第二章被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型

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第一節(jié)概述第二節(jié)對(duì)象數(shù)學(xué)模型的建立第三節(jié)描述對(duì)象特性的參數(shù)第一節(jié)概述

數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)輸入作用與輸出作用之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。其表達(dá)形式主要有兩類：即非參量模型和參量模型。

非參量模型是指用曲線或數(shù)據(jù)表格形式來表示的數(shù)學(xué)模型。

參量模型是指用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述的數(shù)學(xué)模型。下面我們主要討論參量模型。

控制系統(tǒng)中需要建立數(shù)學(xué)模型的，不局限于被控對(duì)象，系統(tǒng)中的每一個(gè)部分都需要建立數(shù)學(xué)模型。但相對(duì)來說，被控對(duì)象之外部分的數(shù)學(xué)模型很多是控制儀表及裝置的模型，其特性已經(jīng)研究得比較多，而且變化很少。被控對(duì)象則比較復(fù)雜，不同的控制系統(tǒng)，被控對(duì)象的差異極大。因此，建模的重點(diǎn)是對(duì)象的建模。被控對(duì)象千差萬別，建立模型特別是機(jī)理建模，需要對(duì)被控對(duì)象有比較透徹的了解。1．控制對(duì)象的特點(diǎn)

控制對(duì)象系統(tǒng)相對(duì)較大、較為復(fù)雜，時(shí)間常數(shù)大、滯后大，具有非線性、分布參數(shù)和時(shí)變特性，因此建模比較困難，需要在模型的簡(jiǎn)化上做工作，更多地需要從實(shí)驗(yàn)中建立模型。2．簡(jiǎn)化模型

實(shí)際的物理系統(tǒng)是非常復(fù)雜的，控制對(duì)象也是如此，必須對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化處理，才能有效地建模。通常的做法是：（1）從分布參數(shù)到集中參數(shù)所有系統(tǒng)的模型本質(zhì)上都是分布參數(shù)（數(shù)理統(tǒng)計(jì)名詞）的，但分布參數(shù)模型太復(fù)雜，難建立也難以處理。因此，通常都是將它簡(jiǎn)化為集中參數(shù)系統(tǒng)來建立模型。當(dāng)然，這僅僅在一定的范圍內(nèi)是有效的。（2）從非線性到線性實(shí)際的物理系統(tǒng)存在許多非線性，只要系統(tǒng)中任何一個(gè)環(huán)節(jié)是非線性的，系統(tǒng)就是非線性的。線性系統(tǒng)的重要特征是可以運(yùn)用疊加原理，這將使系統(tǒng)建模分析大大簡(jiǎn)化。因此，在很多情況下，應(yīng)該盡量將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)來建模和分析。3．建模方法

系統(tǒng)的建模方法分為兩大類：機(jī)理建模與實(shí)驗(yàn)建模。開始人們傾向于機(jī)理建模，認(rèn)為這樣的模型有理論依據(jù)，物理意義明確。但對(duì)于較復(fù)雜的系統(tǒng)，做了許多簡(jiǎn)化與理想化后，才能建立起機(jī)理模型。實(shí)驗(yàn)室建模似乎是迫不得已的辦法，但在數(shù)據(jù)處理能力大大提高的今天，它也有較強(qiáng)的生命力。機(jī)理建模就像是“開環(huán)控制”，理論上可以做到很精確，但實(shí)際上很難；試驗(yàn)建模就像是“閉環(huán)控制”，不管對(duì)象有多復(fù)雜，都可用這種綜合方法來對(duì)付它。

對(duì)于一個(gè)新的建模問題，可以先建立一個(gè)比較簡(jiǎn)化的機(jī)理模型，對(duì)之進(jìn)行一些初步的了解和研究。然后再試圖建立一個(gè)比較完善的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行比較全面和精確的研究。最好是機(jī)理建模與實(shí)驗(yàn)建模相互印證、相互補(bǔ)充和完善。第二節(jié)對(duì)象數(shù)學(xué)模型的建立一、機(jī)理建模機(jī)理建模就是根據(jù)被研究對(duì)象的物理化學(xué)性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律來建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。因此，需要掌握對(duì)象的能量平衡關(guān)系、物料平衡關(guān)系、動(dòng)量平衡關(guān)系、化學(xué)反應(yīng)規(guī)律、電路電子原理等知識(shí)，難度相當(dāng)大。因此，必須作出合理的假設(shè)，建模才是可行的。通常總是假設(shè)系統(tǒng)是集中參數(shù)的和線性的，當(dāng)然，在這樣的假設(shè)條件下，建立的模型只能在一定的工作范圍內(nèi)適用。

但是，各種假設(shè)的合理程度如何？簡(jiǎn)化的方法是否正確？模型的適用工作范圍如何？這一系列問題，最終還是要通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證和修正。控制系統(tǒng)中，需要建模的對(duì)象包括了各種類型的元器件、儀表與裝置（有電子的、機(jī)械的、氣動(dòng)的、液動(dòng)的），簡(jiǎn)單的如杠桿系統(tǒng)，復(fù)雜的如反應(yīng)器等等。下面我們著重介紹化工等過程設(shè)備裝置的數(shù)學(xué)模型。1、一階系統(tǒng)

當(dāng)一個(gè)對(duì)象可以用一階微分方程描述其特性時(shí)，它就是一個(gè)一階對(duì)象或一階系統(tǒng)。設(shè)其微分方程表示為：（2-1）式中，x為對(duì)象的輸入變量，y為對(duì)象的輸出變量；T稱為時(shí)間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)。經(jīng)拉普拉斯變換并整理得傳遞函數(shù)：（2-2）用方塊圖表示為（圖2-1）很多實(shí)際的物理對(duì)象，其數(shù)學(xué)模型是一階系統(tǒng)或者可以近似地用一階系統(tǒng)來描述。如R－C電路和水槽就是最常見的一階系統(tǒng)。（1）R－C電路用途：整流濾波、閃光燈等在圖2－2所示的電路中，設(shè)ei為輸入電壓，是該系統(tǒng)的輸入變量；電容兩端的電壓為輸出電壓，是該系統(tǒng)的輸出變量；i是流過電阻R的電流。根據(jù)電路原理中的科希霍夫定律，有：

ei＝iR＋e0和消去中間變量i，得到ei與e0之間的關(guān)系式：（2-3）

上式是一階微分方程，說明R-C電路是一階系統(tǒng)。此處T=RC，K=1。經(jīng)拉普拉斯變換并整理得R-C電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（2-4）

R－C電路很直觀，也很簡(jiǎn)單，電阻和電容的概念比較清晰。許多物理系統(tǒng)如液位系統(tǒng)、熱力學(xué)系統(tǒng)和氣動(dòng)系統(tǒng)有類似的概念。（2）水槽

如圖2-3所示，水槽的液面高度為h，我們希望這個(gè)液位能比較穩(wěn)定，這里將它定為該系統(tǒng)的輸出變量或被控變量。輸入流量Qi由閥門1加以調(diào)節(jié)，從而保持液位h的穩(wěn)定，Qi是系統(tǒng)的輸入變量。對(duì)水槽的流出量Q0，閥門2不加以控制，它是系統(tǒng)的中間變量，隨h發(fā)生變化，但卻有一定的自衡能力。h的變化是由階躍干擾△Qi引起的。閥門2相當(dāng)于一個(gè)負(fù)載，或者是類似于R－C電路中的電阻R，可稱為液阻R：當(dāng)流過閥門2中的流體狀態(tài)為層流時(shí)，有

Q0＝Kh（2-6）由以上兩式，可求得此時(shí)的液阻R：由于K是一個(gè)常數(shù)，故R也是一個(gè)常數(shù)，這與電阻很相似。對(duì)于水槽系統(tǒng)，還可以定義類似于電容的液容C：

很顯然，對(duì)于橫截面積保持不變的容器，液容等于橫截面積A（即C=A）。當(dāng)系統(tǒng)中的液體流動(dòng)為層流時(shí)，系統(tǒng)是線性的；當(dāng)液體流動(dòng)狀態(tài)為紊流時(shí)，系統(tǒng)是非線性的，但在變量很小的變化范圍內(nèi)，可以線性化。因此，在很小的時(shí)間dt之內(nèi)，水槽的液體體積變化量為

Cdh=（qi－q0）dt（2－7）qi和q0是相對(duì)于穩(wěn)定值Qi和Q0的微小變化量。將中間變量q0消去(q0=h/R)，得此處T=RC，K=R。經(jīng)拉普拉斯變換并整理得傳遞函數(shù)為：（2-8）

從上面兩例，可以看到它們的微分方程和傳遞函數(shù)都很相似，一階系統(tǒng)的放大系數(shù)：

K=1R－C電路

K=R水槽系統(tǒng)

R－C電路和水槽系統(tǒng)中，時(shí)間常數(shù)T均等于RC。（K和T的物理意義將在后續(xù)章節(jié)中介紹）。2、非自衡系統(tǒng)

前面分析的水槽系統(tǒng)，當(dāng)液位升高時(shí)，出口流量q0會(huì)自動(dòng)增加，使液位穩(wěn)定在一定的工作范圍內(nèi)，系統(tǒng)能自動(dòng)達(dá)到一個(gè)平衡狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)稱為自衡系統(tǒng)，在控制系統(tǒng)中是最常見的，也是比較易于控制的系統(tǒng)。

圖2－4所示的系統(tǒng)，是沒有自衡能力的。其輸出流量由一個(gè)正位移泵抽出，保持恒定，與液位無關(guān)。因此，當(dāng)Qi發(fā)生變化，使液位h偏離平衡值時(shí)，系統(tǒng)不會(huì)自動(dòng)到達(dá)平衡狀態(tài)。如果Qi有一個(gè)增量且保持不變，則液位將持續(xù)上升，直至溢出。這樣的系統(tǒng)稱為非自衡或無自衡系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)相對(duì)于自衡系統(tǒng)比較難于控制。由方程（2-7），且此時(shí)q0=0，得

（2-9）所以該系統(tǒng)也常稱為積分對(duì)象。該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

（2-10）（注：上兩式中C為液容，也可以用橫截面積A）3．二階系統(tǒng)

當(dāng)一個(gè)對(duì)象可以用二階微分方程描述其特性時(shí)，它就是一個(gè)二階系統(tǒng)或二階對(duì)象。我們?cè)O(shè)其微分方程為：（2-11）對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并整理得（2-12）很多物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可用二階系統(tǒng)來描述，如R－C串聯(lián)電路和串聯(lián)水槽等。（1）R－C串聯(lián)電路

設(shè)ei為系統(tǒng)的輸入變量，e0為系統(tǒng)的輸出變量，由科希霍夫定律，得:(2-13)由該方程組解得R－C串聯(lián)電路的微分方程表達(dá)式為:(2-14)對(duì)方程（2－14）兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并整理得該二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

（2-15）（2）串聯(lián)水槽

對(duì)于串聯(lián)水槽，設(shè)Qi為系統(tǒng)的輸入變量，Q是中間變量，h1和Q0也是中間變量，h2是輸出變量。另外，還假設(shè)兩只水槽具有同樣的橫截面積A，液位與流出量具有線性關(guān)系，則液阻:分別寫出兩個(gè)水槽的物料平衡方程為

Adh1=（qi－q）dtAdh2=（q—q0）dt式中，qi、q、q0均為相應(yīng)的Qi、Q和Q0的微小變化量。由上述四個(gè)方程，消去中間變量h1、q和q0，解得輸入變量qi與輸出變量h2之間的微分方程為（2-16）對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，并設(shè)初始條件均為零，得到Qi到h2之間的傳遞函數(shù)為（2-17）設(shè)AR1=T1，AR2＝T2，R2=K，則有（2-18）

高于二階的對(duì)象，研究起來比較復(fù)雜，甚至無法進(jìn)行研究，通常都是將它們近似為一階和二階系統(tǒng)。

二、實(shí)驗(yàn)建模

實(shí)驗(yàn)建模原則上是把被研究對(duì)象看作為一個(gè)黑箱，通過施加不同的輸入信號(hào)，研究對(duì)象的輸出響應(yīng)信號(hào)與輸入激勵(lì)信號(hào)之間的關(guān)系，估計(jì)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。這種方法也可稱為系統(tǒng)辨識(shí)方法或黑箱方法。

很顯然，任何一個(gè)對(duì)象都可能有多個(gè)輸入變量和輸出變量，當(dāng)我們要研究的是x1與y1之間的關(guān)系時(shí)，就應(yīng)該將施加的輸入信號(hào)加在x1輸入端上，并記錄相應(yīng)的y1的變化。這種方法對(duì)于復(fù)雜對(duì)象更為有效。對(duì)于已知的一階或二階系統(tǒng)，通過實(shí)驗(yàn)方法測(cè)取其特性參數(shù)也很方便、實(shí)用。常用的方法有：

階躍擾動(dòng)法

當(dāng)對(duì)象處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，施加一個(gè)階躍信號(hào)到輸入端，記錄輸出端的變化曲線即可。階躍擾動(dòng)法的優(yōu)點(diǎn)是階躍信號(hào)容易獲得。當(dāng)對(duì)象的輸入量是流量時(shí)，只要將閥門開度突然變化一定幅度并保持不變即可，不需要另外的信號(hào)發(fā)生器。

對(duì)于水槽對(duì)象，階躍擾動(dòng)和相應(yīng)的反應(yīng)曲線如圖2－7所示。由反應(yīng)曲線可推得對(duì)象的數(shù)學(xué)模型及相關(guān)的參數(shù)。

將由輸入輸出曲線測(cè)得的參數(shù)數(shù)值，代入已推得的的微分方程或傳遞函數(shù)，就得到了完整的數(shù)學(xué)模型。在已知系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，再通過實(shí)驗(yàn)來確定數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的方法，又稱為系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)。

除了上面介紹的這種方法之外，還有矩形脈沖法和周期擾動(dòng)法。另外，還可以直接從正常生產(chǎn)過程的記錄數(shù)據(jù)中分析過程特性，建立數(shù)學(xué)模型。這種方法稱為在線辨識(shí)。但它需要大量的數(shù)據(jù)、較長(zhǎng)時(shí)間、較多的數(shù)據(jù)處理技術(shù)水平，而且精確度也不夠高。為了提高所得模型的可信度和精度，有時(shí)采用多種方法相互驗(yàn)證，相互補(bǔ)充。第三節(jié)描述對(duì)象特性的參數(shù)

描述對(duì)象特性的參數(shù)包括放大系數(shù)K、時(shí)間常數(shù)T和滯后時(shí)間τ，K和T已在前面討論的數(shù)學(xué)模型中看到過。下面我們討論這三個(gè)參數(shù)的物理意義以及在系統(tǒng)中所起的作用。一、放大系數(shù)K

仍以水槽系統(tǒng)為例，在輸入流量Qi等于輸出流量Q。，液位h處于某個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，使Qi突然有一個(gè)階躍變化，階躍幅度為a，并保持不變。由階躍擾動(dòng)法知道，此時(shí)，水槽的液位也有一個(gè)相應(yīng)的變化，經(jīng)過一段時(shí)間后，逐步趨于一個(gè)新的穩(wěn)態(tài)值，如圖2－8所示。

圖中，a是輸入流量的變化量，即階躍擾動(dòng)的幅值；b是液面最終穩(wěn)態(tài)值與原穩(wěn)態(tài)值之差。定義K為該系統(tǒng)的放大系數(shù)：

K=b/a=Δh/Δqi

=輸出增量/輸入增量（2-19）可見，放大系數(shù)K的物理意義就是把系統(tǒng)的輸入變化量放大K倍，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量。注意，由于b是系統(tǒng)經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的數(shù)值，因此，放大系數(shù)K是系統(tǒng)的靜態(tài)特性參數(shù)。

放大系數(shù)K是非常重要的特性參數(shù)。K越大，表明輸入信號(hào)對(duì)輸出的控制作用越強(qiáng)。如截面積很小的水槽，較小的輸入流量變化可能產(chǎn)生較大的輸出量液位的變化。而截面積很大的水槽，輸入流量的變化對(duì)輸出量的影響很小。對(duì)于一個(gè)被控變量，可能同時(shí)有幾個(gè)輸入變量對(duì)之產(chǎn)生影響，這時(shí)，應(yīng)該盡量選擇放大系數(shù)K較大的作為調(diào)節(jié)變量，其他輸入變量作為系統(tǒng)的干擾量。

如圖2－9所示，該系統(tǒng)共有3個(gè)輸入變量，選擇x3作為調(diào)節(jié)變量后，x1和x2就被認(rèn)為是該系統(tǒng)的干擾變量。從調(diào)節(jié)變量x3到輸出變量y之間的關(guān)系叫做調(diào)節(jié)通道，xl到y(tǒng)之間的關(guān)系叫做干擾通道1，x2到y(tǒng)之間的關(guān)系叫做干擾通道2。每個(gè)通道都有相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及相應(yīng)的放大倍數(shù)K。K越大，表明該通道的調(diào)節(jié)能力越強(qiáng)；對(duì)于干擾通道，K越大，表明該擾動(dòng)對(duì)輸出變量的影響越大。二、時(shí)間常數(shù)T

已知R－C電路的數(shù)學(xué)模型為從電路圖中，可以直觀地知道，當(dāng)電容充電結(jié)束后，電流i等于0，E0＝Ei，即該電路Ei到E0的調(diào)節(jié)通道放大系數(shù)K等于1。但E0是逐步達(dá)到最終值Ei的，它的快慢取決于T=RC的數(shù)值。T越大，表明電容C充滿電需要的時(shí)間越長(zhǎng)。這就是時(shí)間常數(shù)的物理意義。

同樣，在水槽系統(tǒng)中，對(duì)于相同的輸入流量變化量，截面積大的水槽要花更多的時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)液位值。如圖2－11所示，一個(gè)水槽的截面積為A1，另一個(gè)的截面積為A2，A2＞A1，故在相同的輸入流量變化量a的作用下，表現(xiàn)了不同的反應(yīng)曲線。

時(shí)間常數(shù)T可以用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)得。一階系統(tǒng)的微分方程，當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，即A=1，且K=1時(shí)求得

（2-20）由該方程，當(dāng)t=T時(shí)，

y（T）=1-e-1=0.632（2－21）依次還可以求得t=2T、3T、4T、5T等特殊點(diǎn)處的y值。同時(shí)對(duì)y（t）求導(dǎo)數(shù)得可求得反應(yīng)曲線起始點(diǎn)的切線的斜率為（2-22）將以上計(jì)算結(jié)果繪于圖2-12中。由公式（2-21）和圖2-12可見，當(dāng)反應(yīng)曲線上升到最終值的63．2％時(shí)，所用的時(shí)間正好為時(shí)間常數(shù)T。即對(duì)象的輸出增量保持初始變化速度，達(dá)到最終穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。因此，從實(shí)測(cè)的反應(yīng)曲線上，相應(yīng)于最終值的63．2％處的時(shí)間值就是時(shí)間常數(shù)T的數(shù)值。

從圖中還看到，當(dāng)時(shí)間t=3T時(shí)，曲線已經(jīng)很接近最終值，此時(shí)計(jì)算值為最終值的95％；當(dāng)時(shí)間t=5T時(shí)，曲線已幾乎與最終值重合，此時(shí)的計(jì)算值為最終值的99．3％。可見，時(shí)間常數(shù)T也是標(biāo)志系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程何時(shí)基本結(jié)束的重要參數(shù)。因此，時(shí)間常數(shù)T是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)參數(shù)。

另外，對(duì)于調(diào)節(jié)通道，時(shí)間常數(shù)T大，表明系統(tǒng)響應(yīng)較平穩(wěn)，系統(tǒng)較穩(wěn)定，通常比較容易控制，但調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)。如果時(shí)間常數(shù)T較小，系統(tǒng)相對(duì)比較難于控制。實(shí)際應(yīng)用中有一個(gè)適中的時(shí)間常數(shù)較好。對(duì)于干擾通道，時(shí)間常數(shù)越大，對(duì)調(diào)節(jié)越有利。三、滯后時(shí)間τ

有些物理對(duì)象，當(dāng)輸入信號(hào)發(fā)生變化后，輸出信號(hào)不會(huì)立即出現(xiàn)響應(yīng)，出現(xiàn)滯后現(xiàn)象。滯后時(shí)間τ就是用來描述系統(tǒng)滯后現(xiàn)象的特性參數(shù)。滯后現(xiàn)象有兩類：純滯后和容量滯后。l、純滯后τ0

純滯后又叫做傳遞滯后，用τ0表示。產(chǎn)生純滯后的原因通常是由于物料的傳輸需要一定的時(shí)間，如圖2－13所示的溶解槽濃度系統(tǒng)。

當(dāng)濃度需要增加一定幅值時(shí)，操作進(jìn)料量操縱板，使料體進(jìn)料量增加。但是，由于粉體進(jìn)料量的增加量a要經(jīng)過輸送皮帶的傳送，滯后一定的時(shí)間τ0才能進(jìn)入溶解槽，系統(tǒng)的輸出量濃度y才會(huì)響應(yīng)。也就是說，從輸入信號(hào)料體進(jìn)料量有了變化，到輸出信號(hào)濃度開始變化的這段時(shí)間里，溶解槽無法感受到進(jìn)料的變化。這段時(shí)間的長(zhǎng)短取決于粉體傳送距離L和皮帶機(jī)的輸送速度U，故（2-23）

上述分析，是以粉體加料斗下方的進(jìn)料量操縱板處的進(jìn)料量作為系統(tǒng)的輸入變量的；如果從溶解槽液面處的進(jìn)料量作為系統(tǒng)的輸入變量來分析并畫圖，則相當(dāng)于在圖中τ0時(shí)刻才有增量a，輸出變量y幾乎是立即產(chǎn)生響應(yīng)的。這說明可以把原來的帶有純滯后的一階系統(tǒng)分解為一個(gè)獨(dú)立的純滯后環(huán)節(jié)和一個(gè)獨(dú)立的無純滯后的一階環(huán)節(jié)。在反應(yīng)曲線圖形上，帶有純滯后的一階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線與無純滯后的一階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線比較，形狀完全一致，只是右移了滯后時(shí)間τ0而已。2、容量滯后τc

所謂容量滯后，是系統(tǒng)的輸入變量變化后，輸出變量的變化相當(dāng)緩慢，在一段時(shí)間內(nèi)幾乎觀察不到，然后，才逐漸顯著地開始變化。這是由于系統(tǒng)中物料