概率統(tǒng)計-第一章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

（浙大·第四版）《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》王松桂等

科學出版社《概率論基礎(chǔ)》李賢平等（復旦大學）

高等教育出版社《概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習冊》

目錄第一章概率論的基本概念第二章隨機變量及其分布第三章多維隨機變量及其分布第四章隨機變量的數(shù)字特征第五章大數(shù)定律及中心極限定律第六章樣本及抽樣分布第七章參數(shù)估計第八章假設(shè)檢驗第九章方差分析及回歸分析引例：某車間有200臺車床，由于經(jīng)常需要檢修、測量、調(diào)換刀具、變換位置等種種原因，即使在生產(chǎn)期間，各臺車床還是時常需要停車。若每臺車床有60%的時間在開動，而每臺車床開動時需要耗電1千瓦，問應供給這個車間多少電力才能保證此車間正常生產(chǎn)？

某時刻同時工作的車床數(shù)不確定！自然界與人類社會中存在兩類不同的現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生（結(jié)果確定）

例如：磁鐵同性兩極必然相斥；

標準氣壓下,水在100℃沸騰。隨機現(xiàn)象：在一定條件下,可能出現(xiàn)這樣的情況,也可能出現(xiàn)那樣的情況（結(jié)果具有不確定性）

例如：擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)；

拋一枚硬幣,觀察正面

H反面T出現(xiàn)的情況。問題：隨機現(xiàn)象是否存在某種規(guī)律性呢？

對某種現(xiàn)象的觀察、測量，或進行一次科學實驗概率論是研究隨機現(xiàn)象

統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學分支第一章概率論的基本概念隨機試驗樣本空間、隨機事件頻率與概率等可能概型（古典概型、幾何概型）條件概率事件的獨立性

§1.隨機試驗

試驗可以在相同條件下重復進行；每次試驗的結(jié)果可能不止一個，并且事先可以明確知道試驗的所有可能結(jié)果；在一次試驗之前，不能確定哪個結(jié)果會出現(xiàn)。

定義1.1.1（隨機試驗）設(shè)E是一個試驗，若它滿足條件①②③，則稱E為隨機試驗，以下簡稱試驗。

§2.樣本空間、隨機事件定義1.2.1（樣本空間）設(shè)E是一個隨機試驗，E的所有可能的結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的樣本空間，記為S。樣本空間的元素，即試驗E的每個結(jié)果，稱為樣本點。例如:

“滿足某種條件的樣本點”

事件的關(guān)系和運算

SAB

A∪B表示“A與B至少有一個發(fā)生”，被稱為A與B的和事件。A∩B表示“A與B同時發(fā)生”，被稱為A與B的積事件，也記為AB。注①：和事件、積事件可以推廣到n個事件或者可列個事件的情形。

SBASABA∪BA∩B

特殊情況:若A是B的子事件,那么A與B的和事件、積事件分別是?

ASB5.

AB=?

ABS6.A∪B=S且AB=?事件運算中”+”和”﹣”并非代數(shù)運算符,不能進行消元!SAB

IO14235事件的運算律

={甲、乙至少有一個來聽課}；={甲、乙都來聽課}；={甲、乙都不來聽課}={甲、乙至少有一個沒來聽課}={甲、乙不都來聽課}◎小結(jié)確定性現(xiàn)象、隨機現(xiàn)象、統(tǒng)計規(guī)律性；隨機試驗、樣本空間、樣本點；隨機事件、必然事件、不可能事件、基本事件；事件的關(guān)系：包含關(guān)系、相等；事件的運算：和事件、積事件、互斥事件、逆事件；事件的運算律：交換律、結(jié)合律、分配律、德摩根律?！蛐〗Y(jié)確定性現(xiàn)象、隨機現(xiàn)象、統(tǒng)計規(guī)律性；隨機試驗、樣本空間、樣本點；隨機事件、必然事件、不可能事件、基本事件；事件的關(guān)系：包含關(guān)系、相等；事件的運算：和事件、積事件、互斥事件、逆事件；事件的運算律：交換律、結(jié)合律、分配律、德摩根律。集合的觀點

作業(yè)：

P24頁習題第1題、第2題§3.頻率與概率

頻率

1/100015/17=88%頻率的性質(zhì)

例1.3.1

拋硬幣出現(xiàn)正面H的頻率。

表1-1隨機波動性

“頻率的穩(wěn)定值”概率

定量的描述事件發(fā)生的可能性大小概率的性質(zhì)

§4.古典概型

古典概型中事件概率的計算問題

k是事件A的有利場合數(shù)，n是樣本空間樣本點總數(shù)(A中包含的樣本點個數(shù))

“古典概型”預備知識

排列無放回選?。簭膎個不同的元素中無放回的選取m次進行排列(m≤n)，也就是說元素不允許重復，其總數(shù)為

這種排列稱為選排列。特別當n=m時，稱為全排列。有放回選?。簭膎個不同的元素中有放回的選取m次進行排列，這時的元素允許重復，其總數(shù)為

這種排列稱為有重復的排列。（與次序有關(guān)）

“分組”的思想有放回選?。簭膎個不同元素中有放回的選取m次，不考慮排列次序，其總數(shù)為★理解“隔板法”！

“古典概型”概率計算的例子例1.4.2將一部四本頭的文集按任意次序放到書架上去，問各冊自右向左或者自左向右恰成1,2,3,4的順序排列的概率是多少？例1.4.3從5雙不同的鞋中任取4只，求這4只鞋中至少有2只配成一雙的概率。注意:不能直接用來計算！

例1.4.4將n個球隨機放入N個盒子中，允許有空盒。試求以下幾個事件的概率。A：某指定的n個盒子中各有一球；B：恰有n個盒子中各有一球(n≤N)；C：某指定的盒子中恰有m個球；D：每個盒子至多一個球。注：利用P(B)，可以計算出n個人中至少有兩人生日相同的概率。P(D)=P(B)例1.4.5N件產(chǎn)品，其中有D件次品，現(xiàn)從中任意抽取n

件，問其中恰有k件次品的概率(k≤D)。超幾何分布例1.4.6（抽簽問題）袋中有a只黑球，b只白球，它們除顏色不同之外，其它方面(質(zhì)地、大小)沒有差別。現(xiàn)有k個人依次在袋中取一只球，分別求在有放回選取和無放回選取的情況下，第i個人取到黑球的概率，其中i=1,…,k。有放回：無放回：

※建議：設(shè)法將問題歸入已學模型；對復雜問題，可嘗試將其分解為若干步驟，再應用乘法原理；合理應用逆事件；如果問題不易理解，不妨先考慮特殊情況。

例1假設(shè)在一片5萬平方公里的海域里有表面積達40平方公里的大陸架貯藏著石油。如果再這片海域里隨意選定一點鉆探，問鉆到石油的概率是多少？補充：幾何概型例2在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，現(xiàn)從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。

蒙特卡洛方法/計算機隨機模擬方法◎小結(jié)表征事件發(fā)生可能性大小的量——概率(定義)概率的性質(zhì)（六條）古典概型：等可能性+有限樣本點乘法原理、加法原理、排列組合基本公式以及一些經(jīng)典模型和方法幾何概型：等可能性+無限樣本點（幾何方法）§5.條件概率

幾何概型：設(shè)試驗E的樣本空間是區(qū)域Ω，以m(Ω)、m(A)、m(AB)分別代表事件Ω、A、AB對應點集的測度，并且m(A)＞0，那么

①號②號紅色23白色47

概率的性質(zhì)對條件概率都成立作業(yè)！

例1.5.3袋中有r只紅球，t只白球，每次從袋中任取一只球，觀察它的顏色后放回，并放入a只同色球?，F(xiàn)連續(xù)取球4次，求第一、二次取到紅球，第三、四次取到白球的概率。注①：卜里耶模型——描述傳染病的模型。注②：a=0對應有放回摸球，a=-1對應無放回摸球。全概率公式簡單復雜

B1B2BnSA

上式稱為全概率公式。

※找到樣本空間的一個合適的劃分！例1.5.4（二進信道模型）若發(fā)報機以0.7和0.3的概率發(fā)出信號0和1，由于隨機干擾的影響，當發(fā)出信號0時，接收機不一定收到0，而是以概率0.8和0.2收到信號0和1；同樣的，當發(fā)報機發(fā)出信號1時，接收機以概率0.9和0.1收到信號1和0.考慮：接收機收到0的概率；接收機收到0時，發(fā)報機是

發(fā)出信號0的概率。01010.80.90.10.2原因結(jié)果貝葉斯公式

由貝葉斯公式得

§6.獨立性引例：設(shè)試驗E為“拋甲、乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況”，事件A為“甲幣出現(xiàn)H”，事件B為“乙?guī)懦霈F(xiàn)H”。易知E的樣本空間為S={HH，HT，TH，TT}，我們有：事件A與事件B的出現(xiàn)具有某種“獨立性”

(1)(2)

事件獨立性與概率的計算相互獨立事件至少發(fā)生其一的概率例1.6.3假設(shè)每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%，混合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。

回憶兩兩互不相容的情況在“可靠性理論”中的應用對于一個元件，它能正常工作的概率為p，這稱為它的可靠性；若元件組成系統(tǒng)，則系統(tǒng)能正常工作的概率就稱為該系統(tǒng)的可靠性。例1.6.4（附加通路的系統(tǒng)）如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件可靠性均為r(0<r<1)，且各元件能否正常工作是相互獨立的，試求下面系統(tǒng)的可靠性。例1.6.5（附加元件的系統(tǒng)）在例1.6.2的條件下，試求下面附加元件系統(tǒng)的可靠性。每對并聯(lián)元件的可靠性為：系統(tǒng)的可靠性為：

例1.6.6要驗收一批（100件）樂器，方案如下：自該批樂器中隨機取3件進行測試（設(shè)3件樂器的測試結(jié)果是相互獨立的），若3件中至少有一件在測試中被認為音色不純，則這批樂器就被拒絕接受。設(shè)一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率是0.95；而一件音色純的樂器被誤認為不純的概率是0.01。如果已知這100件樂器中恰有4件是音色不純的，試問這批樂器被接收的概率是多少？