第二章數學模型2/2/202331

求解拉氏反變換的部分分式法

部分分式法

如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)第二章數學模型2/2/202332在控制理論中，通常：為了應用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn為方程A(s)=0的根的負值，稱為F(s)的極點；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此時，即可將F(s)展開成部分分式。

第二章數學模型2/2/202333F(s)只含有不同的實數極點式中，Ai為常數，稱為s=-pi極點處的留數。于是：第二章數學模型2/2/202334例：求的原函數。解：第二章數學模型2/2/202335即：第二章數學模型2/2/202336F(s)含有共軛復數極點

假設F(s)含有一對共軛復數極點-p1、-p2，其余極點均為各不相同的實數極點，則：式中，A1和A2的值由下式求解：上式為復數方程，令方程兩端實部、虛部分別相等即可確定A1和A2的值。第二章數學模型2/2/202337注意，此時F(s)仍可分解為下列形式：由于p1、p2為共軛復數，因此，A1和A2的也為共軛復數。第二章數學模型2/2/202338例：求的原函數。解：令：，則：

第二章數學模型2/2/202339根據：有：即：由上式兩邊實部和虛部分別相等，得：第二章數學模型2/2/202340而：所以：第二章數學模型2/2/202341查拉氏變換表得：令，即：于是：第二章數學模型2/2/202342例：求的原函數。解：第二章數學模型2/2/202343即：所以：第二章數學模型2/2/202344第二章數學模型2/2/202345查拉氏變換表得：第二章數學模型2/2/202346F(s)含有重極點

設F(s)存在r重極點-p0，其余極點均不同，則：

式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。第二章數學模型2/2/202347……第二章數學模型2/2/202348注意到：所以：第二章數學模型2/2/202349例：求的原函數。解：第二章數學模型2/2/202350于是：第二章數學模型2/2/202351

用MATLAB展開部分分式設：在MATLAB中，多項式通過系數行向量表示，系數按降序排列。如要輸入多項式：x4-12x3+25x+126>>p=[1-12025126]p=1-12025126第二章數學模型2/2/202352用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：num=[b0

b1…bm]den=[a0

a1…an]MATLAB提供函數residue用于實現部分分式展開，其句法為：[r,p,k]=residue(num,den)其中，r,p分別為展開后的留數及極點構成的列向量、k為余項多項式行向量。第二章數學模型2/2/202353若無重極點，MATLAB展開后的一般形式為：若存在q重極點p(j)，展開式將包括下列各項：第二章數學模型2/2/202354例：求的部分分式展開。>>num=[111395226];>>den=[110355024];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1展開式為：第二章數學模型2/2/202355例：求的部分分式展開。>>num=[1001056];>>den=[15972];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=-4.000020.0000-20.000010.0000p=-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k=1-5展開式為：第二章數學模型2/2/202356[num,den]=residue(r,p,k)函數residue也可用于將部分分式合并，其句法為：>>r=[1234]';p=[-1-2-3-4]';k=0;>>[num,den]=residue(r,p,k)num=107015096den=110355024例：第二章數學模型2/2/202357

應用拉氏變換解線性微分方程

求解步驟

將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?/p>

s的代數方

程；

解代數方程，得到有關變量的拉氏變換表

達式；

應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。第二章數學模型2/2/202358原函數（微分方程的解）象函數微分方程象函數的代數方程拉氏反變換拉氏變換解代數方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第二章數學模型2/2/202359

實例設系統(tǒng)微分方程為：若xi

(t)

=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換：

第二章數學模型2/2/202360即：第二章數學模型2/2/202361對方程右邊進行拉氏變換：從而：第二章數學模