第二章隨機(jī)信號(hào)分析復(fù)習(xí)

第二章隨機(jī)信號(hào)分析復(fù)習(xí)

南京航空航天大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)的傳輸確定信號(hào)通過線性系統(tǒng)的傳輸解析信號(hào)與希爾伯特變換確知信號(hào)的分析1卷積與相關(guān)2345本章內(nèi)容2023/2/22copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組確知信號(hào)隨機(jī)信號(hào)周期信號(hào)非周期信號(hào)一、信號(hào)的分類：信號(hào)和系統(tǒng)分類二、系統(tǒng)分類時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)2023/2/23copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組1、傅里葉級(jí)數(shù)一個(gè)周期性信號(hào)f(t),只要它滿足狄里赫利條件，就可以用傅里葉級(jí)數(shù)表示，并可以采用三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)兩種不同的表示方式。信號(hào)的頻譜分析2023/2/24copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組三角函數(shù)形式實(shí)際情況其中：ω0=2π/T稱為基波，nω0稱為n次諧波。

2023/2/25copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組指數(shù)表示形式理論分析其中：兩種表達(dá)式的關(guān)系為2023/2/26copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組

第二種是推導(dǎo)出來的，它將一個(gè)頻率為n0的正弦波變?yōu)閚0和-n0兩個(gè)頻率成分的指數(shù)函數(shù)。這個(gè)表示式?jīng)]有什么物理意義，但是，它是付氏變換推導(dǎo)的基礎(chǔ)，另外它作為一種中間運(yùn)算工具是很有用處的，是常用的一種表達(dá)式。

第一種表示式是基本的，各系數(shù)都有相應(yīng)的計(jì)算公式，但由于一個(gè)頻率成分要用相互正交的兩項(xiàng)表示，使用起來不方便。

傅氏級(jí)數(shù)建立了周期信號(hào)f(t)時(shí)域和頻域的相互關(guān)系。兩種表達(dá)式特點(diǎn)2023/2/27copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組傅里葉變換

非周期信號(hào)不能直接展開成傅里葉級(jí)數(shù)，但可以把它看成是周期T的極限情況。傅里葉反變換傅里葉正變換通常記做于是可得傅里葉變換表達(dá)式2023/2/28copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組0tδ(t)特例：沖激函數(shù)δ(t)0F()1如果頻域函數(shù)為δ()，則時(shí)域函數(shù)為所以：2023/2/29copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組能量譜密度和功率譜密度1、能量信號(hào)和功率信號(hào)一個(gè)信號(hào)f(t)作用在1Ω電阻上，其瞬時(shí)功率為：消耗的能量為：平均功率為：如果E存在，則f(t)為能量信號(hào)，此時(shí)平均功率為0。如果E不存在，而S存在，則f(t)為功率信號(hào)。2023/2/210copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組2.帕什瓦爾定理2)若f(t)是周期性的功率信號(hào)，且其指數(shù)形式的傅里傅葉級(jí)數(shù)為：,則下述關(guān)系式成立1)若f(t)是能量信號(hào)，且其傅里葉變換為F()，則有能量和功率計(jì)算的二種計(jì)算方法：通過時(shí)域/頻域函數(shù)2023/2/211copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組帕塞瓦爾定理的意義：帕什瓦爾定理把一個(gè)信號(hào)的能量或功率的計(jì)算和頻譜函數(shù)或頻譜聯(lián)系起來了。帕什瓦爾定理給出一個(gè)很重要的概念:能量信號(hào)的總能量等于各個(gè)頻率分量單獨(dú)貢獻(xiàn)出來的能量的連續(xù)和；周期性功率信號(hào)的平均功率等于各個(gè)頻率分量單獨(dú)貢獻(xiàn)出來的功率之和。2023/2/212copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組設(shè)f()為f(t)的能量譜密度，代表信號(hào)能量沿頻率軸的分布狀況設(shè)f()為功率譜密度，代表信號(hào)功率沿頻率軸的分布狀況3、能量密度譜與功率密度譜2023/2/213copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組1、能量信號(hào)2、一般功率信號(hào)3、周期信號(hào)2023/2/214copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組功率譜密度和能量譜密度都與振幅--頻率特性有關(guān)，而與相位--頻率特性無關(guān)。因此，從功率譜密度和能量譜密度中只能獲得信號(hào)振幅的信息，而得不到信號(hào)相位的信息。注意：2023/2/215copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)的傳輸確定信號(hào)通過線性系統(tǒng)的傳輸解析信號(hào)與希爾伯特變換確知信號(hào)的分析1卷積與相關(guān)2345本章內(nèi)容2023/2/216copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組三、卷積與相關(guān)1、卷積的定義與性質(zhì)

給定兩函數(shù)f1(t)，f2(t)，則為f1(t)和f2(t)的卷積b、與沖擊函數(shù)的卷積

a、卷積的定義

2023/2/217copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組(1)時(shí)間卷積定理即時(shí)域的卷積對應(yīng)頻域的乘積(2)頻率卷積定理即時(shí)域中乘積對應(yīng)頻域的卷積卷積定理2023/2/218copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組設(shè)為時(shí)域內(nèi)搜索f1(t)、f2(t)兩波形相關(guān)程度的獨(dú)立參數(shù)，則記做兩函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)。功率信號(hào)：周期為T的信號(hào)：能量信號(hào)：2、相關(guān)的定義與性質(zhì)2023/2/219copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組如果兩個(gè)信號(hào)的形式完全相同，即f1(t)=f2(t)，則互相關(guān)函數(shù)就變成自相關(guān)函數(shù)R()。對于能量信號(hào)對于功率信號(hào)2023/2/220copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組1)若對于所有的說明兩函數(shù)不相關(guān)；2)互相關(guān)函數(shù)不滿足交換率；3)1)=0時(shí)，兩波形在時(shí)間上完全重和，故相關(guān)性最好，R(0)為最大；2)R(t)=R(-t)自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)2023/2/221copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組3)

能量信號(hào)，總能量功率信號(hào)，平均功率4)周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)也是周期性的，而且是同周期的。2023/2/222copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組周期信號(hào)：非周期信號(hào)：3.自相關(guān)函數(shù)與密度譜的關(guān)系1)能量信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其能量譜密度互為傅里葉變換對；2)功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度互為傅里葉變換對。2023/2/223copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)的傳輸確定信號(hào)通過線性系統(tǒng)的傳輸解析信號(hào)與希爾伯特變換確知信號(hào)的分析1卷積與相關(guān)2345本章內(nèi)容2023/2/224copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組設(shè)f(t)是一個(gè)實(shí)信號(hào)，則F()=F*(-)成立。有1、解析信號(hào)：解析信號(hào)與希爾伯特變換令稱f+(t)為解析信號(hào)（或預(yù)包絡(luò)），它是一個(gè)復(fù)函數(shù)。2023/2/225copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組令可寫成同理有f-(t)是解析信號(hào)f+(t)的復(fù)共軛已知f(t),如何求解析信號(hào)？2023/2/226copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組解析信號(hào)具有單邊譜特性；解析信號(hào)的頻譜為原信號(hào)頻譜的單邊譜的2倍；解析信號(hào)的頻譜與其共軛的頻譜之和為原頻譜的兩倍。A-0002A-0F()F+()2、解析信號(hào)的性質(zhì)2023/2/227copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組3.希爾伯特變換前面引進(jìn)了，那么它代表什么含義，與f(t)又是什么關(guān)系？利用符號(hào)函數(shù)sgn()于是有：移項(xiàng)，得到將2023/2/228copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組對兩邊求付氏變換有于是，我們將上式稱作希爾伯特正變換同時(shí)將稱作希爾伯特反變換2023/2/229copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組希爾伯特變換的物理意義是將信號(hào)f(t)的所頻率成分都相移90o，而幅度保持不變。具有這種特性的網(wǎng)絡(luò)稱之為希爾伯特濾波器。即：那么傳輸函數(shù)為如果將看成是經(jīng)過一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輸出，則有希爾伯特變換的物理意義2023/2/230copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組希爾伯特濾波器幅度-頻率和相位-頻率特性即：2023/2/231copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組f(t)與正交；f(t)與有相同的自相關(guān)函數(shù)；f(t)與有相同的能量譜或功率譜；若，則；3、希爾伯特變換的性質(zhì)2023/2/232copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組

1.余弦函數(shù)的希氏變換為正弦函數(shù)；

2.低通信號(hào)與余弦函數(shù)乘積的希氏變換為該函數(shù)與正弦函數(shù)的乘積。結(jié)論：4、希爾伯特變換特例2023/2/233copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)的傳輸確定信號(hào)通過線性系統(tǒng)的傳輸解析信號(hào)與希爾伯特變換確知信號(hào)的分析1卷積與相關(guān)2345本章內(nèi)容2023/2/234copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組如果輸入為f(t),輸出為g(t)，那么線性時(shí)不變系統(tǒng)有如下特性：穩(wěn)定性：輸入有限時(shí)，輸出亦為有限。1.線性時(shí)不變系統(tǒng)的基本特性2023/2/235copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組

單位沖激信號(hào)做為線性系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)稱作單位沖激響應(yīng)h(t)；

H()稱作傳輸函數(shù)，反映了系統(tǒng)對輸入函數(shù)的影響。頻域表示法時(shí)域表示法線性系統(tǒng)f(t)y(t)輸入信號(hào)輸出信號(hào)線性系統(tǒng)δ(t)h(t)2、線性系統(tǒng)的傳輸特性2023/2/236copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組3、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)式中，K、t0是常數(shù)。對傳輸函數(shù)的要求是什么樣的呢？

y(t)=Kf(t-t0)定義：所謂無失真?zhèn)鬏?，是指信?hào)經(jīng)過線性系統(tǒng)后，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比較只是有衰減、放大、和時(shí)延，而沒有波形的失真:無失真?zhèn)鬏數(shù)念l域條件：|H()|K2023/2/237copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組傳輸函數(shù)：沖激響應(yīng)：實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)本身的帶寬有限。只要求系統(tǒng)在信號(hào)帶寬范圍內(nèi)滿足上述條件即可，常采用理想低通濾波器來描述低通線性系統(tǒng)。4、理想低通濾波器2023/2/238copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組1、當(dāng)t<0時(shí)，h(t)不等于零；

2、在-W和W處，傳輸特性銳截止。該濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的，實(shí)際采用的濾波器只是近似于理想低通濾波器。φ()-Wt001H()th(t)0t0W/πW2023/2/239copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組5、線性系統(tǒng)響應(yīng)的密度譜

設(shè)輸入信號(hào)為f(t)，系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為h(t)，輸出響應(yīng)為y(t)，且有：對于能量信號(hào)有對于功率信號(hào)有通過系統(tǒng)后結(jié)論：線性系統(tǒng)輸出響應(yīng)的能量(功率)密度譜是輸入信號(hào)的能量(功率)密度譜與系統(tǒng)傳輸函數(shù)模值平方的乘積。2023/2/240copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組6、帶通傳輸系統(tǒng)的響應(yīng)復(fù)包絡(luò)的定義A-0002A-0X()X+()2A稱為x(t)的復(fù)包絡(luò)，是一個(gè)慢變的低通信號(hào)！將中心頻率為0的X+()頻譜平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，從而得一個(gè)新的頻譜函數(shù)，其幅度、形狀均保持不變。設(shè)x(t)是一個(gè)帶通信號(hào)，它的解析信號(hào)為2023/2/241copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組Xc(t)和Xs(t)是帶通信號(hào)x(t)的同相分量和正交分量！這里稱之為信號(hào)x(t)的復(fù)包絡(luò)。它是一個(gè)慢變化的低通信號(hào)，可表示成：由于其中2023/2/242copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組將帶通濾波器的沖激響應(yīng)表示為解析信號(hào)或復(fù)包絡(luò)的形式，帶通系統(tǒng)輸出響應(yīng)的復(fù)包絡(luò)可表示為：通過輸出響應(yīng)的復(fù)包絡(luò)，可以得出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)：帶通信號(hào)通過帶通系統(tǒng)的響應(yīng)可以利用復(fù)包絡(luò)和低通系統(tǒng)求響應(yīng)的方法來求出。7、帶通傳輸系統(tǒng)的響應(yīng)或2023/2/243copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)的傳輸確定信號(hào)通過線性系統(tǒng)的傳輸解析信號(hào)與希爾伯特變換確知信號(hào)的分析1卷積與相關(guān)2345本章內(nèi)容2023/2/244copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組一、隨機(jī)過程的概念兩個(gè)特征：是一個(gè)隨機(jī)變量，在每一個(gè)時(shí)刻上的函數(shù)值不是確定的；是一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，每一實(shí)現(xiàn)稱之為隨機(jī)過程的樣本；….比如：通信機(jī)輸出噪聲波形測量2023/2/245copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組F1(x1,t1)=P[X(t1)≤x1]一維概率密度函數(shù)一維概率分布函數(shù)隨機(jī)過程的描述和分析采用統(tǒng)計(jì)分析的方法二、概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

N維概率分布函數(shù)

N維概率密度函數(shù)在實(shí)際當(dāng)中，我們往往只需要理解其數(shù)字特征就夠了為充分描述隨機(jī)過程，需考慮更多時(shí)刻的多維聯(lián)合的狀態(tài)2023/2/246copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組三、隨機(jī)過程的數(shù)字特征1、均值2、均方值3、方差4、自相關(guān)函數(shù)直流分量總平均功率交流功率統(tǒng)計(jì)平均時(shí)間平均2023/2/247copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組設(shè)X(t)，如果其n維概率密度函數(shù)或分布函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，即滿足

pn(x1,x2,x3…xn,;t1,t2…tn,)=pn(x1,x2,x3…xn,;t1+τ,t2+τ

…tn+τ,)則稱該過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程。如果上式僅對某個(gè)n值成立，則為n階平穩(wěn)隨機(jī)過程，對所有n成立，則為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程(狹義平穩(wěn)過程)。如果僅滿足p1(x1,;t1)=p1(x1,;t1+τ)=p1(x1,;0)=p1(x1)p2(x1,x2;t1,t2)=p2(x1,x2;t1+τ,t2+τ

)=p2(x1,

x2;τ)則稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。四、平穩(wěn)隨機(jī)過程1、定義2023/2/248copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組由以上廣義平穩(wěn)的條件可以推出：即：廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的判斷轉(zhuǎn)換為對其數(shù)字特征的判斷。僅與時(shí)間差有關(guān)與時(shí)間無關(guān)如果：則稱隨機(jī)過程X(t)具有各態(tài)歷經(jīng)性。即：對于各態(tài)歷經(jīng)過程來說，任一樣本都具有充分的代表性，可以獲得隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息，而無需得到全體樣本。2、各態(tài)歷經(jīng)性2023/2/249copyright信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院通信原理教研組高斯隨機(jī)過程在通信中應(yīng)用的最為廣泛，其n維分布服從正態(tài)分布。它的n維概率密度函數(shù)為：pn(x1,x2,x3…xn,;t1,t2…tn)=

高斯過程高斯隨機(jī)過程的幾個(gè)重要性質(zhì)：2）如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則也是嚴(yán)格平穩(wěn)的；3）若高斯過程各隨機(jī)變量互不相關(guān)，則一定也是