高考數(shù)學(xué)第19煉 利用函數(shù)證明數(shù)列不等式

19利利用函數(shù)證明不等式是在高考導(dǎo)數(shù)題中比較考驗(yàn)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力面以函數(shù)為背景讓學(xué)生探尋函數(shù)的性質(zhì)一方面體現(xiàn)數(shù)列是特殊的函數(shù)而用恒成立的不等式將沒(méi)有規(guī)律的數(shù)列放縮為為有具體特征的數(shù)列謂一題多考巧地將函數(shù)數(shù)，不等式連接在一起，也是近年來(lái)高考的熱門題型。一、基礎(chǔ)知識(shí)：、考察類型：（1利用放縮通項(xiàng)公式解決數(shù)列求和中的不等問(wèn)題（2利用遞推公式處理通項(xiàng)公式中的不等問(wèn)題、恒成立不等式的來(lái)源：（1函數(shù)的最值：在前面的章節(jié)中我們提到過(guò)最值的一個(gè)作用就是提供恒成立的不等式。（2恒成立問(wèn)題的求解：此類題目往往會(huì)在前幾問(wèn)中進(jìn)行鋪墊，暗示數(shù)列放縮的方向。其中，有關(guān)恒成立問(wèn)題的求解，參數(shù)范圍內(nèi)的值均可提供恒成立不等式、常見(jiàn)恒成立不等式：（1

xx

對(duì)數(shù)→多項(xiàng)式（）

e

x

指數(shù)→多項(xiàng)式、關(guān)于前項(xiàng)和的放縮問(wèn)題：求數(shù)列前項(xiàng)式往往要通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)解決，高中階段求和的方法有以下幾種：（1倒序相加：通項(xiàng)公式具備第

項(xiàng)與第

項(xiàng)的和為常數(shù)的特點(diǎn)（）錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公為“等差

等比”的形式（例如

n

，求和可用錯(cuò)位相減）（3等比數(shù)列求和公式（4裂項(xiàng)相消：通項(xiàng)公式可裂為兩項(xiàng)作差的形式，裂的某項(xiàng)能夠與后面項(xiàng)裂開(kāi)某項(xiàng)進(jìn)行相消。注放法處理數(shù)列求和不等時(shí)縮為等比數(shù)列和能夠裂項(xiàng)相消的數(shù)列的情況比較多見(jiàn)，故優(yōu)先考慮。、大體思路：對(duì)于數(shù)列求和不等式，要謹(jǐn)記“求和看通項(xiàng)公式入手，結(jié)合等號(hào)方向考慮放縮成可求和的通項(xiàng)公式。、在放縮時(shí)要注意前幾問(wèn)的鋪墊與提示，尤其是關(guān)于恒成立問(wèn)題與最值問(wèn)題所帶來(lái)恒成立不等式，往往提供了放縮數(shù)列的方向

12nn12nn、放縮通項(xiàng)公式有可能會(huì)進(jìn)行多次，要注意放縮的方向：朝著可求和的通項(xiàng)公式進(jìn)靠攏（等比數(shù)列，裂項(xiàng)相消等）、數(shù)列不等式也可考慮利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明（有時(shí)更容易發(fā)現(xiàn)所證不等式與題條件的聯(lián)系）二、典型例題：例1：已知數(shù)

f

在

x

處取得極值（1求實(shí)數(shù)的（）明對(duì)任的整n，等

34n4

都立解）

f

'

x為f

的極值點(diǎn)f'

1a

11（思一想所證不等式與目所給函數(shù)的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)在

f

中，存在對(duì)數(shù)，且左邊數(shù)列的通項(xiàng)公n

12

2

也具備

f

項(xiàng)的特征，所以考慮分析

ln

與

x2

的大小關(guān)系，然后與數(shù)列進(jìn)行聯(lián)系。解：下面求

f

的單調(diào)區(qū)間f

'

1xx

,令

f

g'

g

f

即ln

x

（每一個(gè)函數(shù)的最值都會(huì)為我們提供一個(gè)恒成立的不等式，不用白不用！觀察剛好與所證不等式不等號(hào)方向一致）令

x

1n

，則

即

n2ln1

ln

nn

nn2

n2222n2222即

2

344

nn

小煉有話說(shuō)：（）不等式實(shí)質(zhì)是兩組數(shù)列求和后的大小關(guān)系an

nn,n

過(guò)應(yīng)項(xiàng)的大小關(guān)系決定求和式子的大小。此題在比較項(xiàng)的大小時(shí)關(guān)鍵是利用一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)的最值而個(gè)函數(shù)往往由題目所給另外有兩點(diǎn)注意①注函數(shù)最值所產(chǎn)生的恒成立不等式②注意不等號(hào)的方向應(yīng)該與所證不等式同向（）決問(wèn)題后便明白所證不等式為何右邊只有一個(gè)對(duì)數(shù)，其實(shí)也是在作和，只是作和時(shí)對(duì)數(shù)合并成一項(xiàng)（與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和真數(shù)的特點(diǎn)相關(guān)今后遇到類似問(wèn)題可猜想對(duì)數(shù)是經(jīng)歷怎樣的過(guò)程化簡(jiǎn)來(lái)的，這往往就是思路的突破點(diǎn)思路二發(fā)不等式兩邊均有含n的表達(dá)式且側(cè)作和所以考慮利用學(xué)歸納法給予證明：解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)

時(shí)，不等式為

成立②假

n

時(shí)，不等式成立（即

2

349

ln(

）當(dāng)

時(shí)，若要證

49

kklnkk34249

2只證ln(

k

ln

klnk

1k

（下同思路一：分析

f

的最值可得

）令

x

1k

，由恒成立不等式

可得

ln1

1k

即所證不等式成立③

，均有

2

344

nnn小煉有話說(shuō)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明要注意兩點(diǎn)）格式的書(shū)寫（）利用設(shè)的條件

所假

例2：已知數(shù)

f

（）

a

14

時(shí)，求函數(shù)

f

的單調(diào)區(qū)間（當(dāng)

f()

圖像上的點(diǎn)都在

xy

所表示的平面區(qū)域內(nèi)求實(shí)數(shù)

a

的取值范圍（）求：

4

n2

（中

N是然數(shù)底）解）解法，求出單調(diào)區(qū)找最值f

14

f

'

1xx2x2xx

,令

f

求出單調(diào)區(qū)間如下：f

'

f（）：函數(shù)

yf()

圖像上的點(diǎn)都在

xy

區(qū)域內(nèi)，條件等價(jià)于

,

x

恒成立，即

ln

令

g

g

'

12ax令

g

即2a①a0時(shí)g

alna

不符合題意（此時(shí)發(fā)現(xiàn)單調(diào)性并不能直接舍掉

a

0

的情況可估計(jì)函數(shù)值的趨勢(shì)

恒為正

早晚會(huì)隨著

值的變大而為正數(shù)，所以必然不符合題意。在書(shū)寫時(shí)可構(gòu)造反例來(lái)說(shuō)明，此題只需

nn211nn211ax

即可，所以選擇

1a

）②

0

時(shí)，

a

即

g

g

單調(diào)遞減

，符合題意綜上所述：

0（路所不等式

4

22n

，左邊連乘，右邊是e，可以想到利用兩邊取對(duì)數(shù)“化積為和時(shí)用第二問(wèn)的結(jié)論。第二問(wèn)給我們提供了恒成立的等，a，ln，則可與左邊的求和找到聯(lián)系。

a，即解：所證不等式等價(jià)于

l11

n2由（2）可得

ln

，

n

2

，即ln222

n

n

n

1

（左邊可看做是數(shù)列求和，利用結(jié)論將不等式左邊的項(xiàng)進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化成可求和的數(shù)列——裂項(xiàng)相消）212

ln222

2

1

2

1

12

不等式得證小煉有話說(shuō)：（第問(wèn)中代數(shù)方法與數(shù)形合方法的抉體會(huì)為什么放棄線性規(guī)劃思路如將約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)楹愠闪?wèn)題（）數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)：化積為和。題目中沒(méi)有關(guān)于乘積式的不等關(guān)系，于是決定變?yōu)楹褪剑ǎ┯蒙弦粏?wèn)的結(jié)論放縮通項(xiàng)公式，將不可求和轉(zhuǎn)變?yōu)榭汕蠛?，進(jìn)而解決問(wèn)題例3：已知數(shù)

f()

x(1lnx)x

2x22x2（1當(dāng)

時(shí)，討論

g(

（2當(dāng)時(shí)若f(n

恒成立，求滿足條件的正整數(shù)n的值；（）證

2n

52

解）

f

axxn

axxx若

g

當(dāng)當(dāng)

00

時(shí)，時(shí)，

gg

上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減（2）思路：

f

xxx

不等式等價(jià)于n即

x

min而在第1）問(wèn)中

g

即為

f'

的分子，故考慮利用

g

來(lái)確定

f'

的符號(hào)，進(jìn)而求出

f

的單調(diào)區(qū)間及最值解：

f

x

x

，由（1）得

g

單調(diào)遞增g

ln3ln4

(盡無(wú)法

g

的1g

，所以可估計(jì)零點(diǎn)的所在區(qū)間）x

的單調(diào)區(qū)間如下：

f

+f

nnnnf

fmin

bb

lnf

bb

n（思路：由第（2）問(wèn)

n

，所證不等式可兩邊同取對(duì)數(shù)“化積為和考利用結(jié)論進(jìn)行放縮解：所證不等式等價(jià)于：ln

ln

52由第（2）問(wèn)可得：

3lnxln

2nnn

i

ln

17=2nln3nn2即原不等式成立。（如果從第一項(xiàng)就進(jìn)行縮小，則

i

1lni1n

n

3n

，發(fā)現(xiàn)縮小過(guò)度但差距不大，所以進(jìn)行調(diào)整，第一項(xiàng)不變，其余放縮。這樣不僅減少縮小的尺度，同時(shí)不改變求和規(guī)律）小煉有話說(shuō)：這道題是對(duì)書(shū)中幾篇文章所講技巧的一個(gè)綜合。所涉內(nèi)容如下：（）二問(wèn)中對(duì)零點(diǎn)

x

的處理，參見(jiàn)：3.1.3最分析法（）三問(wèn)中數(shù)列放縮后的調(diào)整值得注意，放縮的過(guò)程中有可能存在“放過(guò)頭”的情況，往往是由于前幾項(xiàng)放縮程度過(guò)大造成的（通常越大，放縮的程度越小以考慮數(shù)列幾項(xiàng)不進(jìn)行放縮，然后再看不等式能否成立，若一直都“過(guò)度”一點(diǎn)點(diǎn)，那么就要考慮是否另選放縮方案了。例：設(shè)函數(shù)

f

，其中

R

。:

n2222323n23n2222323n23（）a

時(shí)，討論函數(shù)

f(x

在其定義域上的單調(diào)性；（2證明：對(duì)任意的正整數(shù)

n，等式ln

112

都成立。解析：（）

f

'

x

ax2x

，令

f

即解不等式

2x

2

①

12

a0

時(shí)方程

2x

的兩根

1

a,x2

，

2f

的單調(diào)區(qū)間為：11a11,f

'

f②

12

時(shí)，

2

2

恒成立f

單調(diào)遞增（）慮

a

時(shí)，則

f令

h

f

ln

'

x

3

x

在

恒成立h

單調(diào)遞增

hln

，令

x

1n

111ln1lnnnlnk

nnnn即：

ln

1123

例5：已知函數(shù)

f()xln(x

的最小值為0，其中。a（）的值（）對(duì)任意的

x有f)

2

成立，求實(shí)數(shù)k的最小值（）明

i

2i

ln(2*)解）

f

'

1

,定義域

令

f

解得

x

，f

的單調(diào)區(qū)間為：f'

fmin

ff

（）時(shí)取有fln0，不題意。當(dāng)k時(shí)令g(f(x)kx

2，g()xxkx2

。g

xkxkkxxx

，令

g

，得

x12

1k2

當(dāng)

k

11k時(shí)，2

0,

在

上恒成立因此

g(x

在

[0,

上單調(diào)遞減，對(duì)任意的[0,

，總有

g(x)(0)0，即(x)kx

2

在

[0,

上恒成立。故

k

12

符合題意。當(dāng)

0k

1時(shí)，2

1kx)，g，g(x)在)2kk

內(nèi)單調(diào)遞增，取

x(0,

1k2

)

時(shí)，

gx(0)0

，即

f()

不成立。

2nnnnn2nnnnn故

0

12

不合題意

k

12綜上，

的最小值為

12

。（）第2）問(wèn)可得：當(dāng)2令i

11時(shí)，不等式ln2

恒成立2iln22i2

2i

2

112ii

i

2211ln31ii

1122

即

i

2n2i1lnln3i2i2i即

i

2i

2(nN

*

)例6：已知數(shù)

f(x)lnx3ax（1求

fx)

的最大值；（）明等：

e

。解）

f

'

1xx

，令

f

，

f

單調(diào)區(qū)間如下：f'f

y

f

（）思路：左邊可看做數(shù)列求和，其通項(xiàng)公式為

i

n

，無(wú)法直接求和，所以考慮利用條件進(jìn)行放縮，右邊是分式，可以猜想是等比數(shù)列求和后的結(jié)果，所以將

i

放縮為等比數(shù)列模型。由（1）可得

lnxx

，令

x

in

進(jìn)行嘗試解：由（）可得

lnxx

ninnnnninnnn令

x

iiii，即nniln尋找方的來(lái)源）

i

1

2

n

e

eee

不等式得證小煉有話說(shuō)：此題的第（3）問(wèn)數(shù)列通項(xiàng)公式放縮為等比數(shù)列求和，如果不等式的一側(cè)是一個(gè)分?jǐn)?shù)，則可向等比數(shù)列求和的結(jié)果考慮（猜想公比與首項(xiàng)例7：函數(shù)

f(x)

.（）

f(x)cosx

在

a

的取值范圍；（）明

f

2(n2(n)f)f()n

（解成不等式等價(jià)于

令

g

(：在

中這三個(gè)自變量的函數(shù)值最便于計(jì)算，進(jìn)而選擇代入）yaxx

可視為關(guān)于

a

的一次函數(shù)且遞增

令

h

2

xx

則對(duì)

2

,

g

恒成立

若要

g

，只需

h

，下面進(jìn)行證明：h

h

,只需證

xxx

即可h

'

2

sin

考慮

0,2

時(shí)，

x2x

從而

h

'

2

2

（注導(dǎo)數(shù)無(wú)法求出極值點(diǎn)故引入抽象的極值點(diǎn),

h240sin2n2nx4h240sin2n2nx42但要利用零點(diǎn)存在性定理估計(jì)所在區(qū)間）h

'

2,sinh

'

,

,使得

h

且當(dāng)

h

單調(diào)遞減，在

,

單調(diào)遞增h

h

恒成立

,進(jìn)而對(duì)每一個(gè)

a

2

均滿足

a

2（思將邊視為數(shù)列求和通項(xiàng)公式為

af(

k2

)

(意左邊是

項(xiàng)求和考慮利用前面條件對(duì)通項(xiàng)公式放縮

a

2

則

x

2

恒成立但如果直接進(jìn)行代入，不等號(hào)右邊的

無(wú)法處理，進(jìn)而無(wú)法與所證不等式的右邊找到聯(lián)系。考慮將

挪至左側(cè)并與

sinx

合角而將三角函數(shù)放縮為多項(xiàng)式根求和特點(diǎn)進(jìn)行求和解：由（）可得：

x

2

cos

2

222sinxsinx4令

4k4可得

f

k

24k2n242n(為

a

k2n

為

令

4

k1

，反求即可）

f(

2n)()f(n

)

n

22

fefe

2n4n

4

n24

22

f

2(=2(n2()f)f()nn小煉有話說(shuō)：（關(guān)本題第二問(wèn)恒成立的具體可參見(jiàn)3.3.3有關(guān)容明需要極值點(diǎn)而無(wú)法直接求出時(shí)可先用抽象的

x

0

代替，但要確定好

x

0

所處的大概區(qū)間（三問(wèn)對(duì)第二問(wèn)的結(jié)論稍加變將

與

sinx

進(jìn)行合角不是直接代入

f

)的應(yīng)用是本題的一大亮點(diǎn)方程等式的變形目的是將條件與結(jié)論能夠連接起來(lái)以構(gòu)造時(shí)要關(guān)注所求不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。（）第問(wèn)不等式的左邊有兩細(xì)節(jié)：第一個(gè)是左邊求和的項(xiàng)數(shù)是

項(xiàng)，第二個(gè)在f(

2n

)

中，同一個(gè)

n

所代表的含義不同。分母每一項(xiàng)都是

,

n

與項(xiàng)數(shù)相關(guān)。給定一個(gè)n數(shù)項(xiàng)的分母就固定了而分子的n表的是序數(shù)可現(xiàn)數(shù)列中分子是在不斷變化的，從1變n,在(

2n

)

，同一個(gè)在子分母中扮的角色不同。所以在寫通項(xiàng)公式時(shí)，引入了字母

用來(lái)區(qū)分序數(shù)與項(xiàng)數(shù)。例8

y

fxk

在

上為增函數(shù)

f

次比增函數(shù)

k

，已知

f

:（）

a

12

時(shí)，求函數(shù)

g在m,x

上的最小值（）證

2

1

解：（）

g

e

x

g'

11x22x

12

x令

g

解得

x2

xxxx

單調(diào)遞減，在

單調(diào)遞增①

時(shí)，

gmin

g

e2m②

mm，g

gmin

e2③

，

min

m2綜上所述：

g

,222+1,（2由第）問(wèn)可得：

ee2，即2所求和的通項(xiàng)公式為

an

n

1

，由

1e

可得：x

x

xx

1xe

1x

，令

x

，可得：

n

1

2enn

12

e

+

+

2

11112

1

1111223

12e

111114234

11n

=

11117122ne2e

,e2,11,e2,11例9：已知函數(shù)

f

lnx（）

g數(shù)

在區(qū)間

上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（）記

Fn

ln

2n

,Sn2

Fn

*

，對(duì)意整

，

n

n

4n

對(duì)意

D

恒立則

在

D

上“效的試斷

2

上“效的若，給證，不，說(shuō)理由解）

g

，g

即

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)

y

x

與

ym

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)設(shè)

x

，

h

x2x2

，令

h'

解得

x單調(diào)區(qū)間如下：

h

hh

42

，草圖如下：或時(shí)g

無(wú)零點(diǎn)0

或

4e

m

，

g

一個(gè)零點(diǎn)0

4e

，

g

兩個(gè)零點(diǎn)

,1n2,1n2（思路觀到

Fn

2n

結(jié)構(gòu)上（2中的

h

很相似

S

n

n

實(shí)質(zhì)上是

F

F

，故考慮對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行放縮使得求和具有規(guī)律性

h

的特點(diǎn)

F

可寫成

Fn

ln2（將n2nx

nx

視為整體用

h單調(diào)性進(jìn)行放縮解：

h

單調(diào)區(qū)間如下：h

'

h2nne4heln22xFxn3n2nxn2

（2縮為

4

1n2

而

1n

可放縮為能夠裂項(xiàng)求和的式子Fn

11nnS

n

nn

n

Fn

+

1=4ppnpn

上是“高效”的小煉有話說(shuō)：（）題中的第（）對(duì)第（）問(wèn)的函數(shù)構(gòu)造提供了方便，對(duì)于證明數(shù)列不等式，同學(xué)要善于利用前面問(wèn)題的條件與結(jié)論（）（）的關(guān)鍵之處在于找

F

的聯(lián)系，以及通過(guò)不等關(guān)系消

（）和時(shí)通項(xiàng)公式放縮的方向?yàn)闃?gòu)造具備裂項(xiàng)求和的數(shù)列，其中

1n2

的放縮技巧如下：

2x22n212222nnn22x22n212222nnn2n

11nn

n

而左右兩邊均可裂項(xiàng)求和例10已函數(shù)

（1若

f

在定義域內(nèi)為減函數(shù)，求p的圍（）

1

a

n

n

n

，證：2

時(shí)4n

34解）f

'

f為減函數(shù)1

x0,

x