第二章-平面力系

第2章

平面力系2.1平面匯交力系2.1.1平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeabcdeF1F2F4F3FR各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱(chēng)為力多邊形。用力多邊形求合力的作圖規(guī)則稱(chēng)為力的多邊形法則。力多邊形中表示合力矢量的邊稱(chēng)為力多邊形的封閉邊。2.1.1平面匯交力系合成的幾何法、力多邊形法則結(jié)論：平面匯交力系可簡(jiǎn)化為一合力，其合力的大小與方向等于各分力的矢量和(幾何和)，合力的作用線(xiàn)通過(guò)匯交點(diǎn)。

用矢量式表示為：如果一力與某一力系等效，則此力稱(chēng)為該力系的合力。在平衡的情形下，力多邊形中最后一力的終點(diǎn)與第一力的起點(diǎn)重合，此時(shí)的力多邊形稱(chēng)為封閉的力多邊形。于是，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的力多邊形自行封閉，這是平衡的幾何條件。2.1.1平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。用矢量式表示為：[例1]

已知壓路機(jī)碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉過(guò)h=8cm的障礙物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子對(duì)障礙物的壓力。①選碾子為研究對(duì)象②取分離體畫(huà)受力圖解：

∵當(dāng)碾子剛離地面時(shí)NA=0,拉力F最大,這時(shí)拉力F和自重及支反力NB構(gòu)成一平衡力系。由平衡的幾何條件，力多邊形封閉，故由作用力和反作用力的關(guān)系，碾子對(duì)障礙物的壓力等于23.1kN。此題也可用力多邊形方法用比例尺去量。F=11.5kN,NB=23.1kN所以又由幾何關(guān)系：2.1.2平面匯交力系合成與平衡的解析法力在坐標(biāo)軸上的投影FxyFxFyabO2.1.2力的正交分解與力的解析表達(dá)式FFxFyxyijO2.1.2合力投影定理平面匯交力系的合力在某軸上的投影，等于力系中各個(gè)分力在同一軸上投影的代數(shù)和。2.1.2平面匯交力系合成的解析法2.1.2平面匯交力系的平衡方程

平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：各力在作用面內(nèi)兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零。上式稱(chēng)為平面匯交力系的平衡方程。[例2]

已知P=2kN求SCD,RA解:

1.取AB桿為研究對(duì)象2.畫(huà)AB的受力圖3.列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；4.解方程2.2平面力偶系MO(F)OhrFAB2.2.1力對(duì)點(diǎn)之矩（力矩）力F與點(diǎn)O位于同一平面內(nèi)，點(diǎn)O稱(chēng)為矩心，點(diǎn)O到力的作用線(xiàn)的垂直距離h稱(chēng)為力臂。力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量，它的絕對(duì)值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)可按下法確定：力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。力矩的單位常用N·m或kN·m。2.2.1合力矩定理與力矩的解析表達(dá)式平面匯交力系的合力對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于所有各分力對(duì)于該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。FFxFyxyOqxyA(1)合力矩定理(2)力矩的解析表達(dá)式例1已知F＝1400N,r＝60mm,a＝20°，求力Fn對(duì)O點(diǎn)的矩。FnFrFtFn2.2.2平面力偶由兩個(gè)大小相等、方向相反且不共線(xiàn)的平行力組成的力系，稱(chēng)為力偶，記為(F,F')。力偶的兩力之間的垂直距離d稱(chēng)為力臂，力偶所在的平面稱(chēng)為力偶作用面。力偶不能合成為一個(gè)力，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。力偶與力偶矩2.2.2力偶與力偶矩FF'dDABC力偶是由兩個(gè)力組成的特殊力系，它的作用只改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力偶矩來(lái)度量。平面力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)由以下兩個(gè)因素決定：(1)力偶矩的大??；(2)力偶在作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向。平面力偶可視為代數(shù)量，以M或M(F,F')表示，平面力偶矩是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力的大小與力偶臂的乘積，正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之則為負(fù)。力偶的單位與力矩相同。2.2.3同平面內(nèi)力偶的等效定理定理定理：在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。推論：(1)任一力偶可以在它的作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對(duì)剛體的作用。因此，力偶對(duì)剛體的作用與力偶在其作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變力偶對(duì)剛體的作用。F0F0ABDCdFF1F22.2.3同平面內(nèi)力偶的等效定理定理力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如圖所示的符號(hào)表示力偶。M為力偶的矩。M1(F1,F'1)，M2(F2,F'2)

在同平面內(nèi)的任意個(gè)力偶可以合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于各個(gè)力偶矩的代數(shù)和。

2.2.3平面力偶系的合成2.2.4平面力偶系的平衡條件所謂力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即思考題1剛體上A、B、C、D四點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形，如在其四個(gè)頂點(diǎn)作用有四個(gè)力，此四力沿四個(gè)邊恰好組成封閉的力多邊形，如圖所示。此剛體是否平衡？F1F3BACDF2F4思考題2PORM從力偶理論知道，一力不能與力偶平衡。圖示輪子上的力P為什么能與M平衡呢？FO[例3]在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為,求工件的總切削力偶矩和A、B端水平反力?解:各力偶的合力偶矩為根據(jù)平面力偶系平衡方程有:由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，力NA與力NB組成一力偶。[例4]圖示結(jié)構(gòu)，已知M=800N.m，求A、C兩點(diǎn)的約束反力。[例5]圖示桿系，已知m，l。求A、B處約束力。解：1、研究對(duì)象二力桿：AD2、研究對(duì)象：整體思考：CB桿受力情況如何？m練習(xí)：解：1、研究對(duì)象二力桿：BC2、研究對(duì)象：整體mAD桿[例6]不計(jì)自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為M1與M2的力偶作用，轉(zhuǎn)向如圖。問(wèn)M1與M2的比值為多大，結(jié)構(gòu)才能平衡?60o60oABCDM1M2解:取桿AB為研究對(duì)象畫(huà)受力圖。桿AB只受力偶的作用而平衡且C處為光滑面約束，則A處約束反力的方位可定。ABCM1RARCMi=0RA=RC=R,AC=aaR-M1=0M1=aR(1)60o60oABCDM1M2取桿CD為研究對(duì)象。因C點(diǎn)約束方位已定,則D點(diǎn)約束反力方位亦可確定，畫(huà)受力圖。60o60oDM2BCARDRCRD=RC=RMi=0-0.5aR+M2=0M2=0.5aR(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:M1/M2=260o60oABCDM1M22.3.1力線(xiàn)平移定理

定理：可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力F平行移到任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來(lái)的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。

力線(xiàn)平移定理的逆步驟，亦可把一個(gè)力和一個(gè)力偶合成一個(gè)力。2.3平面任意力系A(chǔ)BMABF′F′F″FABF＝＝①力的平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力力+力偶②力平移的條件是附加一個(gè)力偶m，且m與d有關(guān)，m=F?d

③力的平移定理是力系簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)。說(shuō)明：OxyijOOxyF1F2FnF1′F2′Fn′MnM2M1MOFR′2.3.2平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化·主矢與主矩2.3.2平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化·主矢與主矩平面匯交力系力，F(xiàn)R′(主矢，作用在簡(jiǎn)化中心)平面力偶系力偶，MO

(主矩，作用在該平面上)平面任意力系平面匯交力系+平面力偶系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化其中平面匯交力系的合力為平面力偶系的合成結(jié)果為平面任意力系中各力的矢量和稱(chēng)為平面任意力系的主矢。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。2.3.2平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化·主矢與主矩

原力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和稱(chēng)為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。一般來(lái)說(shuō)，主矩與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。2.3.2平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化·主矢與主矩平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力等于該力系的主矢，作用線(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)化中心O。這個(gè)力偶的矩等于該力系對(duì)于點(diǎn)O的主矩。主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)，主矩和簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。AAA一物體的一端完全固定在另一物體上所構(gòu)成的約束稱(chēng)為固定端或插入端支座。2.3.2平面固定端約束AMAFAyFAxFAMA2.3.3平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果分析四種情況：(1)F'R＝0，MO≠0;(2)F'R≠

0，MO＝0;(3)F'R≠

0，MO≠0;(4)F'R＝0，MO＝0(1)平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶的情形原力系合成為合力偶。合力偶矩M等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。F4F1F2F3ABCD四個(gè)力是否平衡？

F'R＝0，MO≠02.3.3平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果分析(2)平面任意力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力的情形·合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，則此時(shí)平面力系簡(jiǎn)化為一合力，作用線(xiàn)恰好通過(guò)簡(jiǎn)化中心。如果主矢和主矩均不等于零，此時(shí)還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一合力。如圖OO′FR′dFR″FRFRMOFR′OO′dOO′結(jié)論：平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。這就是平面任意力系的合力矩定理。2.3.3平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果分析FRdOO′從圖中可以看出所以由主矩的定義知：簡(jiǎn)化中心：A點(diǎn)主矢思考：三角形分布載荷處理？主矩簡(jiǎn)化最終結(jié)果yxMAdxlFR=分布在較大范圍內(nèi)，不能看作集中力的荷載稱(chēng)分布荷載。若分布荷載可以簡(jiǎn)化為沿物體中心線(xiàn)分布的平行力，則稱(chēng)此力系為平行分布線(xiàn)荷載，簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn)荷載。結(jié)論：1、合力的大小等于線(xiàn)荷載所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線(xiàn)荷載的方向相同。3、合力的作用線(xiàn)通過(guò)荷載圖的形心。2.3.3平行分布線(xiàn)荷載的簡(jiǎn)化1、均布荷載2、三角形荷載3、梯形荷載l/2l/2qQQqq2q1可以看作一個(gè)三角形荷載和一個(gè)均布荷載的疊加634ABC

[例]圖示力系，已知：P1=100N,P2=50N,P3=200N,圖中距離單位cm。求：1、力系主矢及對(duì)A點(diǎn)之矩？2、力系簡(jiǎn)化最后結(jié)果。解：1、建立坐標(biāo)系xy2、X=∑Fx=P3=200NY=∑Fy=P1+P2=100+50=150N∴主矢∴=36.9°ABCxy2、簡(jiǎn)化最終結(jié)果MAh主矢主矩最終結(jié)果合力大?。悍较?=36.9°位置圖示：方向：=36.9°在A(yíng)點(diǎn)左還是右？2.3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程平衡條件平面任意力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。即2.3.4平面任意力系的平衡條件和平衡方程

平衡方程即：平面任意力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在其作用面內(nèi)兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，所有各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。上式稱(chēng)為平面任意力系的平衡方程。由于所以解：以剛架為研究對(duì)象，受力如圖。解之得：例1例1求圖示剛架的約束反力。APabqAPqFAyFAxMA例2例2求圖示梁的支座反力。解：以梁為研究對(duì)象，受力如圖。解之得：ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx(1)二矩式其中A、B兩點(diǎn)的連線(xiàn)AB不能垂直于投影軸x。由后面兩式知：力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只能簡(jiǎn)化為過(guò)A、B兩點(diǎn)的一合力或處于平衡。再加第一條件，若AB連線(xiàn)不垂直于x軸(或y軸），則力系必平衡。2.3.4平衡方程的其它形式(2)三矩式其中A、B、C三點(diǎn)不能在同一條直線(xiàn)上。注意：以上格式分別有三個(gè)獨(dú)立方程，只能求出三個(gè)未知數(shù)。

由前面兩式知：力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，只能簡(jiǎn)化為過(guò)A、B兩點(diǎn)的一合力或處于平衡，再加第三條件，力系只能簡(jiǎn)化為過(guò)A、B、C三點(diǎn)的一合力或處于平衡，若三點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上，則力系必平衡。例3例3懸臂吊車(chē)如圖所示。橫梁AB長(zhǎng)l＝2.5m，重量P＝1.2kN，拉桿CB的傾角a＝30°，質(zhì)量不計(jì)，載荷Q＝7.5kN。求圖示位置a＝2m時(shí)拉桿的拉力和鉸鏈A的約束反力。例3解：取橫梁AB為研究對(duì)象。ABEHPQFTFAyFAxaa從(3)式解出代入(1)式解出代入(2)式解出例3CABEHPQFTFAyFAxaa如果再分別取B和C為矩心列平衡方程得有效的方程組合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,3,5;1,4,5;2,4,5；3,4,5;

力的作用線(xiàn)在同一平面且相互平行的力系稱(chēng)平面平行力系。平面平行力系作為平面任意力系的特殊情況，當(dāng)它平衡時(shí)，也應(yīng)滿(mǎn)足平面任意力系的平衡方程，選如圖的坐標(biāo)，則∑Fx＝0自然滿(mǎn)足。于是平面平行力系的平衡方程為：平面平行力系的平衡方程也可表示為二矩式：其中AB連線(xiàn)不能與各力的作用線(xiàn)平行。2.3.4平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn[例4]已知：塔式起重機(jī)P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如圖。求：①保證滿(mǎn)載和空載時(shí)不致翻倒，平衡塊Q=？②當(dāng)Q=180kN時(shí)，求滿(mǎn)載時(shí)軌道A、B給起重機(jī)輪子的反力？ 限制條件：解：⑴首先考慮滿(mǎn)載時(shí)，起重機(jī)不向右翻倒的Q：②空載時(shí)，W=0由限制條件為：解得因此保證空、滿(mǎn)載均不倒，Q應(yīng)滿(mǎn)足如下關(guān)系：解得:⑵求當(dāng)Q=180kN，滿(mǎn)載W=200kN時(shí)，NA,NB為多少由平面平行力系的平衡方程可得：

解得：由若干個(gè)物體通過(guò)約束所組成的系統(tǒng)稱(chēng)為物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)物系。外界物體作用于系統(tǒng)的力稱(chēng)該系統(tǒng)的外力。系統(tǒng)內(nèi)各物體間相互作用的力稱(chēng)該系統(tǒng)的內(nèi)力。當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個(gè)物體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。因此，當(dāng)研究物體系統(tǒng)的平衡時(shí)，研究對(duì)象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個(gè)物體。2.4物體系的平衡·靜定和超靜定問(wèn)題在靜力學(xué)中求解物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題時(shí)，若未知量的數(shù)目不超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)目，則由剛體靜力學(xué)理論，可把全部未知量求出，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜定問(wèn)題。若未知量的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，則全部未知量用剛體靜力學(xué)理論無(wú)法求出，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題。而總未知量數(shù)與總獨(dú)立平衡方程數(shù)之差稱(chēng)為靜不定次數(shù)。2.4物體系的平衡·靜定和超靜定問(wèn)題

靜不定問(wèn)題在強(qiáng)度力學(xué)（材力,結(jié)力,彈力）中用位移諧調(diào)條件來(lái)求解。靜定（未知數(shù)三個(gè)）

靜不定（未知數(shù)四個(gè)）判斷各圖的超靜定次數(shù)例5例5求圖示三鉸剛架的支座反力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如圖?？山獾茫篊BqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy例5再以AC為研究對(duì)象，受力如圖。解得：FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF例6例6求圖示多跨靜定梁的支座反力。解：先以CD為研究對(duì)象，受力如圖。再以整體為研究對(duì)象，受力如圖。CBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD例7例7求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束反力。解：先以BC為研究對(duì)象，受力如圖。再以AB部分為研究對(duì)象，受力如圖。求得CBqFAMbaaFBMCBFCF'BFAyqFBAMAFAx例4例8組合結(jié)構(gòu)如圖所示，求支座反力和各桿的內(nèi)力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如圖。解之得：aaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAyF1F2F3Cxy45°例4再以鉸C為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。aaabDACEFBq123例9例9圖示結(jié)構(gòu)，各桿在A(yíng)、E、F、G處均為鉸接，B處為光滑接觸。在C、D兩處分別作用力P1和P2，且P1＝P2＝500N，各桿自重不計(jì)，求F處的約束反力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如圖。解得：2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB例9再以DF為研究對(duì)象，受力如圖。解得：最后以桿BG為研究對(duì)象，受力如圖。解得：P2DEFFEyFFyFFxFExFGyFBFGBFGxF'FyF'Fx2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2ABCD例10例10三根等長(zhǎng)同重均質(zhì)桿(重W)如圖在鉛垂面內(nèi)以鉸鏈和繩EF構(gòu)成正方形。已知：E、F是AB、BC中點(diǎn)，AB水平，求繩EF的張力。解1：取AB分析，受力如圖。不妨設(shè)桿長(zhǎng)為l。再以整體為研究對(duì)象，受力如圖。ABCDFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy例10最后以DC為研究對(duì)象，受力如圖。聯(lián)立求解(1)、(2)、(3)得：FCyFCxDCFDxFDyWABCD解2：先以BC為研究對(duì)象，受力如圖。再以DC為研究對(duì)象，受力如圖。F'CxF'CyF'BxF'ByBCWF'TABCD例10聯(lián)立求解(4)、(5)、(6)即可的同樣結(jié)果。最后以整體為研究對(duì)象，受力如圖。ABCDWWWFAxFAyFDxFDyABCD解2：先以BC為研究對(duì)象，受力如圖。再以DC為研究對(duì)象，受力如圖。例11例11三無(wú)重桿AC、BD、CD如圖鉸接，B處為光滑接觸，ABCD為正方形，在CD桿距C三分之一處作用一垂直力P，求鉸鏈E處的反力。解：先以整體為研究對(duì)象，受力如圖。解得：PlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFBEPD2l/3CB例11下面用不同的方法求鉸鏈E的受力。方法1：先以DC為研究對(duì)象。再以BDC為研究對(duì)象。類(lèi)似地，亦可以DC為研究對(duì)象，求FDy，再以ACD為研究對(duì)象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy例11方法2：分別以ACD和AC為研究對(duì)象。聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結(jié)果。類(lèi)似地，亦可以BDC和BD為研究對(duì)象，進(jìn)行求解。P2l/3DCAEF'ExF'EyFDxFDyFAxFAyCAEFAxFAyF'ExF'EyF'CxF'Cy例11方法3：分別以BD和AC為研究對(duì)象，受力如圖。用RE1、RE2表示的約束反力和用FEx、FEy表示的約束反力本質(zhì)上是同一個(gè)力。CAEFAxFAyF'ExF'EyF'E2F'E1DBEF'DxF'DyFE2FE1FB例12例12兩根鉛直梁AB、CD與水平梁BC鉸接，B、C、D均為光滑鉸鏈，A為固定支座，各梁的長(zhǎng)度均為l＝2m，受力情況如圖所示。已知水平力F＝6kN，M＝4kN·m，q＝3kN/m。求固定端A及鉸鏈C的約束反力。ABC