定積分的換元法

定積分的換元法第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日先來看一個例子例1換元求不定積分令則故第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日為去掉根號令則當(dāng)x從0連續(xù)地增加到4時(shí)，t相應(yīng)地從1連續(xù)地增加到3于是嘗試一下直接換元求定積分第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日將上例一般化就得到定積分的換元積分公式由此可見，定積分也可以象不定積分一樣進(jìn)行換元，所不同的是不定積分換元時(shí)要回代原積分變量，而對定積分則只需將其上、下限換成新變量的上、下限即可計(jì)算出定積分，而不必回代原積分變量第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、換元公式第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日證第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日計(jì)算解1由定積分的幾何意義等于圓周的第一象限部分的面積解2故o例2第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日令解4令仍可得到上述結(jié)果解3第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日解令例3計(jì)算第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日定積分的換元積分公式也可以反過來使用為方便計(jì)將換元公式的左、右兩邊對調(diào)同時(shí)把x換成

t，t換成

x這說明可用引入新變量但須注意如明確引入新變量，則必須換限如沒有明確引入新變量，而只是把整體視為新變量，則不必?fù)Q限注第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例4計(jì)算解第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日例5計(jì)算解原式第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日例6計(jì)算解一令原式第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日解二接解一對令則第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日證第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日即：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于0偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于對稱的部分區(qū)間上積分的兩倍由定積分的幾何意義，這個結(jié)論也是比較明顯的第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日例8計(jì)算解原式偶函數(shù)奇函數(shù)四分之一單位圓的面積第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日（1）設(shè)（2）設(shè)證第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日另證將上式改寫為奇函數(shù)第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日例10設(shè)f(x)是以L為周期的連續(xù)函數(shù)，證明證明與a的值無關(guān)第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日例11設(shè)f(x)連續(xù)，常數(shù)a>0證明證明比較等式兩邊的被積函數(shù)知，第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日例12設(shè)f(x)連續(xù)解第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日定積分的換元法幾個特殊積分、定積分的幾個等式

二、小結(jié)第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日思考題解令第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日思考題解答計(jì)算中第二步是錯誤的.正確解法是第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日練習(xí)題第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日第三十四頁，共三十七頁，20