測(cè)量誤差問題

測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理杭州電子科技大學(xué)能量利用系統(tǒng)與自動(dòng)化研究所姜周曙得到被測(cè)參數(shù)真值測(cè)量目的認(rèn)識(shí)和掌握誤差規(guī)律評(píng)價(jià)檢測(cè)裝置和測(cè)量結(jié)果提高測(cè)量的準(zhǔn)確度研究誤差目的計(jì)量基準(zhǔn)準(zhǔn)確度高一級(jí)等級(jí)儀表等精度測(cè)量條件下有限次測(cè)量的平均值“約定真值”的得到測(cè)量的誤差：測(cè)量值與真值之間的差值,它反映測(cè)量質(zhì)量?jī)?yōu)劣測(cè)量可靠性：不同場(chǎng)合對(duì)測(cè)量結(jié)果可靠性的要求不同測(cè)量準(zhǔn)確程度應(yīng)與測(cè)量目的與要求相關(guān)

要有性價(jià)比的意識(shí)量值傳遞、經(jīng)濟(jì)核算、產(chǎn)品檢驗(yàn)應(yīng)保證測(cè)量結(jié)果足夠準(zhǔn)確度；當(dāng)測(cè)量值用作控制信號(hào)時(shí),則要注意測(cè)量的穩(wěn)定性和可靠性。測(cè)量誤差傳感器本身性能不良測(cè)量方法不完善環(huán)境、干擾誤差原因絕對(duì)誤差：示值與被測(cè)量真值之間的差值相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與被測(cè)量的約定值之比實(shí)際相對(duì)誤差—絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值的百分比示值(標(biāo)稱)相對(duì)誤差—絕對(duì)誤差與器具的示值(測(cè)量值)的百分比引用誤差—絕對(duì)誤差與器具的滿度值（量程）的百分比分貝誤差—用對(duì)數(shù)形式表示的一種誤差誤差的分類按誤差本身因次分類按誤差出現(xiàn)的規(guī)律分類系統(tǒng)誤差：不具抵償性，難發(fā)現(xiàn)，固定或按規(guī)律變化，可判斷、消除。隨機(jī)誤差：多次等精度測(cè)量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律粗大誤差：人為疏忽或環(huán)境突變?cè)斐?，可通過訓(xùn)練和判據(jù)發(fā)現(xiàn)并剔除誤差的分類基本誤差：指儀表在規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤差。附加誤差：指當(dāng)儀表的使用條件偏離額定條件下出現(xiàn)的誤差容許誤差：指測(cè)量?jī)x器在規(guī)定的使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍按使用工作條件分類按誤差的特性分類靜態(tài)誤差動(dòng)態(tài)誤差按誤差的原因分類系統(tǒng)誤差環(huán)境誤差人員誤差系統(tǒng)誤差：其分析與評(píng)價(jià)是誤差分析的核心問題；其規(guī)律性決定誤差處理與補(bǔ)償有效性。數(shù)據(jù)處理之前,依照一定的準(zhǔn)則，應(yīng)首先剔除粗大誤差常用準(zhǔn)則：3σ準(zhǔn)則；肖維勒準(zhǔn)則；格拉布斯準(zhǔn)則粗大誤差1.3σ準(zhǔn)則又稱萊以達(dá)準(zhǔn)則：當(dāng)某個(gè)測(cè)量值的殘差的絕對(duì)值|vi|>3σ（極限誤差）時(shí)，則剔除。2.肖維勒準(zhǔn)則某測(cè)量值的殘差絕對(duì)值|vi|>Zcσ,則剔除。實(shí)用中Zc<3，Zc取值如表所示。粗大誤差3.格拉布斯準(zhǔn)則某測(cè)量值的殘差的絕對(duì)值|vi|＞Gσ，則剔除。G值與測(cè)量次數(shù)n和置信概率Pa有關(guān)，如表所示注意：以上準(zhǔn)則以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提，當(dāng)偏離正態(tài)分布、測(cè)量次數(shù)很少時(shí)，判斷的可靠性就差。提高測(cè)量者技術(shù)水平與責(zé)任心，保證測(cè)量條件穩(wěn)定，防止環(huán)境條件劇變首先：排除粗差后，測(cè)量誤差等于隨機(jī)誤差δi和系統(tǒng)誤差εi代數(shù)和：當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在時(shí)，若測(cè)量次數(shù)足夠多，則各次測(cè)量絕對(duì)誤差的算術(shù)平均值等于系差ε系統(tǒng)誤差的特性最后：當(dāng)n足夠大，由于隨機(jī)誤差的抵償性，δi的算術(shù)平均值趨于零，由上式得到：其次：假設(shè)進(jìn)行n次等精度測(cè)量，并設(shè)系差為恒值系差或變化非常緩慢即εi=ε，則Δxi的算術(shù)平均值為：當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在時(shí)，若測(cè)量次數(shù)足夠多，則各次測(cè)量絕對(duì)誤差的算術(shù)平均值等于系差ε測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)，更與系差有關(guān)系差不易被發(fā)現(xiàn)系差不具備抵償性取平均值對(duì)系差無效例子：雷萊發(fā)現(xiàn)了空氣中的惰性氣體

200多年前，人們知道空氣里有水蒸氣、二氧化碳外，還有氧氣和氮?dú)狻?/p>

1785年，英國科學(xué)家卡文迪許實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，去除空氣中的水蒸氣、二氧化碳、氧氣和氮?dú)夂?，仍有少量殘余氣體，但并未引起化學(xué)家重視。

100年后，英國物理學(xué)家雷利(Rayleigh)多次測(cè)定氮?dú)饷芏?，發(fā)現(xiàn)從空氣中分離的氮?dú)馐?.2572克/升，從氮物質(zhì)制得的氮?dú)馐?.2505克/升，相差幾毫克。雷利未忽視微小差異，懷疑空氣分離的氮?dú)庵泻行職怏w。他查閱了卡文迪許的資料。

1894年，他去除空氣中氧氣和氮?dú)夂螅玫缴倭繕O不活潑氣體。英國化學(xué)家拉姆塞用其它方法從空氣中也得到了該氣體，命名為氬（拉丁文“懶惰”）。拉姆塞等人又陸續(xù)從空氣里發(fā)現(xiàn)了氦氣、氖氣、氪氣和氙氣。誤差可能是科學(xué)新發(fā)現(xiàn)的前導(dǎo)系統(tǒng)誤差的判斷1.實(shí)驗(yàn)比較法改變測(cè)量方法—理論分析法針對(duì)測(cè)量方法或測(cè)量原理引入的系差只適用于發(fā)現(xiàn)恒值系差改變測(cè)量?jī)x器—校準(zhǔn)和比對(duì)法用準(zhǔn)確度更高的測(cè)量?jī)x器進(jìn)行重復(fù)測(cè)量以發(fā)現(xiàn)系差改變測(cè)量條件比如更換測(cè)量人員、測(cè)量環(huán)境、測(cè)量方法等2.殘余誤差觀察法根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)數(shù)列各個(gè)剩余誤差的大小、符號(hào)的變化規(guī)律，從誤差數(shù)據(jù)、曲線判斷系統(tǒng)誤差的有無、類型、大小等。(a)殘差呈線性遞減規(guī)律，存在“累進(jìn)性系統(tǒng)誤差;(b)殘差大小、符號(hào)呈周期性變化，存在“周期性系統(tǒng)誤差”；(c)殘差基本上正負(fù)相同，無明顯變化規(guī)律，“無系統(tǒng)誤差”；(d)殘差呈周期性遞增規(guī)律，同時(shí)存在“累進(jìn)性系差”和“周期性系差”。系統(tǒng)誤差的判斷是常用的判別有無累進(jìn)性系差的方法。具體步驟是：3.馬利科夫判據(jù)—判別累進(jìn)性系差將n項(xiàng)剩余誤差vi

按順序排列分成前后兩半求和，再求其差值D當(dāng)n為偶數(shù)時(shí):當(dāng)n為奇數(shù)時(shí):若D≠0則說明測(cè)量數(shù)據(jù)存在累進(jìn)性系差。系統(tǒng)誤差的判斷4.阿卑?赫梅特判據(jù)—周期性系差的判別如圖(a)所示：鐘表的軸心在水平方向有一點(diǎn)偏移，設(shè)它的指針在垂直向上的位置時(shí)造成的誤差為ξ，當(dāng)指針在水平位置運(yùn)動(dòng)時(shí)ξ逐漸減小至零，當(dāng)指針運(yùn)動(dòng)到垂直向下位置時(shí)，誤差為-ξ，如此周而復(fù)始，造成的誤差如圖(b)所示，這類呈規(guī)律性交替變換稱為周期性系統(tǒng)誤差。當(dāng)進(jìn)行n次測(cè)量時(shí)，若有：則可認(rèn)為測(cè)量中存在變值系差系統(tǒng)誤差的判斷消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源1.從根源入手減小系統(tǒng)誤差2.用修正方法減少系統(tǒng)誤差修正值＝-誤差=-（測(cè)量值－真值）實(shí)際值＝測(cè)量值＋修正值要從測(cè)量原理和測(cè)量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。測(cè)量?jī)x器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器注意周圍環(huán)境對(duì)測(cè)量的影響，特別是溫度對(duì)電子測(cè)量的影響較大盡量減少或消除測(cè)量者主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。提高測(cè)量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備削弱系統(tǒng)誤差的典型測(cè)量技術(shù)1.零視法X=S種類：光電檢流計(jì)、電流表、電壓表、示波器、調(diào)諧指示器、耳機(jī)等。只要標(biāo)準(zhǔn)量的準(zhǔn)確度很高，被測(cè)量的測(cè)量準(zhǔn)確度也就很高。用途：阻抗(電橋)、電壓(電位差計(jì)及數(shù)字電壓表)、頻率(拍頻法、差頻法)

等參數(shù)測(cè)量。調(diào)R3，使G=0，R3不動(dòng)；調(diào)RS，使G=0，RX=RS；測(cè)量誤差△Rx，僅決定于標(biāo)準(zhǔn)電阻的誤差△Rs，而與R1、R2、R3的誤差無關(guān)。2.替代法(置換法)直流電橋平衡條件步驟：當(dāng)RXR2

=R1R3

G=0將RSR2=R1R3

G=0則RX

=RSRS為標(biāo)準(zhǔn)電阻箱可調(diào)可讀削弱系統(tǒng)誤差的典型測(cè)量技術(shù)3.補(bǔ)償法部分替代法或不完全替代法。常用在高頻阻抗、電壓、衰減量等測(cè)量中例子：諧振法(如Q表)測(cè)電容問題：

Cx與頻率f0、電感L、分布電容有關(guān)，其準(zhǔn)確度影響Cx的準(zhǔn)確度新方法：補(bǔ)償法測(cè)電容容易得到僅接入Cs1時(shí)有：接入Cx后有：比較兩式得到：Cx=Cs1-Cs2削弱系統(tǒng)誤差的典型測(cè)量技術(shù)4.對(duì)照法(交換法)通過交換被測(cè)量和標(biāo)準(zhǔn)量位置，從前后兩次換位測(cè)量結(jié)果的處理中，削弱或消除系統(tǒng)誤差特別適用于平衡對(duì)稱結(jié)構(gòu)的測(cè)量裝置中，并通過交換法可檢查其對(duì)稱性是否良好削弱系統(tǒng)誤差的典型測(cè)量技術(shù)5.微差法微差法又叫虛零法或差值比較法，實(shí)質(zhì)上是一種不徹底的零示法條件：當(dāng)待測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量接近時(shí)削弱系統(tǒng)誤差的典型測(cè)量技術(shù)206.交叉讀數(shù)法交叉讀數(shù)法是上述對(duì)照法的一種特殊形式例如：由于在fx=f0附近曲線平坦，電壓變化很小，很難判斷真值。交叉讀數(shù)法由此產(chǎn)生的理論誤差為削弱系統(tǒng)誤差的典型測(cè)量技術(shù)7.利用修正值或修正因數(shù)根據(jù)測(cè)量?jī)x器檢定書中給出的校正曲線、校正數(shù)據(jù)或利用說明書中的校正公式對(duì)測(cè)得值進(jìn)行修正8.隨機(jī)化處理利用同一類型測(cè)量?jī)x器的系統(tǒng)誤差具有隨機(jī)特性的特點(diǎn)，對(duì)同一被測(cè)量用多臺(tái)儀器進(jìn)行測(cè)量，取各臺(tái)儀器測(cè)量值的平均值做為測(cè)量結(jié)果通常這種方法并不多用，首先費(fèi)時(shí)較多，其次需要多臺(tái)同類型儀器，這往往是做不到的削弱系統(tǒng)誤差的典型測(cè)量技術(shù)測(cè)量時(shí)，先剔除粗大誤差，再設(shè)法將系統(tǒng)誤差消除或減小到可忽略的程度，若此時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)仍不穩(wěn)定，則存在隨機(jī)誤差；多次等精度測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差及測(cè)量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。隨機(jī)誤差1.隨機(jī)誤差處理目的求出最接近真值的值（即：真值的最佳估計(jì)）；評(píng)定數(shù)據(jù)精密度高低（即：可信賴程度），并給出測(cè)量結(jié)果。2.隨機(jī)誤差特征單峰性：小絕對(duì)值概率大于大絕對(duì)值概率；有界性：絕對(duì)值不會(huì)超出一定界限；對(duì)稱性或抵償性：測(cè)量次數(shù)n很大時(shí),絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的概率相等；測(cè)量值在期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對(duì)期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。隨機(jī)誤差2.算術(shù)平均值實(shí)際測(cè)量時(shí),真值L不可能得到；隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，且算術(shù)平均值處隨機(jī)誤差的概率密度最大；與被測(cè)量的真值最接近，測(cè)量次數(shù)越多就越接近。3.標(biāo)準(zhǔn)偏差σ即：均方根誤差、均方根偏差，簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)差；均方根偏差愈大，測(cè)量數(shù)據(jù)分散范圍愈大；σ愈小,分布曲線愈陡峭，說明隨機(jī)變量的分散性小，測(cè)量精度高。系統(tǒng)誤差的合成誤差的綜合常用函數(shù)合成誤差系統(tǒng)不確定度誤差的綜合設(shè)最終測(cè)量結(jié)果為y，各分項(xiàng)測(cè)量值為x1、…、xn，它們滿足函數(shù)關(guān)系并設(shè)各xi間彼此獨(dú)立，xi絕對(duì)誤差為△xi，y的絕對(duì)誤差為△y，則將上式按泰勒級(jí)數(shù)展開略去上式右邊高階項(xiàng)，得：因此：系統(tǒng)誤差的合成在實(shí)際應(yīng)用中，由于分項(xiàng)誤差符號(hào)不定而可同時(shí)取正負(fù)，有時(shí)就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項(xiàng)取絕對(duì)值后再相加該公式常用于在設(shè)計(jì)階段中對(duì)傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進(jìn)行分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施用相對(duì)誤差形式表示總的合成誤差同樣，當(dāng)各分項(xiàng)符號(hào)不明確時(shí)，為可靠起見，取絕對(duì)值相加系統(tǒng)誤差的合成常用函數(shù)的合成誤差1.和差函數(shù)的合成誤差設(shè)：兩式相減得絕對(duì)誤差：當(dāng)△x1、△x2符號(hào)不能確定時(shí)，有：相對(duì)誤差或者寫成對(duì)于和函數(shù)對(duì)于差函數(shù)常用函數(shù)的合成誤差2.積函數(shù)的合成誤差設(shè)：得絕對(duì)誤差：若相對(duì)誤差都有正負(fù)號(hào)則常用函數(shù)的合成誤差3.商函數(shù)的合成誤差設(shè)：得絕對(duì)誤差：若相對(duì)誤差都有正負(fù)號(hào)則常用函數(shù)的合成誤差4.冪函數(shù)的合成誤差設(shè)：k為常數(shù)，將積函數(shù)的合成誤差公式略加推廣得：若都有正負(fù)號(hào)則常用函數(shù)的合成誤差5.積商函數(shù)的合成誤差設(shè)：式中k、m、n、p均為常數(shù)，綜合上述各函數(shù)合成誤差公式，直接得：若都有正負(fù)號(hào)則系統(tǒng)不確定度系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，用εym表示，相對(duì)系統(tǒng)不確定度用γym

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