流體力學(xué)課件-

第2章水靜力學(xué)流體力學(xué)

云和明博士

一底面積為45x50cm2

，高為1cm的木塊，質(zhì)量為5kg，沿涂有潤(rùn)滑油的斜面向下作等速運(yùn)動(dòng)，木塊運(yùn)動(dòng)速度u=1m/s，油層厚度1cm，斜坡角

22.620(見圖示)，求油的粘度。作業(yè)解答1－10．一個(gè)圓錐體繞其鉛直中心軸等速旋轉(zhuǎn)，錐體與固定壁的間距為δ＝1mm，全部為潤(rùn)滑油充滿，μ＝0.1Pa.s，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速度ω＝16s－1，錐體底部半徑R＝0.3m,高H＝0.5m時(shí)，求：作用于圓錐的阻力矩。解：取微元體，微元面積：切應(yīng)力：阻力：阻力矩：第二章流體靜力學(xué)

靜壓強(qiáng)的特性

平衡微分方程

靜力學(xué)基本方程

對(duì)平面的作用力

對(duì)曲面的作用力

流體靜力學(xué)是研究流體在平衡或相對(duì)平衡狀態(tài)下的力學(xué)規(guī)律。

絕對(duì)平衡：相對(duì)于固結(jié)坐標(biāo)系無(wú)運(yùn)動(dòng)；

相對(duì)平衡：相對(duì)于參考坐標(biāo)系無(wú)運(yùn)動(dòng)。

靜止流體的基本特點(diǎn)：

流體質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，粘性表現(xiàn)不出來(lái)。γ、ρ可視為常數(shù)

基本概念流體靜壓強(qiáng)的特性第一節(jié)靜壓強(qiáng)的特性

1.靜壓強(qiáng)作用在單位面積上的力。

面積ΔA上的平均壓強(qiáng)：

p=ΔP/ΔA

當(dāng)面積ΔA無(wú)限縮小趨近于零時(shí)，平均壓強(qiáng)的極限為：

（2.1.1）式中p為O點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)。

一、基本概念二、靜壓強(qiáng)的特性反證法1.靜水壓強(qiáng)垂直指向作用面，即內(nèi)法線方向。（垂直性）2.靜止液體中任意點(diǎn)處各個(gè)方向的靜水壓強(qiáng)相等（各向等值性）證明思路取研究對(duì)象受力分析導(dǎo)出關(guān)系式得出結(jié)論取研究對(duì)象取一四面體OABC，三條邊相互垂直且與坐標(biāo)重合，受力分析質(zhì)量力表面力導(dǎo)出關(guān)系式對(duì)于x軸

對(duì)于任一軸：得出結(jié)論上式也表明：平衡流體中任意點(diǎn)的壓強(qiáng)只是位置坐標(biāo)的函數(shù)，與其作用方向無(wú)關(guān)。上式表明：只要O點(diǎn)的位置坐標(biāo)為定值時(shí)，則自各個(gè)方向作用于O點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)是完全等值的。第二節(jié)流體的平衡微分方程方程式推導(dǎo)思路：

流體靜力平衡微分方程（歐拉平衡方程）對(duì)連續(xù)的同一不可壓縮流體，在重力場(chǎng)中將微分方程積分流體靜力平衡方程質(zhì)量力

表面力

微元體受力分析一、

平衡微分方程的推導(dǎo)

表面力在x

方向上的分量只有左右一對(duì)面元上的壓力，合力為

在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在

x

方向的受力。微元所受x

方向上的質(zhì)量力為取研究對(duì)象

平衡方程為或同理有和

平衡微分方程的矢量形式二、

平衡微分方程的積分

由于壓強(qiáng)是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)上式稱為平衡流體中壓力差公式若質(zhì)量力也為勢(shì)函數(shù)，即

則

積分得

積分常數(shù)C的確定：假定平衡流體中某點(diǎn)的壓強(qiáng)為p0、力勢(shì)函數(shù)為W0，則：平衡微分方程的積分式2、等壓面的應(yīng)用（連通器原理——同一水平面上各點(diǎn)的靜壓強(qiáng)相等，見后）3、等壓面的應(yīng)用條件：同一、靜止、連續(xù)的不可壓縮流體4、結(jié)論：

在重力場(chǎng)中，任意形式的連通器內(nèi)，在緊密連續(xù)而又屬于同一性質(zhì)的靜止的均質(zhì)液體中，深度相同的點(diǎn)，其壓強(qiáng)必然相等。

1、等壓面：dp=0的面稱為等壓面等壓面的特性：1.在平衡的流體中，通過(guò)任意一點(diǎn)的等壓面，必與該點(diǎn)所受的質(zhì)量力相互垂直。重力場(chǎng)？

2.當(dāng)兩種互不相溶的液體處于平衡時(shí)，分界面必定是等壓面。三、

等壓面

但如果寫出等式將是錯(cuò)誤的。因?yàn)樘幱贏、B兩容器中的液體，即非緊密連續(xù)，又不是同一性質(zhì)的液體，就不能應(yīng)用上述等壓面的條件。例題：在右圖所示盛有三種液體的連通器中，就必然存在：

下面以流體平衡微分方程式為基礎(chǔ)，討論質(zhì)量力除重力外，還有牽連慣性力同時(shí)作用的液體平衡規(guī)律。在這種情況下，液體相對(duì)于地球雖然是運(yùn)動(dòng)的，但液體質(zhì)點(diǎn)之間、質(zhì)點(diǎn)與器壁之間都沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以這種運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)平衡?，F(xiàn)討論以下兩種相對(duì)平衡。一、直線等加速器皿中液體的相對(duì)平衡如后圖，盛有液體的容器在與水平面成α角的斜面由上向下作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a。當(dāng)α為零時(shí)，顯然液面為水平面。設(shè)加速度為a時(shí)液面與水平面成β角傾斜。設(shè)定xoz坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)取在自由液面的

中點(diǎn)。相對(duì)于此運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)，單位質(zhì)量液體所受的質(zhì)量力有兩個(gè)：一是垂直向下的單位質(zhì)量重力，另一是與加速度反向的單位質(zhì)量慣性力。單位質(zhì)量力的三個(gè)坐標(biāo)方向上的分量由等壓面方程

有將上式積分可得勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的等壓面方程這是一族平行平面，它們對(duì)水平面的傾角顯然，自由表面還是等壓面，自由表面上的z坐標(biāo)用zs表示，按自由表面的邊界條件x=0，z=0，定出積分常數(shù)c=0，故自由表面方程應(yīng)是

或直線勻加速的相對(duì)平衡液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律依然可由等壓面微分方程積分得出積分常數(shù)可由邊界條件x=0，z=0處p=p0得出于是

為計(jì)壓點(diǎn)在傾斜自由液面下的淹沒(méi)深度。

例題：容器內(nèi)盛有液體垂直向下作a＝4.9035m/s2的加速運(yùn)動(dòng)，試求此時(shí)的自由表面方程和液體的壓強(qiáng)分布規(guī)律。解：自由表面方程由得出現(xiàn)在，說(shuō)明自由表面依然是水平面。壓強(qiáng)分布規(guī)律則由可得出，現(xiàn)由于，并在本情況中，故

二、等角速旋轉(zhuǎn)器皿中液體的相對(duì)平衡如圖，盛有液體的直立圓柱筒繞其中心軸以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，由于液體的粘性，使筒內(nèi)液體都以等角速度ω旋轉(zhuǎn)，此時(shí)液體的自由表面已由平面變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面。下面推導(dǎo)這種以等角速度旋轉(zhuǎn)的相對(duì)平衡情況的等壓面方程和壓強(qiáng)分布規(guī)律。取與筒一起等角速旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，z軸垂直向上，坐標(biāo)原點(diǎn)取在新自由表面旋轉(zhuǎn)拋物面的頂點(diǎn)上。此時(shí)流體所受的質(zhì)量力亦是兩個(gè)：一是重力，鉛垂向下；另一是離心慣性力，與r軸方向一致。

單位質(zhì)量力在直角坐標(biāo)軸上的三個(gè)分量

代入歐拉平衡微分方程綜合式積分得

由x=0，y=0，z=0處p=p0得c=p0，代入上式整理得這就是等角速旋轉(zhuǎn)的直立容器中，液體相對(duì)平衡時(shí)壓強(qiáng)分布的一般表達(dá)式。自由表面是一個(gè)等壓面，p=p0=pa=0，并將新自由表面的z坐標(biāo)用zs表示，則自由表面方程為設(shè)p為任一常數(shù)c1，可得各等壓面方程為

可見，等壓面族是一組以圓筒為中心軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。

第三節(jié)流體的靜力學(xué)基本方程在重力場(chǎng)中，單位質(zhì)量力只有重力，即：代入壓力差公式

積分得：積分常數(shù)根據(jù)液體自由表面上的邊界條件確定：

一.重力作用下的平衡方程

方程的導(dǎo)出：或由式整理得：代入公式得：靜力學(xué)基本方程的兩種表達(dá)形式B二.絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空

A絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)A點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)真空壓強(qiáng)A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)O大氣壓強(qiáng)

paO壓強(qiáng)

壓強(qiáng)p記值的零點(diǎn)不同，有不同的名稱：

以完全真空為零點(diǎn)，記為

p′絕對(duì)壓強(qiáng)兩者的關(guān)系為:

p=

p′-

pa

以當(dāng)?shù)卮髿鈮?/p>

pa

為零點(diǎn)，記為

p

相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，其絕對(duì)值稱為真空壓強(qiáng)。相對(duì)壓強(qiáng)真空壓強(qiáng)BA絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)A點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)真空壓強(qiáng)A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)O大氣壓強(qiáng)

paO壓強(qiáng)

今后討論壓強(qiáng)一般指相對(duì)壓強(qiáng)，省略下標(biāo)，記為

p，若指絕對(duì)壓強(qiáng)則特別注明。

三.位置水頭、壓強(qiáng)水頭、測(cè)壓管水頭

在靜水壓強(qiáng)分布公式

中，各項(xiàng)都為長(zhǎng)度量綱，稱為水頭（液柱高）。

——

位置水頭，以任取水平面為基準(zhǔn)面

z=0

，鉛垂向

上為正。

——

壓強(qiáng)水頭，以大氣壓為基準(zhǔn)，用相對(duì)壓強(qiáng)代入計(jì)

算。

——

測(cè)壓管水頭。

方程的物理意義：

在內(nèi)有液體的容器壁選定測(cè)點(diǎn)，垂直于壁面打孔，接出一端開口與大氣相通的玻璃管，即為測(cè)壓管。OO

測(cè)壓管內(nèi)的靜止液面上

p=0，其液面高程即為測(cè)點(diǎn)處的，所以叫測(cè)壓管水頭。

測(cè)壓管水頭的含義

如果容器內(nèi)的液體是靜止的，一根測(cè)壓管測(cè)得的測(cè)壓管水頭也就是容器內(nèi)液體中任何一點(diǎn)的測(cè)壓管水頭。如接上多根測(cè)壓管，則各測(cè)壓管中的液面都將位于同一水平面上。OO

測(cè)靜壓只須一根測(cè)壓管

敞口容器和封口容器接上測(cè)壓管后的情況如圖

總勢(shì)能

位置水頭（勢(shì)能）與壓強(qiáng)水頭（勢(shì)能）可以互相轉(zhuǎn)換，但它們之和—測(cè)壓管水頭（總勢(shì)能）是保持不變的。

各項(xiàng)水頭也可理解成單位重量液體的能量

位置勢(shì)能，（從基準(zhǔn)面

z=0

算起鉛垂向上為正。）

z

壓強(qiáng)勢(shì)能（從大氣壓強(qiáng)算起）

液體的平衡規(guī)律表明

（N/m2;Pa)1公斤力/米2=9.8N/m2h=P/γ(m)

1標(biāo)準(zhǔn)物理大氣壓(atm)=1.033公斤力/厘米2=101325帕

1工程大氣壓(at)=98000帕=10mH20=735.6mmHg四.壓強(qiáng)的度量單位

定義式：

液柱高度：

大氣壓：

大氣壓與大氣壓強(qiáng)：例題：如圖所示，已知標(biāo)高▽1=9m;▽2=8m;▽3=7m;▽4=10m，外界大氣壓強(qiáng)為1工程大氣壓，裝置中液體均為水，試求1，2，3，4各點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)（以液柱高度表示）及M2，M4兩個(gè)壓強(qiáng)表的讀數(shù)？例題P45

靜止液體中，任一點(diǎn)的壓強(qiáng)值與其所處的深度h成正比。靜壓強(qiáng)的分布圖

虛線相對(duì)壓強(qiáng)；實(shí)線絕對(duì)壓強(qiáng)

39.2kPa;3m

如圖所示的密閉容器中，液面壓強(qiáng)p0＝9.8kPa，A點(diǎn)壓強(qiáng)為49kPa，則B點(diǎn)壓強(qiáng)為多少

,在液面下的深度為多少。

A.

5kPa;B.

49kPa;C.

147kPa;D.

205kPa露天水池水深5m處的相對(duì)壓強(qiáng)為：

觀看動(dòng)畫等壓面是指流體中壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)所組成的面。只有重力作用下的等壓面應(yīng)滿足的條件是：靜止、連通、連續(xù)均質(zhì)流體、同一水平面。什么是等壓面？等壓面的條件是什么？

相對(duì)壓強(qiáng)。

壓力表和測(cè)壓計(jì)上測(cè)得的壓強(qiáng)是絕對(duì)壓強(qiáng)還是相對(duì)壓強(qiáng)？

測(cè)壓管最小長(zhǎng)度為1.5m。

如圖所示，若某點(diǎn)測(cè)壓管水頭為-0.5m,壓強(qiáng)水頭為1.5m，則測(cè)壓管最小長(zhǎng)度應(yīng)該為多少？

五.測(cè)壓原理

測(cè)壓管的一端接大氣，這樣就把測(cè)管水頭揭示出來(lái)了。再利用液體的平衡規(guī)律，可知連通的靜止液體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)，包括測(cè)點(diǎn)處的壓強(qiáng)。

用測(cè)壓管測(cè)量

如果連通的靜止液體區(qū)域包括多種液體，則須在它們的分界面處作過(guò)渡。一端連接在與待測(cè)點(diǎn)A同高的容器壁上，另一端直接通大氣的直徑不少于5mm的玻璃管。當(dāng)所測(cè)壓強(qiáng)大于2mH2O水柱時(shí)不得使用。測(cè)壓管真空計(jì)或倒式測(cè)壓管

測(cè)壓管：當(dāng)測(cè)壓管壓強(qiáng)較大或液柱較高時(shí)，可在U形管中裝入密度較大的介質(zhì)從而用較短的測(cè)壓管測(cè)定較大的壓強(qiáng)或真空度。測(cè)定3atm以內(nèi)的壓強(qiáng)。U形測(cè)壓管U形真空計(jì)U形測(cè)壓管：測(cè)定大于3atm的壓強(qiáng)。1.確定壓強(qiáng)已知的面2.根據(jù)等壓面應(yīng)用的條件，劃出等壓面3.從已知面開始，逐步推出未知面壓強(qiáng)

多支U形管測(cè)壓計(jì)：測(cè)定兩處壓強(qiáng)差。

壓差計(jì)：測(cè)定壓強(qiáng)差很小的儀器。

微壓計(jì)：測(cè)定壓強(qiáng)很小的儀器。

杯式壓差計(jì)：第四節(jié)作用在平面上的流體靜壓力

壓力現(xiàn)象壓力計(jì)算一、壓力現(xiàn)象

在設(shè)計(jì)水箱、擋水閘門、油罐、水曝清砂水池等設(shè)備時(shí)，會(huì)遇到靜止流體對(duì)固體壁面作用的總壓力計(jì)算問(wèn)題；流體作用在固體壁面上的總壓力，是由該壁面所接觸的流體靜壓強(qiáng)所引起的，應(yīng)用流體靜壓強(qiáng)計(jì)算公式可以計(jì)算出作用在平面上的總壓力；確定靜止流體作用在平面上的總壓力的方法，有解析法和圖解法，這兩種方法的原理和結(jié)果是一樣的，都是根據(jù)流體中的靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律來(lái)計(jì)算的。

完整的總壓力求解包括其大小、方向、作用點(diǎn)。HH靜止流體作用在平面上的總壓力是一種比較簡(jiǎn)單的情況，是平行力系的合成，作用力垂直于作用面，指向自己判斷。

靜壓強(qiáng)在平面域

A

上分布不均勻，沿鉛垂方向呈線性分布。二、壓力計(jì)算靜水壓強(qiáng)分布圖的繪制（補(bǔ)充）即表示受壓面上各點(diǎn)壓強(qiáng)（大小和方向）分布的圖形，簡(jiǎn)稱靜水壓強(qiáng)圖。繪制規(guī)則：１．按一定的比例尺，用一定長(zhǎng)度的線段代表流體靜壓強(qiáng)的大小。２．用箭頭表示流體靜壓強(qiáng)的方向，并與該處作用面相垂直。在水利工程中，一般只需計(jì)算相對(duì)壓強(qiáng)，所以只需繪制相對(duì)壓強(qiáng)分布圖，當(dāng)流體的表面壓強(qiáng)為時(shí)，即p與h呈線性關(guān)系，據(jù)此繪制流體靜壓強(qiáng)圖。ABCPP

壓強(qiáng)分布示意圖

靜水壓強(qiáng)分布示意圖靜水壓強(qiáng)分布圖實(shí)例ABpaPa+ρgh畫出下列AB或ABC面上的靜水壓強(qiáng)分布圖相對(duì)壓強(qiáng)分布圖ABρghBABCABAB畫出下列容器左側(cè)壁面上的壓強(qiáng)分布圖作用于平面壁上的靜水總壓力圖解法解析法——適用于任意形狀平面——適用于矩形平面HHHHhhh

總壓力的大小1.解析法求任意形狀平面上的靜水總壓力

當(dāng)平板左右兩面都受到p0的作用時(shí)：

總壓力的作用點(diǎn)

同理：求解原理：合力對(duì)任一軸的力矩等于其分力對(duì)同一軸的力矩和。平面上靜水壓強(qiáng)的平均值為作用面（平面圖形）形心處的壓強(qiáng)?？倝毫Υ笮〉扔谧饔妹嫘涡腃

處的壓強(qiáng)

pC

乘上作用面的面積A.平面上均勻分布力的合力作用點(diǎn)將是其形心，而靜壓強(qiáng)分布是不均勻的，浸沒(méi)在液面下越深處壓強(qiáng)越大，所以總壓力作用點(diǎn)位于作用面形心以下。

結(jié)論：h

靜力奇象

只要平面的面積和形心處的淹深相同，則平板所受到的靜水壓力也相同。

注意點(diǎn)當(dāng)平板左側(cè)液面壓強(qiáng)p01不等于平板右側(cè)所受壓強(qiáng)p02時(shí)，平板所受總壓力：上式要寫成：則左右兩側(cè)自由面上的壓強(qiáng)應(yīng)相等2.壓力圖法求矩形平面上的靜水總壓力當(dāng)受壓平面為矩形，且有一對(duì)邊平行于液面時(shí)，采用圖算法便于對(duì)受壓結(jié)構(gòu)物進(jìn)行受力分析。Ap—

平面所受的流體靜壓強(qiáng)分布圖的面積

流體靜壓力的大小與以壓強(qiáng)分布圖為底面，高度為矩形寬b的柱體體積相等。即流體靜壓力相當(dāng)于這樣一塊勻質(zhì)流體壓在受壓面上?？倝毫Φ淖饔镁€一定通過(guò)該柱體的重心，并垂直指向作用面。

梯形壓力分布圖的形心距底

三角形壓力分布圖的形心距底

1、相同；2、不相同

如圖所示，浸沒(méi)在水中的三種形狀的平面物體，面積相同。問(wèn)：1.哪個(gè)受到的靜水總壓力最大？2.壓心的水深位置是否相同

大小不變；方向變；作用點(diǎn)不變。

擋水面積為A的平面閘門，一側(cè)擋水，若繞通過(guò)其形心C的水平軸任轉(zhuǎn)a角，其靜水總壓力的大小、方向和作用點(diǎn)是否變化？為什么？

圖解法有，規(guī)則形狀，為便于作壓強(qiáng)分布圖；解析法無(wú)。

使用圖解法和解析法求靜水總壓力時(shí)，對(duì)受壓面的形狀各有無(wú)限制？為什么？

等壓面是指流體中壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)所組成的面。只有重力作用下的等壓面應(yīng)滿足的條件是：靜止、連通、連續(xù)均質(zhì)流體、同一水平面。什么是等壓面？等壓面的條件是什么？

相對(duì)壓強(qiáng)。

壓力表和測(cè)壓計(jì)上測(cè)得的壓強(qiáng)是絕對(duì)壓強(qiáng)還是相對(duì)壓強(qiáng)？

測(cè)壓管最小長(zhǎng)度為1.5m。

如圖所示，若某點(diǎn)測(cè)壓管水頭為-0.5m,壓強(qiáng)水頭為1.5m，則測(cè)壓管最小長(zhǎng)度應(yīng)該為多少？

例題：如圖,在蓄水池垂直擋水墻上的泄水孔處，裝有尺寸為b×h=1m×0.5m的矩形閘門，閘門上A點(diǎn)用鉸鏈與擋水墻相連，A點(diǎn)距液面高度為2m，開啟閘門的鎖鏈連接于閘門下緣B點(diǎn)，并與水面成45度角。忽略閘門自重及鉸鏈的摩擦力，求開啟閘門所需拉力T至少應(yīng)為多大？

解析法：

圖解法：

繪出壓強(qiáng)分布圖

梯形壓力分布圖的形心距底例題：一塊矩形平板閘門可繞軸A轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。已知θ=60?，H=6m,h=2m,h1=1.5m,不計(jì)閘門自重以及摩擦力，求開啟單位寬度的閘門所需的提升力FT。平板左邊擋水長(zhǎng)度為：

解析法：左邊的靜水壓強(qiáng)分布可分解為均勻荷載和三角形荷載。其中均勻荷載所產(chǎn)生的總壓力為作用點(diǎn)距A點(diǎn)距離為三角形荷載所產(chǎn)生的總壓力為作用點(diǎn)距A點(diǎn)距離為

解析法：平板右邊擋水長(zhǎng)度為：右邊所產(chǎn)生的總壓力為：作用點(diǎn)距平板下緣距離為：【例題】一垂直放置的圓形平板閘門如圖所示，已知閘門半徑R=1m，形心在水下的淹沒(méi)深度hc=8m，試用解析法計(jì)算作用于閘門上的靜水總壓力。hchDFP解：LO答：該閘門上所受靜水總壓力的大小為246kN，方向向右，在水面下8.03m處?！纠}】某泄洪隧洞，在進(jìn)口傾斜設(shè)置一矩形平板閘門（如圖），傾角α=60,門寬b=4m，門長(zhǎng)L=6m，門頂?shù)难蜕頷1=10m,若不計(jì)閘門自重時(shí)，問(wèn)：①沿斜面拖動(dòng)閘門所需的拉力T為多少？（已知閘門與門之間摩擦系數(shù)f=0.25）②門上靜水總壓力的作用點(diǎn)在哪里？解：當(dāng)不計(jì)門重時(shí)，T至少需克服閘門與門之間的摩擦力，故T=P·f為此，需求出P。用圖解法求P及其作用點(diǎn)。如圖畫出其壓力分布圖，則P=A·b=1/2(γh1+γh2)·L·b=2964KN

作用點(diǎn)距閘門底部的斜距（h1=10，h2=10+6sinα）

P距平面的斜距

（也可用解析法求解）

例題圖示【例題】下圖表示一個(gè)兩邊都承受水壓的矩形水閘，如果兩邊的水深分別為h1=2m，h2=4m，試求每米寬度水閘上所承受的凈總壓力及其作用點(diǎn)的位置。

【解】淹沒(méi)在自由液面下h1深的矩形水閘的形心yc=hc=h1/2

每米寬水閘左邊的總壓力為

由壓力中心公式確定的作用點(diǎn)F1位置

例題圖示

其中通過(guò)形心軸的慣性矩IC=bh31/12，所以即即F1的作用點(diǎn)位置在離底1/3h=2/3m處。淹沒(méi)在自由液面下h2深的矩形水閘的形心yc=hc=h2/2。每米寬水閘右邊的總壓力為（Ｎ）

同理F2作用點(diǎn)的位置在離底1/3h2=2/3m處。每米寬水閘上所承受的凈總壓力為

F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）假設(shè)凈總壓力的作用點(diǎn)離底的距離為h，可按力矩方程求得其值。圍繞水閘底O處的力矩應(yīng)該平衡，即

（m)

第五節(jié)作用在曲面上的流體靜壓力

壓力現(xiàn)象壓力計(jì)算壓力體一、壓力現(xiàn)象

一些弧形閘門、水管壁面、球形容器及拱壩壩面等也會(huì)遇到靜止流體對(duì)固體壁面作用的總壓力計(jì)算問(wèn)題；由于曲面上各點(diǎn)的法向不同，對(duì)曲面求解總壓力時(shí)，必須先分解成各分量計(jì)算，然后再合成。hH二、總壓力的大小和方向在二維曲面ABCD上取微元面積dA，假定其形心位于液面以下h深處，則此微元面積的壓力為：假定其與水平方向夾角為α，則可將dP分解為：hnPxAxAx

是曲面A沿x軸向oyz平面的投影，hxC是平面圖形Ax的形心浸深。xzyAx方向水平力的大小hnPxAxxzy

靜止液體作用在曲面上的總壓力在

x方向分量的大小等于作用在曲面沿x

軸方向的投影面上的總壓力。y

方向水平力大小的算法與x

方向相同。A

結(jié)論：hnPzPxAxAzAz

是曲面A沿z

軸向oxy平面的投影，V

稱為壓力體，是曲面

A與

Az之間的柱體體積。xzyVA

z

方向水平力的大小hnPzPxAxAzxzy

靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂向分量的大小等于壓力體中裝滿此種液體的重量。

總壓力垂向分量的方向根據(jù)情況判斷。VpA

結(jié)論：

壓力體是一個(gè)純數(shù)學(xué)的概念，是一個(gè)由積分式所確定的純幾何體，與這個(gè)體積內(nèi)是否充滿液體無(wú)關(guān)。若充滿流體，則稱為“實(shí)壓力體”；若不為流體充滿，則稱為“虛壓力體”。a有液體AA無(wú)液體三、壓力體

復(fù)雜柱面的壓力體壓力體的確定壓力體一般是由三個(gè)面所封閉的體積：即底面為受壓面頂面是受壓面邊界線封閉的面積在自由面或其延長(zhǎng)面上的投影面中間是通過(guò)受壓面邊界線且與Z軸平行的鉛直線圍成的曲線壓力體應(yīng)由下列周界面所圍成：（1）受壓曲面本身（2）自由液面或液面的延長(zhǎng)面（3）通過(guò)曲面的四個(gè)邊緣向液面或液面的延長(zhǎng)面所作的鉛垂平面ABABABC

圖一如上圖兩個(gè)柱面AB，設(shè)他們尺寸完全相同，這兩個(gè)柱面上的垂直分力大小完全相等，只是方向不同。

圖二壓力體分為兩部分，取其方向向上，則其垂直分力的合力：

PZ=PZ1–PZ2垂直分力的方向

虛上實(shí)下

總壓力各分量的大小已知，指向自己判斷，這樣總壓力的大小和方向就確定了。

總壓力的作用點(diǎn)為水平方向兩條作用線和過(guò)壓力體形心的鉛垂線的交點(diǎn)。

特別地，當(dāng)曲面是圓柱或球面的一部分時(shí)，總壓力是匯交力系的合成，必然通過(guò)圓心或球心。曲面上靜水總壓力的合成

靜止液體作用在曲面上的總壓力的計(jì)算程序

(1)將總壓力分解為水平分力Px和垂直分力Pz。

(2)水平分力的計(jì)算，（如圖c）。

(3)確定壓力體的體積。

(4)垂直分力的計(jì)算，方向由虛、實(shí)壓力體（如圖d）確定。

(5)總壓力的計(jì)算，。

(6)總壓力方向的確定，。

(7)作用點(diǎn)的確定，即總壓力的作用線與曲面的交點(diǎn)即是。

自由面的理解：自由面是指相對(duì)壓強(qiáng)為0的面。上述壓力體是液面為自由表面時(shí)所得的幾何體，此時(shí)液面上的相對(duì)壓強(qiáng)為0；如果液面上的相對(duì)壓強(qiáng)不為0，即不是自由面，則壓力體不能以液面為頂，因?yàn)閴毫w積分表達(dá)式中ρgh是指作用在dAz面上的壓強(qiáng)（包括液面上高于或低于外界大氣壓強(qiáng)的壓強(qiáng)差）。

(a)圖中液面上壓強(qiáng)

p0>pa,壓力體頂面應(yīng)取在液面以上；

(b)圖中液面上壓強(qiáng)

p0<pa,壓力體頂面應(yīng)取在液面下。四、注意點(diǎn)例題：作出二維曲面AB上的壓力體，并指明垂直分力的方向。例題：

如圖貯水容器壁上裝有三個(gè)半徑R=0.5m的半球形蓋；已知：H=2.5m,h=1.5m.求這三個(gè)蓋子所受的靜水總壓力。解：蓋1

蓋2：蓋3：例題：如圖扇形閘門，中心角θ=450，寬度B=1米，可以繞鉸鏈C旋轉(zhuǎn)，用以蓄水或?yàn)a水。水深H=3米，確定水作用在此閘門上的總壓力P的大小和方向。扇形直徑：解：總壓力：例題：如圖所示圓柱形壓力水罐，由上下兩半圓筒用螺栓連接而成。圓筒半徑R=0.5m,l=2m.罐上壓力表讀數(shù)p=29.4kPa。試求（1）兩端平面蓋板所受靜水總壓力；（2）上下兩半圓筒所受靜水總壓力；（3）若螺栓材料的允許應(yīng)力σ=120MPa，驗(yàn)證連接上下圓筒的螺栓能否承受由水壓產(chǎn)生的拉力。螺栓直徑d=10mm,間距e=50cm.（1）兩端蓋板均為圓形平面，每個(gè)蓋板所受靜水總壓力為：解：（2）上下兩半圓筒水平分力為0；垂直分力的壓力體如圖：壓力表處水柱高度：兩螺栓所受總拉力為：（3）水罐上螺栓總個(gè)數(shù)為：螺栓所能承受的最大拉力為：因此連接螺栓能夠承受由罐內(nèi)水壓產(chǎn)生的拉力。為何不用Pz下？【例題】求圖e所示流體施加到水平放置的單位長(zhǎng)度圓柱體上的水平分力和垂直分力：（a）如果圓柱體左側(cè)的流體是一種計(jì)示壓強(qiáng)為35kPa被密封的箱內(nèi)的氣體；（b）如果圓柱體左側(cè)的流體是水，水面與圓柱體最高部分平齊，水箱開口通大氣。

【解】（a）圓柱體表面所研究部分的凈垂直投影為則35kPa計(jì)示壓強(qiáng)的氣體作用在單位長(zhǎng)度圓柱體上的水平分力為Az=[4-2(1-cos300)]×1

則35kPa計(jì)示壓強(qiáng)的氣體作用在單位長(zhǎng)度圓柱體上的水平分力為Fx=pAz=35×[4-2(1-cos300)]×1=353.75=130.5(kN)

圓柱體表面所研究部分的凈水平投影為

Ax=2sin300×1

則氣體作用在單位長(zhǎng)度圓柱體上的垂直分力為

Fz=pAx=35×2sin300×1=35(kN)

（b）Fx=ρghcAx=9.81×(1/2×3.73)×(3.73×1)×1000=68.1（kN）

Fz=ρgVp=9.81×1000×(2100/3600×22+1/2×1×1.732+1×2)×1=100.5(KN)

圖e【例題】一弧形閘門如圖所示，閘門寬度b=4m，圓心角φ=45°，半徑R=2m，閘門旋轉(zhuǎn)軸恰與水面齊平。求水對(duì)閘門的靜水總壓力。解：閘門前水深為ABφhOR水平分力：鉛直分力：靜水總壓力的大小：靜水總壓力與水平方向的夾角：α靜水總壓力的作用點(diǎn)：ZDD答：略?！纠}】圖f所示為一水箱，左端為一半球形端蓋，右端為一平板端蓋。水箱上部有一加水管。已知h=600mm，R=150mm，試求兩端蓋所受的總壓力及方